INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS EJERCICIOS RESUELTOS PDF
INTEGRAL DE LA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA SENO COSENO TANGENTE COTANGENTE SECANTE COSECANTE
Diez fórmulas más habrán de agregarse al formulario actual de integrales del estudiante.
Son seis correspondientes a las seis funciones trigonométricas seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante, y cuatro más correspondientes a las inversas de las derivadas de las seis funciones trigonométricas.
Esto último se refiere a que si la derivada de la tangente es la secante cuadrada, entonces la integral de la secante cuadrada es la tangente.
TÉCNICAS Y RECURSOS DE INTEGRACIÓN
Para integrar cualquier otra función trigonométrica que no pueda resolverse con un simple cambio de variable, tales como las estudiadas en las páginas precedentes de este capítulo, deben emplearse diferentes técnicas y recursos algebraicos para reducir la función original a una forma equivalente ya integrable.
Igualmente, deben tenerse presentes algunas normas generales para evitar transformar la integral original en otra función más complicada:
a) Si la función a integrar está compuesta por dos o más factores trigonométricos, éstos deben tener el mismo argumento; de lo contrario, mientras no se igualen los argumentos no se podrá integrar.
Por ejemplo, la integral ∫sen2xtan4xdx no se podrá integrar mientras no se igualen los argumentos del seno con el de la tangente.
b) Debe evitarse pasar de una integral del seno a otra del coseno de la misma forma, porque se considera que una y otra son lo mismo en cuanto a su técnica de integración.
c) Cuando deba emplearse más de una vez la técnica de los cuadrados, debe seguirse siempre el mismo criterio porque de lo contrario se regresa a la integral original.
Emplear el mismo criterio significa utilizar siempre la misma función trigonométrica al cuadrado para sustituirla por su equivalente de dos términos, no una vez una y otra vez otra.
Las principales técnicas son:
𝑖) Técnica de los cuadrados.
𝑖𝑖) Técnica de pasar a senos y/o cosenos.
𝑖𝑖𝑖) Técnica de los binomios conjugados.
EJERCICIO 1 :
Integrar ∫sen9xdx
RESOLUCIÓN :
En este caso el argumento es 9x, o sea que u = 9x ,de donde du = 9dx
Para tener la diferencial du hay que multiplicar por 9; pero para que no se altere la integral original también debe dividirse entre 9, de modo que:
EJERCICIO 2 :
Integrar
∫(3x − 2)tan(3x² − 4x + 11)dx
RESOLUCIÓN :
En este caso el argumento es
3x² − 4x + 11
o sea que u = 3x² − 4x + 11 , de donde du=(6x–4)dx
Para tener la diferencial du hay que multiplicar por 2; pero para que no se altere la integral original también debe dividirse entre 2, de modo que:
OBJETIVOS
Al finalizar la unidad, el alumno será capaz de :
☛ Definir y conocer las integrales de las funciones trigonométricas directas e inversas
☛ Integrar la función seno
☛ Integrar la función Coseno
☛ Integrar la función Tangente
☛ Integrar la función Cotangente
☛ Integrar la función Secante
☛ Integrar la función Cosecante
☛ Integrar el seno inverso o arco seno
☛ Integrar el coseno inverso o arco coseno
☛ Integrar la tangente inversa o arco tangente
☛ Integrar la cotangente inversa o arco cotangente
☛ Integrar la secante inversa o arco secante
☛ Integrar la cosecante inversa o arco cosecante
A) TÉCNICA DE LOS CUADRADOS:
Consiste en factorizar una potencia trigonométrica en un factor al cuadrado multiplicado por lo que quede; ese factor al cuadrado se reemplaza por su equivalente de dos términos para partir en dos la integral original.
Como en casi todas las integrales de las diferentes potencias de las seis funciones trigonométricas se emplea la técnica de los cuadrados, en el siguiente bloque de ejemplos se mostrará la técnica para integrar el seno al cuadrado, el seno al cubo, el seno a la cuarta potencia, etc; lo mismo con la tangente y con la secante.
B) TÉCNICA DE PASAR TODO A SENOS Y/O COSENOS:
Consiste en pasar o escribir todas las funciones trigonométricas en términos de senos y/o cosenos, a partir de que todas las funciones trigonométricas tienen un equivalente en senos y/o cosenos
Después de escribir todo en términos del seno y/o coseno, se simplifica y se vuelve a apli car la técnica de los cuadrados, si las integrales resultantes no están aún listas para ya integrarse.
C) TÉCNICA DE LOS BINOMIOS CONJUGADOS:
Cuando en el denominador aparece uno de los binomios conjugados que se mencionan en la siguiente tabla, se multiplica el numerador y el denominador por su conjugado para obtener en el denominador su equivalente de un término al cuadrado.
La idea de esta técnica radica en que los numeradores sí se “pueden partir” en cada uno de sus términos entre todo el denominador; sin embargo, los denominadores no se “pueden partir”. Entonces se trata de hacer que en el denominador aparezca un solo término y en el numerador dos o más para partir la fracción en su suma correspondiente.
Una vez multiplicado el numerador y el denominador por el conjugado del binomio del denominador, el producto del denominador dará la diferencia de cuadrados correspondiente a la tabla anterior, leída de derecha a izquierda, la cual equivale a una función trigonométrica al cuadrado.
Se vuelve a aplicar la técnica (1) de los cuadrados o la técnica (2) de convertir todo a senos y/o cosenos.
