CUADRADOS Y CUBOS PERFECTOS PROBLEMAS RESUELTOS DE POTENCIACIÓN ARITMÉTICA PDF

POTENCIACIÓN

Es la operación matemática, que dados dos números llamados base y exponente, hace corresponder un número llamado potencia, el cual es el producto de la base por si mismo, tantas veces como indica el exponente.

POTENCIA PERFECTA

Se dice que un entero es una potencia perfecta, si es el resultado de elevar un entero distinto a cero, a un exponente entero mayor que 1.

CUADRADO PERFECTO

Un entero es cuadrado perfecto, si es el resultado de elevar al cuadrado un entero mayor que a la condición necesaria y suficiente para que un entero sea cuadrado perfecto, es que los exponentes de los factores primos de su descomposición canónica sean pares

CUBO PERFECTO

Un entero es cubo perfecto, si es el resultado de elevar al cubo, un entero positivo.

La condición necesaria y suficiente, para que un entero sea cubo perfecto, es que los exponentes de los factores primos de su descomposición canónica, sean múltiplos de 3.

CRITERIOS DE EXCLUSIÓN DEL CUADRADO PERFECTO

☛ Todo cuadrado perfecto termina en 0, 1 , 4, 5, 6, ó 9

☛ Si un numeral termina en 5 para que tenga la posibilidad de ser cuadrado perfecto, su cifra de decenas debe ser 2 o 6 y el numeral que resulta de prescindir de sus dos últimas cidras, debe ser el producto de dos enteros consecutivos.

CRITERIOS DE EXCLUSIÓN DEL CUBO PERFECTO

☛ Un cubo perfecto puede terminar en cualquier cifra.

☛ Si un numeral termina en 5 para que tenga la posibilidad de ser cubo perfecto la cifra de decenas debe ser 2 o 7.

ALGUNAS CURIOSIDADES SOBRE LAS CIFRAS DE LOS CUADRADOS PERFECTOS

I) Si los enteros 1 ; 2 ; 3 ; 4, 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ... , se elevan al cuadrado 0 ; 1 ; 4 ; 9 ; 16 ; 25 ; 36 ; 49 ; 64 ; 81 ; 100 ; 121 ; 144 ; 169 ; 196 , ... se observa la siguiente ley:

La cifra de las unidades de estos cuadrados forman un período simétrico.

0 ; 1 ; 4 ; 9 ; 6 ; 5 ; 6 ; 9 ; 4 ; 1 ; 0 ; 1 ; 4 ; 9 ; 6 ; 5 ; .... con cifras iguales con relación a 5 o a 0.

II) Las dos últimas cifras de los cuadrados consecutivos forman un período de 51 números 00 ; 01 ; 04 ; 09 ; 16, ... ,76 ; 25 ; 76,...,16, 09 ; 04 ; 01 ; 00 simétricos con relación a 25 o a 00.

Esta observación se extiende indefinidamente.

Las tres últimas cifras de los cuadrados perfectos consecutivos forman un período de 501 números. Las cuatro últimas, forman un período de 2501 números, etc.

III) Hay algunos cuadrados que están escritos con cifras todas diferentes.

EJEMPLOS :

13²=169

36²=1296

286²=81796

322²=103684

1027²=1054729

6901²=47623801

10124²=102495376

32043²=1026753849

IV) Los pares de cuadrados perfectos: 144 y 441 ; 169 y 961 ; 14884 y 48841 y sus respectivas raíces: 12 y 21 ; 13 y 31 ; 122 y 221, están formados por las mismas cifras, pero escritas en orden inverso.

El matemático Thébault investigó los pares que tienen esta curiosa propiedad encontró por ejemplo la siguiente pareja:

1113²= 1 238 769

3111²=9 678 321

PRACTICA PROPUESTA

PREGUNTA 1 :

Calcular el menor número por el cual hay que multiplicar a 8400 para que se convierta en cuadrado perfecto.

A) 15

B) 35

C) 21

D) 6

E) 14

Rpta. : "C"

PREGUNTA 2 :

Calcular el menor número por el cual debemos multiplicar a 7875 para que se convierta en un cubo perfecto.

A) 147

B) 35

C) 21

D) 63

E) 75

Rpta. : "A"

PREGUNTA 3 :

Un niño forma con 144 monedas un cuadrado perfecto. Luego decide quitar todas las fichas que forman el perímetro exterior de dicho cuadrado. ¿Cuántas monedas quedan?

A) 121

B) 132

C) 105

D) 81

E) 100

Rpta. : "E"

PREGUNTA 4 :

Para que N se convierta en cuadrado perfecto se le debe multiplicar por 10, y para que se convierta en cubo perfecto se le debe multiplicar por 75. Calcular el menor valor de N.

A) 180

B) 240

C) 300

D) 360

E) 420

Rpta. : "D"

PREGUNTA 5 :

¿Cuántos enteros de 4 cifras que terminan en 6 son cuadrados perfectos?

A) 6

B) 7

C) 12

D) 14

E) 11

Rpta. : "D"

PREGUNTA 6 :

Calcular el menor número divisible por 12, tal que si se agrega sus 4/7 se convierte en cuadrado perfecto.

A) 84

B) 3 600

C) 480

D) 2772

E) 252

Rpta. : "D"

PREGUNTA 7 :

Entre 2 cuadrados pares consecutivos existen 187 números. Calcular el menor de dichos cuadrados.

A) 1764

B) 2601

C) 2500

D) 2704

E) 2304

Rpta. : "D"

PREGUNTA 8 :

Calcular el menor número, tal que al multiplicarlo por 35 se convierte en cuadrado perfecto y que al dividirlo entre 21 se convierte en cubo perfecto. Dar como respuesta su número de divisores.

A) 40

B) 20

C) 36

D) 24

E) 56

Rpta. : "A"

PROBLEMA 9 :

Entre dos números, que son cubos perfectos y consecutivos, se encuentran 234 números pares; Hallar la cantidad de divisores pares del menor de dichos números.

A) 12

B) 24

C) 36

D) 18

E) 42

Rpta. : "A"

PROBLEMA 10 :

Si dos enteros positivos consecutivos se elevan al cubo, entonces entre sus cubos existen 1656 números. ¿Cuántos de estos últimos son cuadrados perfectos?

A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

E) 7

Rpta. : "E"

PROBLEMA 11 :

Sea M y N dos números enteros positivos y consecutivos tales que entre M³ y N³ hay 468 enteros. ¿Cuál es el mayor entero par comprendido entre dichos cubos?

a) 2 156

b) 2 196

c) 2 298

d) 2 376

e) 2 418

PROBLEMA 12 :

¿Cuántos números de 4 cifras, múltiplos de 15 existen, tales que la suma de su tercera y séptima parte dan un cuadrado perfecto?

a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) más de 5

PROBLEMA 13 :

Dada la siguiente serie: 4; 6; 8; 10; ... ¿cuántos cuadrados perfectos hay en los cien primeros términos?

A) 5

B) 6

C) 7

D) 8

E) 9

PROBLEMA 14 :

Para que un número ‘‘N’’ sea cubo perfecto se le debe multiplicar por 18 y para que sea cuadrado perfecto se le debe multiplicar por 15. ¿Cuál es el menor valor que puede tener N?

A) 225

B) 216

C) 2000

D) 1500

E) 375

PROBLEMA 15 :

Entre dos cuadrados perfectos consecutivos hay 64 números enteros, determinar el mayor de dichos cuadrados.

A) 1024

B) 961

C) 1156

D) 1089

E) 900