ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE A UNA CURVA MEDIANTE LÍMITES EJERCICIOS RESUELTOS

Una recta se caracteriza porque el valor de la pendiente es siempre el mismo, no importa cuales puntos de la recta se utilicen para su cálculo ya que el ángulo de inclinación se mantiene constante Ejemplo 1 : Calcular la ecuación de la recta de pendiente 3/4 que pasa por el punto P = (–3 ; 5) Resolución : Ejemplo 2 : Calcular la ecuación de la recta tangente a : y = x2– x , en x = 8 . Resolución : Cuando x = 2 y toma el valor : y=(2)2 – 2= 2 . Por lo tanto la recta tangente pasa por el punto P=(2 ;2) Ejemplo 3 : I) Hallar la pendiente de la tangente a la curva xy = 2 , en el punto de abscisa x = a . II) ¿En dónde la pendiente de la tangente es igual a ? III) ¿Qué le ocurre a la recta tangente a la curva en el punto cuando a se aproxima a cero? Resolución : Ejemplo 4 : Analicemos el movimiento de una partícula a lo largo de una trayectoria en línea recta que en los primeros t segundos recorre una distancia de 5t2 metros . ¿A qué velocidad se moverá la partícula cuando hayan transcurrido exactamente 4 segundos? Resolución : Considerando que x(t) = 5t2 es la posición de la partícula en el instante t y P0 , el punto fijo que tiene abscisa t = 4 . Eligiendo Q , como un punto variable , con abcisa t = 4 + h La velocidad media (pendiente de la recta secante) está definida como : Se denomina tasa de variación promedio (TVM) de una función y = f(x) sobre un intervalo de la variable independiente que va de x a x + Dx a la razón . Es decir : mide la tasa de variación promedio de la función y = f(x) con respecto a x . Geometricamente, la TVM es la pendiente de la secante por P y Q y por tanto la variación instantánea en P será como caso límite la pendiente de la recta tangente en P. De lo expuesto hasta el momento, podemos concluir que las soluciones de los problemas de la recta tangente y de la tasa de variación instantánea están basados en el cálculo de un límite de la form En muchos otros problemas , estos límites se siguen presentando , por lo que es conveniente darles un nombre . Así diremos que a un límite de la forma anterior se le llama derivada de f(x) en el punto de abscisa x0 .
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