PUNTOS DE INFLEXIÓN DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN APLICANDO DERIVADAS EJEMPLOS RESUELTOS

PROCEDIMIENTO PARA HALLAR PUNTOS DE INFLEXIÓN : 
I) Determinar los puntos donde f ’’(x) es cero o no existe. 
II) Para cada uno de estos puntos críticos c : Si f es continua en c . Si f ’’(x) cambia de signo en c entonces (c ; f(c)) es un punto de inflexión de la gráfica de f . 
Ejemplo 1 : 
Para la función f(x) = x4 – 12x2 + 36 Si f ’’(c) = 0 entonces no necesariamente se cumple que (c ; f(c))sea un punto de inflexión de la gráfica de f. 
Ejemplo 1 : 
Consideremos la función f(x) = x4 
PUNTOS DE INFLEXIÓN 
Aquellos puntos de la gráfica de una función , en los que la concavidad se invierte , son llamados puntos de inflexión A estos tipos de puntos (A y B) se les denomina puntos de inflexión . 
Como los puntos de inflexión ocurren donde la concavidad cambia de sentido , debe suceder que en ellos f ’’ cambia de signo . 
Así, para localizar posibles puntos de inflexión necesitamos sólo determinar los x en que f ’’(x) = 0 o en el que f ’’ no está definida . 
Esto es análogo al procedimiento de localización de extremos relativos de f . 
OBSERVACIÓN 
Si (c ; f(c)) es un punto de inflexión de la gráfica de f , entonces es f ’’(c) = 0 ó f ’’(x) no está definida para x = c . Definición : Sea f una función y sea cDf si : 
* f es continua en c . 
*La concavidad tiene diferente sentido a cada lado de c . 
OBSERVACIÓN : Si f ’’(x) es una función continua , entonces ella cambia de signo al pasar por c si f’’(c) = 0 . 
Si embargo , si f ’’(x) es discontinua en c , entonces en dicho punto también podría haber un punto de inflexión . Ejemplo

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