RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES EJERCICIOS RESUELTOS PDF

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 30° 60° 45° 37° 53° 15° 75°

APRENDIZAJES ESPERADOS

• Describir la relación de los lados de los triángulos notables.

• Calcular las razones trigonométricas de los ángulos notables.

• Aplicar las razones de los ángulos notables en situaciones problemáticas

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES

Son aquellos triángulos rectángulos; donde conociendo las medidas de sus ángulos agudos, se puede saber la proporción existente entre sus lados.

Van a destacar los siguientes triángulos:

𝑖) De 30° y 60°

𝑖𝑖) De 45° y 45°

𝑖𝑖𝑖) De 37° y 53°

Antiguamente cuando los egipcios deseaban medir un ángulo recto (90°) utilizaban un método muy peculiar.

Tomaban una cuerda y le hacían 11 nudos equidistantes (cada nudo estaba a la misma distancia de los nudos de su costado). Luego unían los extremos de la cuerda y lo cogia una persona.

Otra persona tomaba la cuerda en el tercer nudo y una persona más también cogía la cuerda pero en el sétimo nudo luego estiraban la cuerda y formaban el triángulo rectángulo de lados proporcionales a los números 3, 4 y 5.

En una construcción de carreteras, puentes, canales y edificaciones, observamos que los topógrafos manipulan instrumentos como teodolitos, el metro y las reglas graduadas con el objeto de medir ángulos y distancias generalmente en triángulos, ya que la triangulación es muy empleada en la topografía que son indispensables en la preparación y ejecución de proyectos de ingeniería.

GUIA INTRODUCTORIA

EJERCICIO 1 :

Calcule: 5cos37°+3tg53°

EJERCICIO 2 :

Calcule: 10sen53°+4tg37°

EJERCICIO 3 :

Calcule sen30°+ctg30°

EJERCICIO 4 :

Calcule 2csc30°cos60°

EJERCICIO 5 :

Calcule 4ctg60°ctg30°

EJERCICIO 6 :

Calcule: 2sen30° – cos60°

EJERCICIO 7 :

Calcule sen30°+cos30° – sec60°

EJERCICIO 8 :

Calcule x en:

sen60° – cos30°+tg30°=x+1

EJERCICIO 9 :

Calcule a en: 2a+sen30°=ctg60°

EJERCICIO 10 :

Calcular: 8sen45º + 4cos45º

EJERCICIO 11 :

Calcular:

cos²60º.tg²45º.sen²30º

EJERCICIO 12 :

Resolver:

sen53º.cos60º + sen37º.sen30º

EJERCICIO 13 :

Calcular: cos37º. ctg53º.sec60º

EJERCICIO 14 :

Calcular: 16Cos60º + 32Sen37º

EJERCICIO 15 :

Calcular:

(csc30º)tg45º – (ctg45º)sec60º

EJERCICIO 16 :

Calcular:

(sec60º + csc30º). sen 37º

EJERCICIO 17 :

Calcular: 32sen53º + 9sen30º

EJERCICIO 18 :

Si: tgθ= Cos30º.

Calcular: senθ; θ es agudo.

EJERCICIO 19 :

Si: senβ= sen30º.tg37º.sec60º.

Calcular: cosβ ; β es agudo.

EJERCICIO 20 :

Calcule: sen16º.cos 16º

EJERCICIO 21 :

Calcule: tg74º + ctg16º

EJERCICIO 22 :

Calcule: tg53º . sec16º

EJERCICIO 23 :

Calcule: cos53º . tg74º

EJERCICIO 24 :

Calcular: tg²30º . sen²30º

EJERCICIO 25 :

Calcular: sen²30º + tg37º

EJERCICIO 26 :

Calcular: csc16º + tg74º

EJERCICIO 27 :

Calcular:

24cos37º. tg16º.sec37º. sec74º

EJERCICIO 28 :

Calcule x, si: x .

sen30º + sec²60º = 4tg37º + tg⁴45º

PROBLEMAS PROPUESTOS

PREGUNTA 1 :

Calcular:

4sen30° + tan²60°

a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) 6

PREGUNTA 2 :

Calcular:

(sen²60° + sen²45°)sec60°

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 6

PREGUNTA 3 :

Calcular:

(5sen37° + 4tan37°)sen²45° + csc²30°

a) 7

b) 5

c) 4

d) 3

e) 2

PREGUNTA 4 :

Calcular:

2sen30° + tan²60°

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

PREGUNTA 5 :

Calcular:

sec²45° + 3tan²30°

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

PREGUNTA 6 :

Calcular:

(sec37° + tan37°)(sec²45° + 1)

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 6

PREGUNTA 7 :

Calcular:

(csc16° + cot16°)(2sen30° + sec²45°)

a) 14

b) 21

c) 7

d) 28

e) 12

PREGUNTA 8 :

Calcular:

(sec16° + tan16°)cot53°

a) 3

b) 4

c) 9/16

d) 16/9

e) 1

PREGUNTA 9 :

Calcular:

(6tan16° + tan37°)sec260°

a) 8

b) 5

c) 10

d) 16

e) 20

PREGUNTA 10 :

Se tienen dos círculos tangentes exteriormente cuyos radios son “r” y “3r” respectivamente . Calcular el ángulo que forma la recta que pasa por los centros de ambos círculos con una de las tangentes exteriores a ambos círculos.

A) 45°

B) 60°

C) 30°

D) 15°

E) 53°

Rpta. : "C"

PREGUNTA 11 :

Una semicircunferencia de radio (1+√3)cm se divide en treinta arcos iguales. Calcular la proyección del arco comprendido entre la quinta y décima división sobre el diámetro horizontal en centímetros .

A) 1/4

B) 1/2

C) 1/3

D) 2/8

E) 3/7

Rpta. : "A"

PREGUNTA 12 :

En un triángulo rectángulo ABC (recto en B) se construye exteriormente el cuadrado ACDE. Calcular la cotangente del ángulo BEA, si además mide 30°.

A) 1+√3

B) 4+√3

C) 1+√3

D) 1–2√3

E) 1+√2

Rpta. : "B"

PREGUNTA 13 :

Si: 37x tan²30° – 5x sec²30° = 7 tan45º + 5sec60º

Calcular: tan²15x + cot²10x

a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) 6

PREGUNTA 14 :

Si: secθ=2tan45º.

Calcular: senθ.tanθ; si “θ” es agudo.

a) 1

b) 1,2

c) 1,3

d) 1,4

e) 1,5

PREGUNTA 15 :

Siendo “β” un ángulo agudo tal que: tanβ = tan²30°.

Calcular: 3cos²β – 2sen²β

a) 1

b) 2

c) 1,5

d) 2,5

e) 5

Pitágoras y los demás geómetras griegos se ocuparon tanto del triángulo, porque lo usaban mucho en la construcción. Fueron ellos los que inventaron las cubiertas de dos aguas. Eso les permitió ensanchar mucho las naves de los templos y los grandes salones.

Descubrieron la manera de repartir el peso de la techumbre entre tres vigas, de tal manera que el trabajo que realizaba cada una al trabajar conjuntamente, era muy inferior que les correspondería si se distribuyese entre las tres colocadas como vigas planas.

Y según el trabajo que hacen , así las nombraron: a las dos vigas que sostienen la techumbre las llamaron catetos, porque tienden a ir hacia abajo (kazíemi); y a la viga de abajo la llamaron hipotenusa porque es la que lira (tenusa) por abajo (hipo) de las otras dos para que no se abran.

Los ángulos que miden 30° ; 45° y 60° son muy utilizados en Trigonometría.

Podemos calcular los valores de las seis razones trigonométricas de estos ángulos notables sin necesidad de utilizar tablas o calculadoras.

Para encontrar los valores de las razones trigonométricas del ángulo de 45°, consideremos un cuadrado cuyo lado tiene una longitud 1.

Si trazamos la diagonal del cuadrado tenemos que los ángulos agudos del triángulo rectángulo sombreado miden 45°.

Con el teorema de Pitágoras podemos encontrar la longitud de la hipotenusa.

Para encontrar los valores de las razones trigonométricas de los ángulos de 30° y 60°; consideramos un triángulo equilátero .

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES

Son aquellos triángulos rectángulos, donde conociendo las medidas de sus ángulos agudos, se puede saber la proporción existente entre sus lados.

Van a destacar los siguientes triángulos:

EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO DE 45° los catetos tienen la misma longitud

AHORA CONSIDEREMOS UN TRIÁNGULO EQUILATERO

Cuyos lados tienen una longitud igual a 2.

Si bisecamos uno de sus ángulos, obtenemos un triángulo rectángulo que tiene una hipotenusa de longitud 2 y un cateto de longitud 1.

El otro cateto tiene una longitud “a”, cuyo valor podemos calcular con base en el teorema de Pitágoras

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS CON ÁNGULOS APROXIMADOS (37°; 53°)

Usualmente se utilizan triángulos rectángulos cuyos ángulos agudos han sido aproximados.

Así por ejemplo, en el triángulo rectángulo de lados 3 ; 4 y 5 .

PROBLEMAS RESUELTOS

PREGUNTA 1 :

El valor de

Sen37º. Csc37º – tg45º. Ctg45º es

A) – 1

B) 0

C) 1

D) 2

E) 1/2

RESOLUCIÓN :

Rpta. : "B"

PREGUNTA 2 :

Un niño está volando una cometa. En determinado momento, la cuerda que sujeta la cometa mide 50 m, formando con el suelo un ángulo de 37º.

Determine a qué altura se encuentra la cometa.

A) 40 m

B) 50 m

C) 20 m

D) 30 m

RESOLUCIÓN :

Rpta. : "D"

PREGUNTA 3 :

Del gráfico, calcula tgθ si cos37°=4/5

A) 1/3

B) 2/3

C) 1

D) 3/4

RESOLUCIÓN :

Rpta. : "B"

PREGUNTA 4 :

Del gráfico, calcula cosθ.

A) √3

B) 2√7/7

C) √7

D) 7√5 /5

RESOLUCIÓN :

Rpta. : "B"

PREGUNTA 5 :

La figura adjunta muestra una estructura metálica, donde AB es un arco de circunferencia con centro en el punto O. Si AD=DC=CE y DE // OB, calcule tanθ,

A) 3/2

B) 3/4

C) 2

D) 1

RESOLUCIÓN :

Rpta. : "A"

PREGUNTA 6 :

Con respecto a un terreno de forma triangular, se sabe que las longitudes de dos de sus lados menores difieren en 20 m, mientras que la longitud del lado mayor es de 80 m. Calcule el área del terreno, sabiendo que el ángulo formado por los lados de mayor y menor longitud es 60º.

A) 500√3 m²

B) 1200√3 m²

C) 1000 m²

D) 1000√3 m²

RESOLUCIÓN :

Rpta. : "D"

PREGUNTA 7 :

ABCD un rectángulo. Se ubican los puntos M y N sobre los lados AB y AD respectivamente. Sabiendo que MB=BC, m∢MCN=α, m∢ABN=β , m∢ANM=m∢DNC, y tan(α)=3/4 .

Calcule el valor aproximado de 3cot(β).

A) 28

B) 25

C) 29

D) 31

E) 32

RESOLUCIÓN :