POLIEDROS REGULARES EJERCICIOS RESUELTOS PDF
OBJETIVOS
• Conocer la definición y características de los poliedros regulares.
• Calcular las superficies y volúmenes de estos poliedros en función de la longitud de su arista.
• Aplicar lo aprendido en los problemas tipo examen de admisión.
Los poliedros regulares son también llamados sólidos platónicos, debido a que Platón en su obra Timeo escribió sobre ellos y asoció a cada sólido un respectivo elemento que consideraba conformaban al universo, en ese sentido al tetraedro lo asociaba al fuego, al hexaedro a la tierra, al octaedro el aire, al icosaedro el agua y al dodecaedro lo asoció con el universo, la divinidad; éstos sólidos presenta una armonía y simetría en la disposición de sus caras.
Éstos sólidos se aprovechan en muchas expresiones artísticas como tallados en piedra, en las estructuras químicas, inspiró el estudio de grandes personajes, uno de ellos Kepler que estructuró un modelo de sistema planetario basado en los poliedros regulares.
POLIEDROS REGULARES
Son aquellos poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares iguales entre sí.
• Los ángulos poliedros y los diedros son respectivamente iguales.
• Todo poliedro regular se puede inscribir o circunscribir en una esfera donde el centro de las esferas viene a hacer el centro de poliedro regular.
TEOREMA :
Solamente existen 5 poliedros regulares tetraedro regular, exaedro regular, octaedro regular, dodecaedro regular, icosaedro regular.
𝑖) TETRAEDRO REGULAR :
Es aquel poliedro regular limitado por cuatro regiones triangulares equiláteras.
Sus caras son triángulos equiláteros, que están unidos de 3 en 3
𝑖𝑖) HEXAEDRO REGULAR O CUBO:
Es aquel poliedro regular limitado por seis regiones cuadradas.
Sus caras son cuadrados que están unidos de 3 en 3. Tiene 4 diagonales, las cuales son de igual longitud y concurren en sus puntos medios el cual es el centro del cubo.
𝑖𝑖𝑖) OCTAEDRO REGULAR:
Es aquel poliedro regular limitado por ocho regiones triangulares equiláteras.
Sus caras son triángulos equiláteros, que están unidos de 4 en 4 Tiene 3 diagonales, las cuales son de igual longitud y son perpendiculares en sus puntos medios.
𝑖v) DODECAEDRO REGULAR :
Es aquel poliedro regular limitado por doce regiones pentagonales regulares.
Tiene cien diagonales. Sus caras son pentágonos regulares que están unidos de 3 en 3.
v) ICOSAEDRO REGULAR:
Poliedro formado por veinte triángulos equiláteros. Tiene 36 diagonales.
POLIEDROS CONJUGADOS
Dos poliedros son conjugados cuando el número de caras de uno de ellos es igual al número de vértices del otro.
• Todo poliedro puede ser inscrito en su conjugado.
• El tetraedro regular es conjugado consigo misma, es decir en un tetraedro regular solamente se puede inscribir una esfera y un tetraedro regular.
• El exaedro regular y el octaedro regular son conjugados, es decir en el exaedro regular solamente se puede inscribir una esfera y el octaedro regular y viceversa.
• El dodecaedro regular y el icosaedro regular son conjugados.
PROBLEMAS PROPUESTOS
PREGUNTA 1 :
Si la arista de un cubo de Rubik es 6 𝑐𝑚, ¿cuál es su volumen?
A) 180 𝑐𝑚³
B) 192 𝑐𝑚³
C) 206 𝑐𝑚³
D) 216 𝑐𝑚³
E)128 𝑐𝑚³
Rpta. : "D"
PREGUNTA 2 :
Amy tiene 18√2 𝑐𝑚³ de cera para preparar una vela de la forma de un tetraedro regular. Calcule la altura de la vela aproximadamente.
A) 3 𝑐𝑚
B) 3,5 𝑐𝑚
C) 5 𝑐𝑚
D) 5,5 𝑐𝑚
E) 4 𝑐𝑚
Rpta. : "C"
PREGUNTA 3 :
En un octaedro regular M - ABCD - N, el área de la región BMDN es 3. Halle el volumen de dicho octaedro regular.
A) √2
B) √3
C) 3
D) √6
E) 1 𝑐𝑚
Rpta. : "D"
PREGUNTA 4 :
Sean A y B los extremos de una de las aristas de un cubo y sea O el centro de dicho cubo. Entonces el coseno del ángulo AOB es :
A) 2/3
B) 1/6
C) 3/4
D) 3/5
E) 1/3
Rpta. : "E"
PREGUNTA 5 :
En un hexaedro regular, la distancia entre los centros de dos caras adyacentes es √2𝑢 . determine el volumen de dicho hexaedro .
A) 4𝑢³
B) 2
C)10
D) 6
E) 8
Rpta. : "E"
PREGUNTA 6 :
En un hexaedro regular ABCD – EFGH, calcule la medida del ángulo diedro entre los planos que contienen a EBC y EDG .
A) 60°
B) 75°
C) 90°
D) 45°
E) 53°
Rpta. : "C"
PREGUNTA 7 :
Calcular el área total de un hexaedro regular, sabiendo que la distancia de uno de sus vértices al centro de una cara opuesta es de 2𝑚 .
A) 48 𝑚²
B) 45 𝑚²
C) 25 𝑚²
D) 16 𝑚²
Rpta. : "D"
PREGUNTA 8 :
Hallar en que relación se encuentran las áreas de un octaedro y un icosaedro, regulares, sabiendo que la arista del primero es el triple de la del segundo.
A) 15/7
B) 20/3
C) 18/5
D) 10/7
E) 12/5
Rpta. : "C"
PREGUNTA 9 :
Si el área de la región de una de las caras de un dodecaedro regular es 12 𝑐𝑚² , hallar el área de la superficie total del dodecaedro.
A) 100 𝑐𝑚²
B) 115
C) 132
D) 144
E) 150
Rpta. : "C"
PREGUNTA 10 :
En un tetraedro ABCD, se tiene que : AC = AD y BC = BD. Hallar la medida del ángulo que forman las aristas AB y CD.
a) 45º
b) 60º
c) 90º
d) 30º
e) 120º
Rpta. : "E"
PREGUNTA 11 :
Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
☛ En los vértices de todo poliedro regular se forman ángulos diedros.
☛ El icosaedro regular tiene 100 diagonales.
☛ En un dodecaedro hay 20 vértices.
☛ Las diagonales de un octaedro regular son perpendiculares.
a) FVFV
b) VVVV
c) FFFV
d) VFVF
e) FFFF
Rpta. : "B"
PREGUNTA 12 :
Si en un exaedro regular, la distancia de un vértice a una de las diagonales que no contenga a este vértice eses √2𝑚 entonces la longitud de esta diagonal es
𝐴) √5
𝐵) √6
𝐶) √7
𝐷) √8
𝐸) √9
Rpta. : "E"
PREGUNTA 13 :
Halle el área total de un tetraedro regular si la suma de las longitudes de sus aristas es igual a 36.
A) 36√3 𝑢²
B) 24 𝑢²
C) 36 𝑢²
D) 24√3 𝑢²
E) 6√3 𝑢²
Rpta. : "A"
PREGUNTA 14 :
En un hexaedro regular, el área de la superficie total es numéricamente igual a su volumen. Calcule la longitud de la diagonal del hexaedro.
A) 3√3
B) 2√3
C) 6 3
D) 4√3
E) 5√3
Rpta. : "C"
PREGUNTA 15 :
Calcule la medida de un ángulo formado entre una arista lateral y la base de un tetraedro regular.
A) arctan(√2)
B) arcsen(√2)
C) arccos(√3)
D) arccos(√2)
E) arccot (√3)
Rpta. : "A"
PREGUNTA 16 :
Dado un tetraedro regular cuya arista mide 2, calcule el área de la sección determinada por un plano de simetría que pasa por una de sus aristas.
A) 4√2 𝑢²
B) 2√2 𝑢²
C) 3√2 𝑢²
D) 2√6 𝑢²
E) 2 𝑢²
Rpta. : "E"
PREGUNTA 17 :
Indique en qué relación se encuentran los volúmenes de un tetraedro regular y el del poliedro que se forma al unir los centros de sus caras.
A) 27
B) 2
C) 4
D) 3
E) 9
Rpta. : "A"
PREGUNTA 18 :
En un octaedro regular, su arista mide 6 cm. Calcule la distancia entre dos caras opuestas.
A) 2√6
B) 6
C) 3√6
D) 4√6
E) 5√6
Rpta. : "A"
PREGUNTA 19 :
En un octaedro regular M - ABCD - N, si la distancia del centro de la cara AMB hacia el vértice C es igual a 3, calcule el volumen de dicho poliedro.
A) 4√2
B) 5√2
C) 6√2
D) 9√2
E) 7√2
Rpta. : "D"
REPASO DE POLIEDROS
PREGUNTA 1 :
Entre qué valores varía un diedro de un tetraedro regular.
A) 60º y 150º
B) 30º y 120º
C) 30º y 90º
D) 60º y 180º
E) 30º y 180º
PREGUNTA 2 :
Se da un tetraedro regular O–ABC de altura OH se toma M punto medio de OM, calcular la suma de las caras del triedro M–ABC.
A) 270º
B) 180º
C) 135º
D) 225º
E) 240º
PREGUNTA 3 :
Calcular la relación entre la suma de las medidas de los ángulos de las caras de un octaedro regular y su conjugado.
A) 1/3
B) 2/3
C) 1/4
D) 2/5
E) 3/4
PREGUNTA 4 :
Calcular la suma de los ángulos internos de las caras de un dodecaedro regular.
A) 6540º
B) 6580º
C) 3600º
D) 6480º
E) 3680º
PREGUNTA 5 :
¿Cuántos poliedros cuyas caras son triángulos equiláteros existen?
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
PREGUNTA 6 :
Las aristas de un cubo miden 15 cm cada una. Si una mosca puede desplazarse sólo sobre las aristas y parte de uno de los vértices, el máximo recorrido que puede hacer para volver a su punto de partida, sin pasar dos veces por la misma arista es:
a) 1,80 m
b) 0,60
c) 0,75
d) 0,90
e) 1,20
PREGUNTA 7 :
Calcular el número de aristas de aquel poliedro, cuyo número de caras y el número de aristas están en la relación de 2 a 3. Además, la suma de las medidas de los ángulos internos de todas sus caras es igual a 3600º.
a) 20
b) 24
c) 28
d) 30
e) 32
PREGUNTA 8 :
Se tiene un poliedro convexo formado por 10 regiones cuadrangulares. Calcular el número de aristas de dicho poliedro.
a) 12
b) 14
c) 16
d) 18
e) 20
PREGUNTA 9 :
Las aristas de un cubo miden 15 cm cada una. Si una mosca puede desplazarse sólo sobre las aristas y parte de uno de los vértices, el máximo recorrido que puede hacer para volver a su punto de partida, sin pasar dos veces por la misma arista es:
a) 1,8 m
b) 0,6
c) 0,9
d) 0,75
e) 1,2
PREGUNTA 10 :
El área de una cara de un tetraedro regular es de 40 cm². ¿Cuál es el área del polígono que se obtiene al unir los puntos medios de tres aristas?
a) 20 cm²
b)10
c) 5
d) 2,5
e) 12
PREGUNTA 11 :
El área total de un tetraedro regular es 120 m². Hallar el área de la proyección de una cara sobre otra.
a) 10 m²
b) 20
c) 30
d) 40
e) 50
PREGUNTA 12 :
Un cubo de madera de “x” centímetros de arista es pintado totalmente, luego se corta en cubos de 9 cm de arista cada uno, si entonces hay exactamente 96 cubos dos de sus caras pintadas, la longitud de “x” es:
a) 80 cm
b) 100
c) 72
d) 90
e) 106
PREGUNTA 13 :
El plano bisector del diedro formado por dos caras de un tetraedro regular divide a la altura en dos segmentos, calcular la relación de ellos.
a) 1/2
b) 2/3
c) 1
d) 1/3
e) 1/4
PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMA 1 :
Calcule la medida del ángulo determinado por dos diagonales adyacentes de las caras de un hexaedro regular.
A) 90°
B) 45°
C) 60°
D) 120°
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "C"
PROBLEMA 2 :
Calcular el volumen del sólido que se forma al unir los centros de las caras de un cubo cuya arista mide 4 cm.
A) 64/3 cm³
B) 8/3 cm³
C) 16/3 cm³
D) 32/3 cm³
E) 128/3 cm³
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "D"
