TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS ECUACIÓN COMPLETA DE SEGUNDO GRADO EJERCICIOS RESUELTOS PDF

OBJETIVOS : 
☞ Establecer las relaciones entre coordenadas de un punto con respecto a un sistema de ejes y las coordenadas del mismo punto respecto a otro sistema de ejes. 
☞ Identificar el tipo de cónica que representa una ecuación de segundo grado luego de una transformación de coordenadas. 
☞ Aplicar la teoría en los diversos problemas de examen de admisión

Entre los robots considerados de más utilidad en la actualidad se encuentran los robots industriales o manipuladores. 
Ellos son utilizados para actividades repetitivas y de alta precisión, son utilizados en las industrias automotrices ensamblado las autopartes, lo cual se controla mediante un sistema de ecuaciones matriciales y sistemas de coordenadas cilíndricas o esféricas. 
La definición más comúnmente aceptada acerca de un robot está dada por la Organización Internacional de Estándares (ISO) que define al robot industrial como: 
"Manipulador multifuncional reprogramable con varios grados de libertad, capaz de manipular materias, piezas, herramientas o dispositivos especiales según trayectorias variables programadas para realizar tareas diversas"

PROBLEMAS PROPUESTOS
PROBLEMA 1 :
Dado el triángulo ABC, tal que A(8; 6); B(–16; – 6) y C(–7; – 3). 
Si el origen de coordenadas se traslada al punto (2; 2), se genera un nuevo sistema X'Y'. Halle las coordenadas del baricentro del triángulo ABC en el nuevo sistema. 
A) (–3; 1) 
B) (–3; – 1) 
C) (–7; – 3) 
D) (1; 3) 
E) (3; 7) 
Rpta. : "C"
PROBLEMA 2 :
Señale a qué punto debe trasladarse el origen de coordenadas (0; 0) para que la ecuación 2x³+6x²+ y–1=0 en el nuevo sistema X'Y', no contenga términos de segundo grado, ni término constante. 
A) (–1; 3) 
B) (1; – 7) 
C) (1; 7) 
D) (–2; 1) 
E) (–1; – 3) 
Rpta. : "E"
PROBLEMA 3 :
Por una traslación de ejes, la ecuación 25x²+4y²+150x–8y +129=0 
Se transformó en A(x')²–B(y')²=1 
Calcule 100(A–B). 
A) 29 
B) 28 
C) 27 
D) 26 
E) 25 
Rpta. : "A"
PROBLEMA 4 :
Calcule el área de la elipse que tiene por ecuación 
21x² −103xy + 31y² −144 = 0. 
A) 10𝛑 u² 
B) 9𝛑 u² 
C) 4𝛑 u² 
D) 6𝛑 u² 
E) 8𝛑 u² 
Rpta. : "D"
PROBLEMA 5 :
Calcule las coordenadas del foco de la parábola cuya ecuación es x²+2xy + y² – 8x+8y = 0. 
A) (3; – 3) 
B) (1; –1) 
C) (2; – 2) 
D) (2; –1) 
E) (3; – 2) 
Rpta. : "B"
PROBLEMA 6 :
La recta y – x –1= 0, mediante una rotación, se convierte en el sistema X 'Y ', en una recta paralela al eje X'. Calcule la ecuación de la recta. 
A) 2y'− 3 = 0 
B) 2y'− 2 = 0 
C) 4y'− 32 = 0 
D) y'− 2 = 0 
E) 3y'− 2 = 0 
Rpta. : "B"
PROBLEMA 7 :
Mediante una rotación de ejes, la ecuación 7x² − 63xy +13y² −16 = 0 se transforma en Ax'²+By'²= 1. Calcule A–1+B–1. 
A) 9 
B) 6 
C) 8 
D) 5 
E) 10 
Rpta. : "D"
PROBLEMA 8 :
Después de una rotación de ejes la ecuación: 
5x²+4xy+2y²=3 
Se transforma en: m(x’)²+n(y’)²=p . 
Halle: (m + n+ p). 
A) 15 
B) 14 
C) 13 
D) 12 
E) 10 
Rpta. : "E"
PROBLEMA 9 :
Simplifique realizando transformaciones de ejes , la curva descrita por la ecuación: 
4x² – 24xy + 11y² + 56x – 58y + 95 = 0
A) 4(x’’)² – (y’’)² = 1 
B) 4(x’’)² – (y’’)² = 4 
C) (x’’)² – 4(y’’)² = 1 
D) (x’’)² – 4(y’’)² = 4 
E) (x’’)² – 2(y’’)² = 4 
Rpta. : "D"
PROBLEMA 10 :
Por una rotación de un ángulo de medida 45° de los ejes coordenados, una cierta ecuación se transformó en: 4(x’’)2 –9(y’’)2 = 36. Determine la ecuación original 
A) 5x² + 5y² – 25xy + 70 = 0 
B) 5x² + 5y² – 25xy + 50 = 0 
C) 5x² + 5y² – 26xy + 72 = 0 
D) 5x² + 5y² – 26xy + 90 = 0 
E) 5x² + 5y² – 52xy + 72 = 0 
Rpta. : "C"
PROBLEMA 11 :
¿A qué punto debe trasladarse el origen de coordenadas para eliminar el término constante y el término lineal en y de la ecuación 
8y² – 6x – 24y +15= 0? 

PROBLEMA 12 :
Grafique la ecuación 8x² – 4xy +5y²=36 

PROBLEMA 13 :
Sea L : 5x+12y – 60= 0 una recta en el sistema XY. Si el origen de coordenadas se desplaza hasta el punto (– 8; 5), formándose el sistema X 'Y ', calcule el ángulo de rotación para obtener el nuevo sistema X ''Y '' en la que la recta es paralela al eje Y ''. 

PROBLEMA 14 : 
Las nuevas coordenadas del punto (3 ; –4) cuando los ejes coordenados giran un ángulo cuya medida es 30°, son (x’ ; y’), halle: –2(x’ + y’). 

PROBLEMA 15 :
Determine las nuevas coordenadas del punto (a ; b) cuando los ejes coordenados giran un ángulo cuya medida es 45° además: b = 3a. 

PROBLEMA 16 :
Determine las nuevas coordenadas del punto (2 ; 2) cuando los ejes coordenados son trasladados al nuevo origen (–1 ; 1) y luego se les gira un ángulo de medida igual a 45°. 

PROBLEMA 17 :
¿Cuál debe ser la medida del ángulo de giro para que al efectuarse una rotación de ejes la ecuación y² – 4x – 2y + 5 = 0, en el nuevo sistema X’Y’ no contenga el término y’ ?
*
Ecuación General de Segundo Grado 
Eliminación del término xy en una ecuación de segundo grado
 Para transformar la ecuación En una ecuación en términos de x’ e y’ sin el término x’y’, giramos los ejes un ángulo θ que satisfaga la siguiente ecuación: Comprobación Reemplazamos las ecuaciones de rotación x = x′cosθ − y′senθ ∧ y = y′cosθ + x′senθ En la ecuación Ax2 + Bxy + cy2 + Dx + Ey + F = 0 Tu mismo eres ! 
A la expresión B2 − 4AC esta denominado como DISCRIMINANTE(∆) . 
Conociendo el valor de esta Expresión se puede saber la naturaleza de la curva 
De segundo grado 𝐁𝟐 − 𝟒𝐀𝐂 𝐂𝐮𝐫𝐯𝐚 (𝐠𝐞𝐧𝐞𝐫𝐨) Negativo Elipse (punto o no tiene gráfica) Cero Hipérbola (dos rectas que se cortan) Positivo Parábola (dos rectas paralelas o coincidentes o no tiene gráfica) Dada la ecuación general de la cónica 𝒞: Ax2 + By2 + Cx + Dy + F = 0 con A, B, C, D, F constantes Arbitrarias, se tiene que:
I. Si A = B ≠ 0, entonces siempre tenemos la ecuación de una circunferencia. 
II. Si B = 0 y A ≠ 0, entonces siempre tenemos la ecuación de una parábola. 
III. Si A.B < 0 y D2 − 4B2F > 0, entonces siempre tenemos la ecuación de una hipérbola. 
Luego son verdaderas:
Traslación de Ejes 
si trasladamos el sistema al centro de la circunferencia notaremos que la ecuación de la circunferencia 
Veamos el siguiente caso: La circunferencia mostrada en el sistema XY tiene por ecuación: 𝑥 − 4 2 + 𝑦 − 3 2 = 1 ¿Cómo se relaciona el sistema original y el sistema trasladado? Considerando el nuevo origen del sistema (h; k) Y Y’ 𝑥 P(x; y) <> P′(x′; y′) 𝑥′ Tenemos las ecuaciones de rotación 
Al despejar Desarrollando en ∗ … x = rcosα cosθ − rsenα . senθ 𝐱 = 𝐱′𝐜𝐨𝐬𝛉 − 𝐲′𝐬𝐞𝐧𝛉 𝐲 = 𝐲′𝐜𝐨𝐬𝛉 + 𝐱′𝐬𝐞𝐧𝛉 x′ y′ x = rsenα cosθ − rsenα . senθ y′ y′ … (I) Comprobación (2) X En consecuencia: Ejemplo Si un sistema es girado un ángulo de 37o, determine las Coordenadas del punto 10; 15 en el nuevo sistema. Resolución Para resolver el ejemplo podemos utilizar las ecuaciones (I) y (II) En el gráfico PK = x′ = rcos(α − θ) PH = y′ = rsen(α − θ) x′ = rcosα cosθ + rsenα senθ Para nuestro ejemplo la ecuación (II) se ajusta perfectamente 𝐱′ = 𝟏𝟎𝐜𝐨𝐬𝟑𝟕𝐨 + 𝟏𝟓𝐬𝐞𝐧𝟑𝟕𝐨 𝐲′ = 𝟏𝟓𝐜𝐨𝐬𝟑𝟕𝐨 − 𝟏𝟎𝐬𝐞𝐧𝟑𝟕𝐨 x y
Coordenadas del punto luego de que los ejes Coordenados giran un ángulo de 30o en sentido antihorario. 

Ejercicios resueltos de examen de admisión a la Universidad