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TRIANGULOS RECTANGULOS EJERCICIOS RESUELTOS DE TERCERO DE SECUNDARIA PDF

Teorema de Euclides , Reconocer el teorema de Euclides como relaciones que se establecen en un triángulo rectángulo a partir de las semejanzas de triángulos existentes. Reconoce cuándo se debe ocupar el teorema de Euclides. Aplica correctamente el teorema de Euclides en la resolución de ejercicios y problemas. Teorema de Pitágoras. Demostrar el teorema de Pitágoras a partir del teorema de Euclides Utilizar correctamente el teorema de Pitágoras en la resolución de ejercicios. Demuestra el teorema de Pitágoras, utilizando el teorema de Euclides. Usa correctamente el teorema de Pitágoras en la resolución de ejercicios y problemas. Tríos pitagóricos. Distinguir tríos de números que cumplan la condición de ser tríos pitagóricos. Generar tríos pitagóricos utilizando fórmulas. Identifica tríos de números pitagóricos. Genera tríos de números pitagóricos utilizando las fórmulas dadas. Teorema de Fermat. Reconocer el teorema de Fermat y mostrar su validez. Reconoce el teorema de Fermat. Muestra el teorema de Fermat y lo relaciona con los tríos pitagóricos. Razones trigonométricas seno, coseno y tangente en el triángulo rectángulo. Definir razones trigonométricas. Calcular las razones trigonométricas de ángulos de 30º, 45º y 60º. Definen las razones trigonométricas seno, coseno, tangente para ángulos de 30º, 45º y 60º. Aplicación de las razones trigonométricas a problemas de medición de la vida diaria. Aplicar las razones trigonométricas a la resolución de ejercicios de cálculo de medidas y problemas de planteo. Aplican correctamente las razones trigonométricas en el cálculo de distancias y problemas. Razones trigonométricas cosecante, secante y cotangente. Definir las razones trigonométricas secante, cosecante y cotangente a partir de las definidas anteriormente. Definen las razones trigonométricas cosecante, secante y cotangente. Calculan valores para secante, cosecante y cotangente de ángulos notables. Identidades trigonométricas. Definir el concepto de identidades trigonométricas. Demostrar identidades trigonométricas. Establecen relaciones trigonométricas fundamentales. Demuestran razones trigonométricas simples. Funciones trigonométricas. Establecer las relaciones de seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente de un ángulo como una función. Determinar, gráficamente, dominio y recorrido de ellas. Extienden el concepto de razón trigonométrica al concepto de función trigonométrica. Determinan, utilizando los gráficos correspondientes, el dominio y recorrido de las funciones trigonométricas. La trigonometría se remonta al tiempo de los babilonios. Ellos la utilizaban en la agricultura. Posteriormente, los egipcios la utilizaron en la construcción de pirámides. Más tarde, en Grecia, la astronomía hizo uso de sus relaciones entre ángulos y lados en los triángulos. Allí, Hiparco de Nicea fue el primer representante. Luego de 300 años, otro matemático griego, Ptolomeo, hizo de su libro el más consultado por los astrónomos. En el siglo XVII, la trigonometría contribuyó al desarrollo de conceptos como los logaritmos, el cálculo y otros. Por otro lado, las relaciones métricas en el triángulo rectángulo han sido ampliamente desarrolladas en este ámbito, siendo Euclides uno de sus mayores exponentes. Con su serie de libros llamados “Los elementos”, recorre la geometría conocida actualmente. De los trece libros que la componen, los seis primeros corresponden a lo que se entiende todavía como geometría elemental. En ellos, Euclides recoge las técnicas geométricas utilizadas por los pitagóricos para resolver lo que hoy se consideran ejemplos de ecuaciones lineales y cuadráticas, e incluyen también la teoría general de la proporción, atribuida tradicionalmente a Eudoxo. Los libros séptimo al décimo tratan de cuestiones numéricas, y los tres restantes se ocupan de geometría de los sólidos (cuerpos geométricos), hasta culminar en la construcción de los cinco poliedros regulares y sus esferas circunscritas, que había sido ya objeto de estudio por parte de Teeteto. Como ves, nuevamente se puede asegurar que la matemática ha sido descubierta hace muchísimos años, que fue trabajada por varios matemáticos y que aún hoy se sigue profundizando y encontrando cosas nuevas. Te invitamos a explorar en los triángulos rectángulos y sus relaciones. 1 Dos amigos conversan: “Si el cuadrado construido sobre el cateto menor se divide en 36 cuadraditos iguales y después, con estos mismos, le agrego veintiocho iguales, tendremos el cuadrado construido sobre el otro cateto; de esta manera, si a todo esto agrego...”. “¡Ya basta de explicaciones tan enredosas!”, grita uno de ellos, agregando: “dime mejor cuánto suman las alturas, que es lo que piden”. ¿Cuál debiera ser la respuesta correcta? 2 “Don Polo, el almacenero, sabe harta matemática”, comenta uno de sus empleados a la madre de Claudia. El profesor de Matemática de la niña les pidió que demostraran que: “existe un triángulo cuyos lados valen, en cm: 2n+6, 2n+ 9 y 12n+ 45, con n natural, y que además es rectángulo”. Don Polo ayudó a Claudia y le dijo: “¡Sí, el profesor tiene razón!, porque...”, y le explicó todo un desarrollo matemático. Escriban por lo menos uno de los suyos. 3 “¡Ya! escribe: distancia desde este punto de observación a la azotea: 156, 205 m y distancia desde este punto de observación a la base del edificio: 120 m. Sí, este hay que demolerlo”. Los hombres de azul y cascos amarillos se alejaron, mientras Juan Esteban, que estaba paseando en su bicicleta, los escuchó. Se trata del viejo edificio donde vive y que tanto le gusta con sus jardines, las palomas que viven en la techumbre y que lo despiertan cada mañana. Llegó afligido: “¡No quiero que lo demuelan!” Sus papás ya estaban enterados. Al mes, comenzaron los trabajos de... ¡REPARACIÓN! El edificio se salvó justito porque su altura era la apropiada. ¿Cuál era esta? 4 La tarea de tríos pitagóricos que hizo Aurelio, en medio de las jugarretas, decía lo siguiente: 32 + 42 = 52 .... 4 – 3 es uno 62 + 82 = 102.... 8 – 6 es dos 92 + 122 = 152.... 12 – 9 es tres 122 +162 = 202.... 16 – 12 es cuatro a. Indiquen los tríos pitagóricos cuya diferencia entre los catetos es: i. Cinco ii. Ocho Después, siguió con las jugarretas de Fermat y escribió: “Si a es natural, (a +1)(a2 −a +1) nunca será el cubo de un número natural”. b. Efectúen, con a natural mayor que 1, (a +1)(a2 −a +1) y relaciónenlo con el teorema de Fermat. Trabaja en grupo Resuelvan los siguientes problemas. Usen su calculadora cuando sea necesario. 1 “No llores, Sofía. El barco ya se está perdiendo en el horizonte; deja de mirarlo por ese catalejo, ya no se ve. Es verdad que Renato, tu amado, va allí, pero no te preguntes qué tan lejos está de aquí. Él volverá. Abrígate, mira que estamos a 100 m sobre el nivel del mar, en este peligroso acantilado”. Si el ángulo de depresión con que esta señorita observa al barco es de 5º, ¿cuál es la distancia que los separa? Expresen su respuesta con aproximación al entero. 2 Se está construyendo un nuevo tramo de la ruta 75 y esta tiene una pendiente natural. Los ingenieros conversan acerca de algunos detalles técnicos. –Germán, la carretera debe ascender 120 m por cada 1000 m de distancia horizontal. –Sí, Braulio, y la primera parte de la carretera construida será de 2,8 km y lo tenemos que tener listo para marzo del 2013. Según los datos, a. ¿cuál es el ángulo de elevación, aproximado al grado más próximo? b. determinen el avance horizontal de la primera parte de la carretera usando el ángulo de elevación obtenido en (a.). Expresen su respuesta sin uso de decimales. 3 “No les haga caso, vecina. Son peleas de niños. ¡Qué importa que nuestros pequeños discutan cuál de nuestras casas es más alta que la otra! Todas las casas de esta villa tienen la misma altura. Hasta el momento, nadie del vecindario ha hecho ampliaciones. Un día, le escuché decir a mi hijo mayor, el que está en tercero medio, que cuando el sol está a 30º con respecto al suelo, la sombra de la casa es de 15 m, y por allí hizo el cálculo de la altura...” Con la información dada en el enunciado, encuentren aproximadamente la altura de las casas aludidas. Expresen su respuesta con aproximación a la centésima. 4 “Lo vimos descender rápidamente desde el cielo. Con nuestros instrumentos, empezamos a notar la falla en sus sensores. Y así nuestro módulo espacial, que estando a una altura de 1450 m, dio su trayecto final por el aire, trayecto rectilíneo oblicuo, y con un ángulo constante de 20º con respecto a la horizontal, chocó con el pavimento. Se desintegró con el impacto. Nuevamente este accidente pone en evidencia que no hemos logrado nuestro objetivo en la carrera espacial”. Abril, 1959 Respondan, según la información dada, ¿cuál fue la distancia recorrida en el descenso de la nave? Expresen su respuesta con aproximación a la centésima. 5 La profesora del Taller de Física al cual voy consiguió que asistiéramos al lanzamiento de un globo. Llevamos binoculares y nos ubicamos a una distancia de 200 m del punto donde empezó a elevarse verticalmente. Con nuestros goniómetros fabricados en el taller, vimos que un minuto después del lanzamiento el ángulo de elevación era de 20º y a los dos minutos, 35º. Con esta información, encuentren: a. la rapidez media en m/s, en los dos primeros minutos. b. la distancia recorrida entre el primer y el segundo minuto. 6 Matías y María Ignacia han tenido que refugiarse en un faro, ya que en el borde costero por el cual viajaban se ha desatado una fuerte tormenta de viento y lluvia. Ismael es el guardafaro, quien les presta refugio. –Don Ismael, nunca habíamos estado en un faro. ¿A qué que altura estamos? –A unos 70 m sobre el nivel del mar. –Y con esta escasa visibilidad, poca es la observación que puede hacer. –Se equivocan. Miren, lo que se ve allá en el cielo es un avión. Ángulo de elevación 25º exactos. Compruébenlo ustedes mismos. –¿Y qué es ese punto, que parece estar justo debajo del avión? –Es una barca. La puedo observar con un ángulo de depresión de 24º. De acuerdo al diálogo, contesten las siguientes preguntas, aproximando a la centésima sus respuestas. a. ¿A qué distancia se encuentra el barco con respecto al pie del faro? b. ¿Cuál es la altura del avión sobre el agua? 7 “He tenido que subir a la cima de la colina y conseguir señal en mi celular para poder comunicarme contigo. Estoy a una altura de 60 m sobre el camino. ¿El paisaje? Un poco agreste. Todo muy solitario. Veo un lago donde hay dos botes en la misma línea recta. Nada interesante que contarte”. Si los ángulos de depresión con los que la persona observa los botes son de 10º y 20º, encuentren la distancia, aproximada a la centésima, entre los botes. 8 “Después de algunos minutos transcurridos del terremoto del 2010, muchos vimos luces que se movían en el cielo. Me llamó la atención una que se mantuvo fija dando destellos naranjas y verdes, con elevación de 20º y mirando hacia el sur. Marcial también observó lo mismo, a igual hora, pero con elevación de 25º, dirección norte. Vivimos a 150 km de distancia en línea recta”. ¿Será posible estimar la altura de esta luz? 9 “Al parecer, el disparo provino desde la ventana del quinto piso, del departamento 506, que queda más abajo del piso de la víctima, en el edificio frente a nosotros. Estos edificios son gemelos y están distanciados por 70 m. En estos momentos estoy en la ventana del departamento por donde la víctima cayó al vacío y miro hacia la ventana por donde estuvo el agresor, bajo un ángulo de 30º, aproximadamente. Me pregunto: ¿qué distancia pudo haber recorrido la bala?” Respondan ustedes la pregunta. 10 Tulio está entrenando a Mauro para que participe en la próxima cicletada del pueblo. Llama a cuatro amigos que le permitan hacer unas mediciones y les muestra un papel, en el cual hizo el siguiente dibujo: Luego agregó: M P R N O –Entonces, para mejorar la marca de velocidad en bicicleta de Mauro, vamos a elegir un tramo que yo dibujé como MN, por donde va a pasar Mauro, y que después dividí en tres tramos menores: MP , PR y RN. Vean, yo me ubico en O, a 100 m de M, y ustedes cuatro, en los otros puntos. Como elegí un ángulo de 30º en este punto, al cual dividí en ángulos iguales, esto me garantiza que lo tramos menores anteriores sean iguales. –Espere un momento –dijo Mauro–. ¿Es esto realmente cierto? Respondan ustedes la pregunta y den las medidas de los trazos señalados. 11 Marcia es una fanática de las películas de ciencia ficción. Ayer fue a ver una de esas al cine y hoy les contaba a todos en el curso... “Los protagonistas estaban en una misma línea, uno antes que el otro. Uno de los protagonistas vio el objeto en la coordenada (3, 4) con una elevación de 35º y el otro lo miró con elevación de 53º aproximadamente. Después, ambos, desde el suelo, levitaron y los absorbió el objeto. Iban hipnotizados...“ . De pronto, José echó a reír y le dijo a Marcia... “¿Me puedes decir también cuál era la distancia que separaba a tus protagonistas?” Marcia, enojada, le respondió. “No, calcúlala tú... ya aprendiste trigonometría”. Ahora resuelvan el problema planteado por José. 12 Hernaldo encontró un cuaderno extraviado en uno de los paraderos del Transantiago. Empezó a hojearlo y en una de sus páginas había un ejercicio escrito y sin desarrollo que decía: “Una aplicación a la física de partículas: Tres partículas p1, p2 y p3 chocan simultáneamente, de tal modo que salen expulsadas en distintas direcciones. Experimentalmente, se ha detectado que al cabo de siete segundos se encuentran momentáneamente situadas en los vértices de un triángulo rectángulo. Las más cercanas son p1 y p3, las que distan 19 unidades entre sí. La última de estas se ubica en uno de los vértices, donde se halla un ángulo no recto. El ángulo agudo mayor mide 67º