SISTEMA DE ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS EJERCICIOS RESUELTOS PDF
Se denomina así a un conjunto de ecuaciones en la cual al menos una es trigonométrica y donde intervienen dos o más variables angulares.
Resolver un sistema de ecuaciones trigonométricas no es difícil, se debe tomar en cuenta que el número de ecuaciones sea igual al número de incógnitas o variables angulares.
No existe un método único o generalizado, se requiere cierto dominio de álgebra elemental, así como de trigonometría entre otros.
El método más usado para resolver sistemas de ecuaciones trigonométricas es eliminar una de las incógnitas, con ayuda de las otras ecuaciones del sistema, se reduce al sistema de ecuaciones algebraicas mediante sustituciones acertadas de identidades o nuevas incógnitas o transformando las ecuaciones del sistema.
Al resolver un sistema de ecuaciones trigonométricas, debe cumplirse que las soluciones obtenidas satisfagan el sistema dado.
Los procedimientos que se utilizan en la resolución de los sistemas de ecuaciones, son muy variables, siendo muy difícil poder metodizar los procedimientos de carácter general.
Nos limitaremos, por lo tanto, a dar una idea de algunos procedimientos, aplicables cuando los sistemas dados tienen determinadas características . Nos referimos esencialmente, a los sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.
PRIMER PROCEDIMIENTO
Es el que pudiéramos llamar más general y consiste en eliminar una de las incógnitas por cualquier método, quedando el problema reducido a la resolución de una ecuación con una incógnita.
Uno de los procedimientos de eliminación muy utilizados, consiste en sumar los cuadrado de un seno y un coseno, cuya suma es la unidad como ya sabemos.
EJERCICIO 1 :
Resolver el sistema:
2senx=1– seny
2cosx=1+seny
RESOLUCIÓN :
Elevando al cuadrado y sumando miembro a miembro:
SEGUNDO PROCEDIMIENTO
Cunado se conoce la suma de los ángulos, se tratará de determinar el valor de su diferencia, sobre todo cuando en la segunda ecuación aparecen los mismo en forma simétrica.
EJERCICIO 1 :
Resolver el sistema:
x + y=𝛑/2
senx=–seny
RESOLUCIÓN :
De: senx = -seny, tendremos: senx + seny = 0; que tansformado a producto, tendra la forma.
De donde pueden ya despejarse x e y.
TERCER PROCEDIMIENTO
Consiste en, por medio de combinaciones de sumas y productos, tratar de determinar la suma y la diferencia de dos razones trigonométricas de los ángulos dados.
EJERCICIO 4 :
Resolver el sistema:
senx.seny=1/2
sen²x + sen²y=1
RESOLUCIÓN :
Luego de sumar y restar se obtiene respectivamente las siguientes ecuaciones equivalentes.
Sí consideramos una solución particular (positiva), tendremos:
EJERCICIO 5 :
Al resolver el sistema:
2senx + 3tgy = 4√3
6senx − tgy = 2√3
Se obtiene que la solución en el primer cuadrante es:
A) x = 45°; y = 45°
B) x = 60°; y = 30°
C) x = 30°; y = 60°
D) x = 60°; y = 45°
E) x = 60°; y = 60°
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "C"
EJERCICIO 6 :
Si:
2senx + tgy = 2
3senx – 2tgy = – 0,5
Hallar "x" e "y".
A) 𝛑
B) −𝛑/6
C) 𝛑/12
D) 𝛑/4
E) −𝛑/12
RESOLUCIÓN :
2senx + tgy = 2 ...(1)
3senx – 2tgy = – 1/2 ...(2)
Rpta. : "C"
EJERCICIO 7 :
Resuelve:
Cosx Cosy = 3/4
Senx Seny = 1/4
a) 60°; 0°
b) 45°; 15°
c) 30°; 60°
d) 30°; 30°
e) 37°; 23°
Rpta. : "D"
EJERCICIO 8 :
Al resolver el sistema:
tgx + tgy = 2
2cosx.cosy = 1
Los valores de "x" e "y" son respectivamente:
A) 30°; 30°
B) 37°; 45°
C) 30°; 60°
D) 45°; 45°
E) 60°; 60°
RESOLUCIÓN :
Escribiendo la ecuación: tgx + tgy = 2,en términos de senos y cosenos tendremos:
Rpta. : "D"
EJERCICIO 9 :
Resuelve:
(1+Tgx) (1+Tgy) = 2
x + y = 15°
a) x=15° ; y=30°
b) x=30° ; y=10°
c) x=30° ; y=15°
d) x=y
e) x=2y
Rpta. : "A"
EJERCICIO 10 :
Si
x+y =2𝛑/3
cos²x+cos²y=1
Hallar: M=x – y
A) 85°
B) 75°
C) 90°
D) 100°
E) 80°
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "C"
Resolver un sistema de ecuaciones no es otra cosa que hallar todos los conjuntos de valores de las incógnitas que convierten al mismo tiempo todas las ecuaciones del sistema en igualdades numéricas justas.
El método más usado para resolver sistemas de ecuaciones trigonométricas es eliminar una de las incógnitas, con ayuda de las otras ecuaciones del sistema, se reduce al sistema de ecuaciones algebraicas: mediante sustituciones acertadas de identidades o nuevas incógnitas o transformando las ecuaciones del sistema.
Las dificultades que se presentan están relacionadas con el hecho de que las ecuaciones que conforman un sistema de ecuaciones generan para el sistema un número infinitamente grande de soluciones.
No olvidemos que para tener un sistema de ecuaciones trigonométricas al menos una de las ecuaciones debe ser trigonométrica (las variables siempre deben estar afectadas de algún operador trigonométrico).