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DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS , DIVISIÓN DE UN SEGMENTO , BARICENTRO DE UN TRIÁNGULO , ÁREA DE UN TRIÁNGULO MEDIANTE COORDENADAS EJERCICIOS RESUELTOS EN PDF


















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Sistema de Coordenadas Rectangulares (Plano Cartesiano o Bidimensional) Este sistema consta de dos rectas dirigidas (rectas numéricas) perpendi-cular entre sí, llamados Ejes Coordenados. Sabemos que: X´X : Eje de Abscisas (eje X) Y´Y : Eje de Ordenadas (eje Y) O : Origen de Coordenadas IIC IC O IIIC IVC Ejem: Del gráfico determinar las coordenadas de A, B, C y D. Y X D • Coordenadas de A: (1;2) • Coordenadas de B: (-3;1) • Coordenadas de C: (3;-2) • Coordenadas de D: (-2;-1) Nota Si un punto pertenece al eje x, su ordenada igual a cero. Y si un punto Pertenece al eje y, su abscisa es igual a cero. 2. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS La distancia entre dos puntos cualesquiera del plano es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de su diferencia de abscisas y su diferencia de ordenadas. Ejm: Hallar la distancia entre los puntos A yB si: A(3;8) y B(2;6). Resolución AB= AB= Ejm: Hallar la distancia entre los puntos P y Q. P( -2;5) y Q(3;-1) Resolución PQ= PQ= Observaciones: • Si P1 y P2 tienen la misma abscisa entonces la distancia entre dichos puntos se calcula tomando el valor absoluto de su diferencia de ordenadas. Ejm: A(5;6) y B(5;2) AB= 6-2 AB=4 C(-3;-2) y D(-3;5) CD= -1-5 CD=6 E(5;8) y F(5;-2) EF= 8-(-2) EF=10 • Si P1 y P2 tienen la misma ordenada entonces la distancia entre estos se calcula tomando el valor absoluto de su diferencia de abscisas. Ejm: A(8;-1) y B(1;-1) AB= 8-1 AB=7 C(-4;7) y D(-9;7) CD= -4-(-9) CD=5 Ejemplos: 1. Demostrar que los puntos A(-2;-1), B(2;2) y C(5;-2) son los vértices de un triángulo isósceles. Resolución Calculamos la distancia entre dos puntos.  Observamos que AB =BC entonces ABC es un triángulo isósceles. 2. Hallar el área de la región determinada al unir los puntos: A(-4;1), B(4;1) y C(0;3). Resolución Al unir dichos puntos se forma un triángulo. (ver figura) • .......... (1) AB= -4 -4 =8 h= 3 -1 =2 • Reemplazando en (1): 3. Hallar el perímetro del cuadrilátero cuyos vértices son: A(-3;-1), B(0;3), C(3;4) y D(4;-1). Resolución • • • • El perímetro es igual a: 3. DIVISIÓN DE UN SEGMENTO en una Razón Dada. Y X • Sean P1(x1;y1) y P2(x2;y2) los extremos de un segmento. • Sea P(x;y) un punto (colineal con P1P2 en una razón) tal que divide al segmento P1P2 en una razón r. es decir: entonces las coordenadas de P son: Nota Si P es externo al segmento P1P2 entonces la razón (r) es negativa. Ejm: Los puntos extremos de un segmento son A(2;4) y B(8;-4). Hallar las coordenadas de un puntos P tal que: Resolución: Sean (x;y) las coordenadas de P, entonces de la fórmula anterior se deduce que:  Ejm: Los puntos extremos de un segmento son A(-4;3) y B(6;8). Hallar las coordenadas de un punto P tal que: . Resolución:  Ejm: A(-2;3), B(6;-3) y P(x;y) son tres puntos colineales, si . Hallar: x+y Resolución: Del dato: r=-2, entonces: x=14 y=-9  x + y = 5 Observación Si la razón es igual a 1 es decir , significa que: P1P=PP2, entonces P es punto medio de P1P2 y al reemplazar r=1 en las formas dadas se obtiene: Ejm: Hallar las coordenadas del punto medio P de un segmento cuyos extremos son: A(2;3) y B(4;7). Resolución: Sea P(x; y) el punto medio de AB, entonces:  x = 3  y = 5  P(3; 5) Ejm: Si P(x; y) es el punto medio de CD. Hallar: x-y. C(-5; 6) y D(-1;-10). Resolución:  x=-3  y=-2 P(-3;-2)  x-y = -1 Ejm: El extremo de un segmento es (1;-9) y su punto medio es P(-1;-2). Hallar las coordenadas del otro extremo. Resolución: Sean (x2;y2) las coordenadas del extremo que se desea hallar como P(-1;-2) es el punto medio, se cumple que:  x2=-3  y2=5 Las coordenadas del otro extremo son: (-3;5) BARICENTRO DE UN TRIÁNGULO Sea A(x1;y2), B(x2;y2), C(x3;y3) los vértices del triángulo ABC, las coordenadas de su baricentro G son: G(x;y)= ÁREA DE UN TRIÁNGULO Sea A(x1;y2), B(x2;y2), C(x3;y3) los Vértices de un triángulo ABC, el área (S) del triángulo es: x1.y2 + x2.y3 + x3.y4 - x2.y1- x3.y2 - x1.y3 EJERCICIOS 1. Calcular la distancia entre cada uno de los siguientes pares de puntos: a) (5;6)  (-2;3) b) (3;6)  (4;-1) c) (1;3)  (1;-2) d) (-4;-12)  (-8;-7) 2. Un segmento tiene 29 unidades de longitud si el origen de este segmento es (-8;10) y la abscisa del extremo del mismo es12, calcular la ordenada sabiendo que es un número entero positivo. a) 12 b) 11 c) 8 d) 42 e) 31 3. Hallar las coordenadas cartesianas de Q, cuya distancia al origen es igual a 13u. Sabiendo además que la ordenada es 7u más que la abscisa. a) (-12; 5) b) (12; 5) c) (5; 12) d) (-5; -12) e) a y b son soluciones 4. La base menor de un trapecio isósceles une los puntos (-2;8) y (-2;4), uno de los extremos de la base mayor tiene por coordenadas (3;-2). La distancia o longitud de la base mayor es: a) 6u b) 7u c) 8u d) 9u e) 10u 5. Calcular las coordenadas de los baricentros de los siguientes triángulos: a) (2:5); (6;4); (7;9) b) (7;-8); (-12;12); (-16;14) 6. Calcular las coordenadas del punto “p” en cada segmentos dada las condiciones: a) A(0;7); B(6;1) / AP = 2PB b) A(-3;2); B(4;9) / 3AP = 4PB c) A(-1;-4); B(7;4) / 5AP = 3PB 7. En un triángulo ABC las coordenadas del baricentro son (6:7) el punto medio AB es (4;5) y de CB(2;3) determinar la suma de las coordenadas del vértice ”C”. a) 21 b) 20 c) 31 d) 41 e) 51 8. Se tienen un triángulo cuyos vértices son los puntos A(2;4); B(3;-1); C(-5;3). Hallar la distancia de A hasta el baricentro del triángulo. a) b) c) d) e) 9. En la figura determinar: a+b a) 19 b) –19 c) –14 d) –18 e) -10 10. La base de un triángulo isósceles ABC son los puntos A(1;5) y C(-3;1) sabiendo que B pertenece al eje “x”, hallar el área del triángulo. a) 10u2 b) 11u2 c) 12u2 d) 13u2 e) 24u2 11. Reducir, “M” si: A=(3;4) B=(5;6) C=(8;10) D=(0;0) E=(2;2) a) 1 b) 6 c) 7 d) 5 e) 4 12. El punto de intersección de las diagonales de un cuadrado es (1;2), hallar su área si uno de sus vértices es: (3;8). a) 20 b) 80 c) 100 d) 40 e) 160 13. Los vértices de un cuadrilátero se definen por: (2; 1), (-2; 2), (3; -2), (-3; -3). Hallar la diferencia de las longitudes de las diagonales a) b) c) 0 d) e) 14. Del gráfico siguiente determine las coordenadas del punto P. 16. Sean: A (-2;5); B (3;-2) y C (10;b); puntos del plano. Si d (A, B) = d (B,C), Halle el valor de b, si es negativo. A) -3 B) -5 C) -7 D) -8 E) -9 17. Dado el punto A (-2;5) y B (m;8). Halle la suma de valores de “m” si la distancia de AB es 5. A) -1 B) -2 C) -3 D) -4 E) -6 18. Los vértices de un cuadrado ABCD son: A(2;3) y C(5;7) Halle el área del cuadrado. A) B) C) D) E) 19. Se tiene un triángulo equilátero cuyos vértices son: A (-1;2) y B (2;6). Determine el perímetro de dicho triangulo. A) 20 B) 15 C) 10 D) 11 E) 12 20. Tres vértices de un paralelogramo son: A(-1;4), B( 1;-1) y C(6;1). Si la ordenada del cuarto vértice “D” es “6”, Halle su abscisa. A) 5 B) 4 C) 6 D) -4 E) -6 21. Cuál de los siguientes triángulos ABC, tienen mayor área. a) A (-5,0), B (1,2) y C (1,-2) b) A (1,1), B (6-4) y C (5,3) c) A (2,0) , B (6,0) y C (4,12) A) a B) b C) c D) Todos tiene igual área 22. Encontrar las coordenadas de los puntos que trisecan al segmento , si: Dar como respuesta el más cercano a “B” A) B) C) D) E) 23. Se tiene el triángulo A (4,8), B (6;-2), C (-10; 6). Halle la distancia del vértice “B” al baricentro del triángulo. A) B) C) D) E) 24. Si los puntos medios de los lados de un triángulo son (2;1) , (3;-2) y (-1; -3). Calcule el área de dicho triángulo. A) B) C) D) E) 25. Se tiene un cuadrilátero cuyas coordenadas son: A(-3;-1); B (-2,4); C (5;3) y D . Si M es el punto de intersección de sus diagonales, halle la suma de las coordenadas del punto N, si es punto medio de . Donde: A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 26. Se tiene un triángulo ABC cuyas coordenadas de sus vértices son: A (1;0), B (11;8) y C (x;0). Si M es punto medio de y la medida del ángulo agudo MCA es . Halle la suma de las coordenadas del baricentro del triángulo AMC. A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 27. Dos vértices de un triángulo equilátero son (-2;9) y (3;-3). Cuánto mide la altura relativa a dicho lado. A) B) C) D) E) 28. El área de una región triángular es , dos de sus vértices son los puntos A (2;1) y B ( 3;-2); el tercer vértice C está situado en el eje X. Halle sus coordenadas. A) B) C) D) E) 29. El segmento que une con se prolonga hasta sabiendo que Halle las coordenadas de C. A) B) C) D) E) 30. Los puntos medios de los lados de un triángulo son P (2;5), Q (4;2) y R (1;1) . Halle las coordenadas de los tres vértices. Indique como respuesta la suma de las abscisas y las ordenadas de los tres vértices. A) 7 B) 8 C) 10 D) 12 E) 15 17. Dado los puntos M (2;2) y N (5;-2). Determine en el eje de las abscisas un punto P de modo que el ángulo MPN sea recto. A) (6;0) ó (1;0) B) (3;0) ó (7;0) C) (6;0) ó (-1;0) D) (3;0) ó (8;0) E) (-3;0) ó (1;0) 26. Si G (3; 4) es el baricentro de un triángulo ABC y G,(4/3,2), (3;19/3) son los baricentros de los triángulos formados uniendo G con los vértices A, B y C; determinar las coordenadas de estos vértices. A) (2;-2),(8;10),(-2;4) B) (3;-3),(8;10),(-2;5) C) (1;-1),(8;10),(-2;5) D) (3;-3),(6;8),(-1;4) E) (3;-3),(6;8),(-1;4) 27. Halle el punto “P” de la figura A) B) C) D) E) 28. Dado los puntos A (m-1; n+2) y B (2;3). Si el punto Q divide al segmento AB en la proporción: siendo Halle: (m + n). A) -2 B) -4 C) -6 D) -8 E) -10 29. En la figura, calcule la distancia Si S: Área A) B) C) D) E) 30. Halle el área de aquella región triángular donde 2 de sus vértices son (0;0) y (6;6), además se sabe que el punto de intersección de sus medianas es ( 4/3 ;4). A) B) C) D) E) 31. Los puntos A(-2;3); B(1;1), C(3;a) con a >0 y D(b;c) son los vértices de un cuadrado. Calcule: A) 6 B) 10 C) 8 D) 2 E) 12 32. Si 0 (0;0); y , donde es el punto de intersección de y . Si P divide a ambos segmentos en la misma razón. Halle la suma de las coordenadas del punto . A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 33. El lado desigual de un triángulo isósceles tiene por extremos los puntos A (2;-1) y B (-1;2) y los lados iguales miden cada uno ., Halle el vértice opuesto al lado desigual. A) (1;1) ó (-3;-3) B) (3;3) ó (-2;-2) C) (4;4) ó (-1;1) D) (5;5) ó (-2;2) E) (-3,3) ó (3;3) 34. Se tiene los vértices de un triangulo Y y C (-2;-2). Determinar el radio de la circunferencia circunscrita al triangulo ABC. A) B) C) D) E)