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ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA Y ÁNGULO ENTRE 2 RECTAS EJERCICIOS RESUELTOS DE TRIGONOMETRÍA PREUNIVERSITARIA EN PDF


















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1. PENDIENTE DE UNA RECTA Se denomina pendiente o coeficiente angular de una recta a la tangente de su ángulo de inclinación. General-mente la pendiente se representa por la letra m, dicho valor puede ser positivo o negativo, dependiendo si el ángulo de inclinación es agudo u obtuso respectivamente. • Pendiente de L1:m1=Tg En este caso m1 > 0 (+) • Pendiente de L2 : m1=Tg En este caso m2 < 0 (-) Nota: La pendiente de las rectas horizon-tales es igual a cero (y viceversa) las rectas verticales no tienen pendiente. Otra manera de hallar la pendiente de una recta es la siguiente: Sean P1(x1; y1) y P2(x2; y2) dos puntos de la recta, entonces la pendiente (m) se calcula aplicando la fórmula: , Si x1  x2 Demostración: Demostración: • Observamos de la figura que  es el ángulo de inclinación de L, entonces: M=Tg ......(1) • De la figura también se observa que: Tg= .......(2) Pero: a=y2 – y1; b=x2 – x1 Reemplazando en (1) se obtiene: Ejemplo: • Hallar la pendiente de una recta que pasa por (2;-2) y (-1;4). Resolución: Sea P1(2;-2) y P2(-1;4); entonces  m=-2 • Una recta pasa por los puntos (2;3) y (6;8) y (10;b). Hallar el valor de b. Resolución: Como la recta pasa por los puntos (2;3) y (6;8) entonces su pendiente es:  ........ (1) Como la recta pasa por (2,3) y (10,b) entonces su pendiente es:  ...... (2) De (1) y (2):  b=13 • El ángulo de inclinación de una recta mide 135º, si pasa por los puntos (-3; n) y (-5;7). Hallar el valor de n. Resolución: Como el ángulo de inclinación mide 135º entonces la pendiente es: m=Tg135º  m=-1 Conociendo dos puntos de la recta también se puede hallar la pendiente: m =  m= Pero m=-1, entonces:  2=7-n  n=5 2. ANGULO ENTRE DOS RECTAS Cuando dos rectas orientadas se intersectan, se foorman cuatro ángulos; se llama ángulo de dos rectas orientadas al formado por los lados que se alejan del vértice.  es el ángulo que forma las rectas L1 y L2  es el ángulo que forman las rectas L3 y L4. Observar que cuando se habla de ángulo entre dos recta se considera a los ángulos positivos menores o iguales que 180º. a. Cálculo del Angulo entre dos Rectas Conociendo las pendientes de las rectas que forman el ángulo se puede calcular dicho ángulo. m1 es la pendiente de la recta final (L1) y m2 es la pendiente de la recta inicial (L2). Denominamos a L1 Recta Final, porque de acuerdo con la figura el lado final del ángulo  está en L1, lo mismo sucede con L2. Ejemplo: • Calcular el ángulo agudo formado por dos rectas cuyas pendientes son: -2 y 3. Resolución: Y X Sea: m1= -2 y m2=3 Entonces: Tg=  Tg=1 =45º • Dos rectas se intersectan formando un ángulo de 135º, sabiendo que la recta final tiene pendiente igual a -3. Calcular la pendiente de la recta final. Resolución: Sea: m1= Pendiente inicial y m2= Pendiente final=-3 Entonces: Tg135º=  -1= -1+3m1=-3-3m1  4m1=-2  Observaciones:  Si dos rectas L1 y L2 son paralelas entonces tienen igual pendiente. L1//L2 m1=m2  Si dos rectas L1 y L2 son perpendiculares entonces el producto de sus pendientes es igual a –1. L1 L2 m1 . m2= -1 3. RECTA La recta es un conjunto de puntos, tales que cuando se toman dos puntos cualesquiera de ésta, la pendiente no varía. Por ejemplo: Si A, B, C y D son puntos de la recta L, entonces se cumple que: mAB = mCD = mBD ...... = mL Ecuación de la Recta Para determinar la ecuación de una recta debemos de conocer su pendiente y un punto de paso de la recta, o también dos puntos por donde pasa la recta. a) Ecuación de una recta cuya pendiente es m y un punto de paso es p1(x1;y1). y – y1 = m(x – x1) b) Ecuación de una recta conociendo dos puntos de paso p1(x1,y1) y p2(x2;y2) c) Ecuación de una recta cuya pendiente es m e intersección con el eje de ordenadas es (0;b). y=mx+b d) Ecuación de una recta conociendo las intersecciones con los ejes coordenados. A esta ecuación se le denomina: Ecuación Simétrica de la recta. e) Ecuación General de la Recta La foma general de la ecuación de una recta es: en donde la pendiente es: m= - (B0) Ejemplo: • Hallar la ecuación general de una recta que pasa por el punto (2,3) y su pendiente es 1/2. Resolución: y–y1 =m(x – x1)  y–3 =  2y–6= x–2 La ecuación es: x – 2y + 4 =0 • La ecuación de una recta es: 2x+3y–6 = 0, hallar su pendiente y los puntos de intersección con los ejes coordenados. Resolución: Ecuación: 2x + 3y – 6 = 0 La pendiente es: m = 2x + 3y = 6  Los puntos de intersección con los ejes coordenados son: (3; 0) y (0; 2) EJERCICIOS 1. Una recta que pasa por los puntos y tiene como pendiente y ángulo de inclinación a: a) b) 1,30° c) 2,45° d) 5,37° e) 4,60° 2. Hallar la pendiente de la recta: 4x+7y–3 = 0. a) b) c) d) e) 3. Señale la ecuación de la recta que pase por (3; 2) y cuyo ángulo de inclinación sea de 37º. a) 3x-4y-1 = 0 b) 2x+3y-12 = 0 c) x-y-1 = 0 d) x+y+1 = 0 e) x + y – 1 = 0 4. Señale la ecuación de la recta que pase por los puntos P (1;5) y Q (-3;2). a) 3x+4y – 17 = 0 b) 3x-4x+17=0 c) 3x-4x-17 = 0 d) 2x+y+4 = 0 e) x+y-2=0 5. Señale la ecuación de la recta que pasando por (1;2) sea paralela a la recta de ecuación: 3x + y –1 = 0. a) 3x+y-5 = 0 b) x-y-5 = 0 c) 3x-y+5 = 0 d) 2x+2y-5 = 0 e) x+y-1=0 6. Señale la ecuación de la recta que pasando por (-3;5) sea perpendicular a la recta de ecuación: 2x-3y+7=0. a) x+y+7 = 0 b) 2x+2y+3 = 0 c) x+y+8 = 0 d) 3x+2y-1 = 0 e) x+3y-4 = 0 7. Dada la recta L: x + 2y - 6 = 0 ¿Cuál es la longitud del segmento que determina dicha recta entre los ejes cartesianos? a) b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 8. Hallar el área del triángulo rectángulo formado por los ejes coordenados y la recta cuya ecuación es: 5x+4y+20 = 0. a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25 9. Señale la suma de coordenadas del punto de intersección de las rectas: L1: 3x-y-7 = 0 con L2:x-3y-13= 0 a) –1 b) –2 c) –3 d) –4 e) -5 10. Dada la recta “L” con ecuación 3x+4y-4 =0 y el punto P(-2,-5), encontrar la distancia más corta de P a la recta L. a) 2 b) 2 c) 6 d) 8 e) 10 11. Calcular el área del triángulo formado por L1: x =4 L2: x + y = 8 y el eje x. a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 12. Calcular el área que se forma al graficar: y = lxl, y = 12. a) 144 b) 68 c) 49 d) 36 e) 45 13. Señale la ecuación de a recta mediatriz del segmento : Si A(-3;1) y B(5;5). a) 2x + y – 5 = 0 b) x+2y-5 = 0 c) x+y-3 = 0 d) 2x-y-5 = 0 e) x+y-7 = 0 14. Dado el segmento AB, con extremos: A = (2; -2), B = (6; 2) Determinar la ecuación de la recta con pendiente positiva que pasa por el origen y divide el segmento en dos partes cuyas longitudes están en la relación 5 a 3. a) x-9y = 0 b) x + 9y = 0 c) 9x+ y = 0 d) 9x – y = 0 e) x – y = 0 2. De la figura, halle: “K” A) 6a B) 7a C) 8a D) 9a E) 10a 3. Determine la pendiente la recta, cuya ecuación es: , para que pase por el punto de intersección de las rectas: A) B) C) 7 D) -7 E) 1 4. Determine la ecuación de la recta cuya pendiente es –4 y que pasa por el punto de intersección de las rectas ; A) 4x+y-10=0 B)4x+y-2=0 C) 4x+y+10=0 D)4x-y+2=0 E) 2x+y – 8=0 5. Una recta que pasa por el origen y por la intersección de las rectas y . Halle la ecuación.  A) 4y-x=0 B) x-4y=0 C) 4y+x=0 D) x+4y=0 E) x+y=0 6. Si la ecuación lineal de la recta L es: 5x+3y–4=0 y el punto (2;k) pertenece a dicha recta. Hallar: K A) 0 B) -1 C) -2 D) -3 E) -4 7. Halle “n” de modo que la recta corta al segmento en el punto “P” tal que:7 ;además A) 1 B) C) D) -2 E) 2 8. Halle la ecuación de la recta mediatriz del segmento si: A) x+y+7=0 B) x-y-7=0 C) x+y-7=0 D) x-y+7=0 E) x+y=0 9. Calcule la ecuación de la recta que pasa por el baricentro del triángulo ABC, y el origen de coordenadas. Si: A (3; 1), B (5; 7), C (7; 2) A) 2x-5y=0 B) 2x+5y=0 C) 5x-2y=0 D) 5x-2y=0 E) 3x-5y=1 10. Si y . Son las ecuaciones de dos rectas perpendiculares y si “ son sus pendientes, halle el valor de . A) B) C) D) E) 11. Halle la ecuación de la mediatriz del segmento que se forma al interceptarse con los ejes coordenados la recta . A) 6x-8y+7=0 B) 6x+8y+7=0 C) 6x+8y-7=0 D) 6x- 8y -7=0 E) 3x+4y-7=0 12. Si la recta pasa por el punto P (2;-5) y es paralela a la recta . Halle: “a + b” A) 10 B) -10 C)2 D) -2 E) 0 13. Si es perpendicular a la recta Si . Halle B  C A) B) 1 C) D) E) -1 14. Calcule el área de la región triangular formada por la intersección de las rectas. ; y el eje Y. A) B) C) D) E) 15. Halle el área de la región triangular que forma la recta, , al intersectar a los ejes coordenados. A) B) C) D) E) 16. Los vértices de un triángulo son los puntos A (1;0), B (-4;5) y C (2;8). Halle la longitud de la altura relativa al lado BC. A) B) C) D) E) 17. Una recta pasa por los puntos (3;2) y (-4;-7) y otra recta que pasa por el punto (-6;1) y el punto A cuya ordenada es -5. Halle la abscisa de A sabiendo que es perpendicular a . A) B) C) D) E) 18. Del gráfico, halle la abscisa x, Si S representa área. A) B) C) D) E) 19. Sean A (-1;2), B(3;4) y C(5;7) los vértices de un triángulo. Si es la recta que contiene a la altura del triángulo relativa al lado . Halle a + b. A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 20. Halle la medida del ángulo obtuso que forman dos rectas, cuyas pendientes valen “ ” y “ ” respectivamente. A) 127º B) 120º C) 150º D) 135º E) 143º 21. Halle la ecuación de la recta de pendiente positiva que pasa por el punto P (0;1) y forma un ángulo de 45º con la recta A) x+5y+5=0 B)x-5y+5=0 C) x-5y-5=0 D)x-3y+3=0 E) x-3y-3=0 22. Calcule Ud., el área que se forma al graficar: A) 50 µ² B) 75µ² C) 100 µ² D) 150 µ² E) 200 µ² 23. Determine el área y perímetro de aquella región triangular que se forma al intersectarse la recta con los ejes coordenados. A) B) C) D) E) 24. En la figura, halle la ecuación de la recta L.