COORDENADAS POLARES PREGUNTAS RESUELTAS DE ECUACIONES POLARES DE LAS CÓNICAS TRIGONOMETRÍA PDF
OBJETIVOS :
☛ Representar puntos con coordenadas polares.
☛ Determinar la gráfica y la ecuación de la cardioide en coordenadas polares.
☛ Representar curvas usando coordenadas polares.
Hasta ahora hemos estudiado el sistema de coordenadas cartesianas rectangulares para localizar un punto en el plano.
En este capítulo estudiaremos otro sistema denominado sistema de coordenadas polares el cual ofrece otras ventajas con respectos a la coordenadas cartesianas.
En un sistema de coordenadas polares un punto P del plano se le representa por un par de números (𝑟; 𝜃) donde “r” es la distancia del polo al punto dado y donde 𝜃 es el ángulo de inclinación del radio vector OP con respecto al semi-eje positivo llamado eje polar.
PROBLEMAS PROPUESTOS
PREGUNTA 1 :
Dada la ecuación polar de una curva en coordenadas polares
r²= cot³θ + cotθ, calcule la ecuación de dicha curva en coordenadas rectangulares.
A) x= y³
B) y =x³
C) x= y²
D) y =x²
E) x+ y3=1
Rpta. : "A"
PREGUNTA 2 :
La ecuación polar de una curva es r = 6(3+senθ)−¹
Determine la longitud de su lado recto.
A) 12
B) 10
C) 8
D) 6
E) 4
Rpta. : "E"
PREGUNTA 3 :
Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto P(2√2; 2𝛑/3) y es paralela al eje polar.
A) r cosθ = √6
B) r cosθ = √3
C) r senθ = 2
D) r senθ = √3
E) r senθ = √6
Rpta. : "E"
PREGUNTA 4 :
La ecuación polar de una cónica es
r =cscθ(cscθ–cotθ)
Determine su ecuación rectangular.
A) y² + 2x–1=0
B) y²+2x+1=0
C) y²–2x+1=0
D) y²–2x–1=0
E) 2y²+x–1=0
Rpta. : "A"
PREGUNTA 5 :
Si r = 2(1+2cosθ)−¹ es la ecuación de una cónica en coordenadas polares, determine la ecuación de una recta directriz en coordenadas cartesianas.
A) 8x–5=0
B) 12x–13=0
C) 3x–5=0
D) 6x–5=0
E) 8x–3=0
Rpta. : "C"
PREGUNTA 6 :
Halle la ecuación de la recta sabiendo que pasa por el punto (5; 16°) y forma un ángulo de 143° con el eje polar.
A) rcos(θ + 37°) =1
B) rcos(θ – 16°) =4
C) rcos(θ – 53°) =2
D) rcos(θ–53°) =4
E) rcos(θ + 16°) =4
Rpta. : "D"
PREGUNTA 7 :
Determine la ecuación polar de la curva
y²(2a – x) =x³
A) r =2atanθsenθ
B) r =2asenθtan2θ
C) r =2senθtanθ
D) r²=2atanθsenθ
E) r³=2atanθsenθ
Rpta. : "A"
PREGUNTA 8 :
Las asíntotas de la hipérbola cuya ecuación polar es
2r =3secθ +5cscθ son r =msecθ y r =ncscθ.
Determine el valor de m²+n².
A) 34
B) 6
C) 17/4
D) 17/2
E) 5
Rpta. : "D"
PREGUNTA 9 :
Calcule el área de la región encerrada por las curvas r =4senθ y r =4cosθ.
A) 2(𝛑–1) u²
B) (𝛑–1) u²
C) (𝛑 + 2) u²
D) 2(𝛑–2) u²
E) (𝛑–2) u²
Rpta. : "D"
PREGUNTA 10 :
Determine el número de puntos de intersección de las curvas de ecuación
r =sen²θ y r =cos²θ
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
Rpta. : "D"
PREGUNTA 11 :
Halle la ecuación polar de una circunferencia que pasa por el polo y por los puntos A (a; 0) y B(b; 𝛑/2) .
A) r =asenθ +bcosθ
B) r =asenθ–bcosθ
C) r =acosθ–bsenθ
D) r =acosθ +bsenθ
Rpta. : "D"
PREGUNTA 12 :
Sea la hipérbola cuya ecuación es 9x² – 4y² = 36, calcule la ecuación polar de las asíntotas.
A) tanθ ± 2=0
B) tanθ ± 1=0
C) 2tanθ ± 5=0
D) 3tanθ ± 2=0
E) 2tanθ ± 3=0
PREGUNTA 13 :
Encuentre las coordenadas cartesianas de los puntos (3; 𝛑) y (–4 ; 2𝛑/3) dados en coordenadas polares. Dé como respuesta la suma de las ordenadas de dichos puntos.
A) −3√3
B) −2√3
C) −√3
D) √3
E) 2√3
PREGUNTA 14 :
Si r = 3(2 – 2senθ)−¹ es la ecuación de una cónica en coordenadas polares, determine la ecuación de la recta directriz en coordenadas cartesianas.
A) 2y–3=0
B) y–3=0
C) y +3=0
D) 2x–3=0
E) 2y +3=0
PREGUNTA 15 :
Calcule la distancia entre los puntos P y Q si sus coordenadas polares son P(–6 ; 7𝛑/4) y Q(12 ; 𝛑/4)
A) 6√5
B) 3√2
C) 2√2
D) 5
E) 6√10
𝐃𝐄𝐅𝐈𝐍𝐈𝐂𝐈Ó𝐍
Para formar el sistema de coordenadas polares en el plano, se fija un punto O, denominado polo (origen), y a partir de este se traza un rayo horizontal a la derecha, al cuál se le denomina eje polar.
La recta que pasa por el polo y es perpendicular al eje polar se le denomina eje normal.
Donde Al par (𝑟; 𝜃) se denomina coordenadas polares de 𝑃 y se denota 𝑃 𝑟; 𝜃 .
𝜃: se le denomina ángulo polar ( medido en sentido horario o antihorario).
𝑟: distancia dirigida del punto 𝑃 al polo.
Si 𝑟 > 0 entonces 𝑟; 𝜃 es un punto que se encuentra a una distancia 𝑟 del polo y sobre el lado final de 𝜃.
OBSERVACIÓN
Las coordenadas 𝑟; 𝜃 , 𝑟; 𝜃 + 2𝜋 y −𝑟; 𝜃 + 𝜋 se refieren todas
Si 𝑟 < 0, entonces 𝑟; 𝜃 es un punto que se encuentra a una distancia 𝑟 del polo y sobre la prolongación del lado final de 𝜃.
Eje polar
RELACIÓN ENTRE COORDENADAS POLARES Y RECTANGULARES
Hacemos coincidir el eje polar con el eje X positivo
EJEMPLO
Halle las coordenadas polares del punto 𝑃 y el polo con el origen de coordenadas rectangulares.
Halle las coordenadas rectangulares del punto 𝑃(4; 6)
EJERCICIO Obtenga la ecuación polar de la curva que tiene por ecuación rectangular
RESOLUCIÓN
EJERCICIO
Obtenga la ecuación rectangular de la curva que tiene por ecuación polar 𝑟 = 2sen3θ RESOLUCIÓN
ECUACIÓN POLAR DE LAS CÓNICAS ECUACIÓN POLAR DE LA CÓNICAS
Para hallar las ecuaciones polares de las cónicas ubicamos al foco de dicha cónica en el polo origen .
𝐂𝐀𝐒𝐎 𝟏 ( directríz vertical)
EJERCICIO Grafique la cónica de ecuación polar 𝑟 3 − 2cosθ
Del gráfico mostrado, calcule el área de la región sombreada. 𝐹: foco de la parábola