UNIDAD IMAGINARIA EJERCICIOS RESUELTOS PDF
Números imaginarios
Identificar la unidad imaginaria como solución de la ecuación x²+1=0 y su utilización para expresar raíces cuadradas de números reales negativos.
Muchos conceptos en matemáticas tardaron varios años y hasta siglos en desarrollarse, desde el momento en que fueron descubiertos por primera vez, por alguna mente brillante, hasta la formalización de los mismos.
El avance en el tiempo de la matemática fue un proceso lento, debido al carácter formal de esta ciencia: una de sus reglas es que cualquier objeto nuevo debe estar claramente definido para ser aceptado por toda la comunidad.
Así pues, muchas ideas incompletas quedaron relegadas a la oscuridad y el olvido por no encajar en el sistema de razonamiento de la época, como fue el caso de los números complejos.
Esta unidad abrirá un nuevo ámbito numérico para los alumnos.
Para comenzar, destaque la importancia de este conjunto numérico y cómo encontramos en la naturaleza formas fractales, que se generan a partir de estos.
Si bien el concepto de “fractal” será visto más adelante, usted puede darlo a conocer y contextualizarlo.
Es importante tener en cuenta que, en el proceso histórico de desarrollo de este conjunto, subyacen algunas ideas fundamentales del trabajo matemático.
Destaquemos por ejemplo que, la construcción de los números complejos se hace a partir, fundamentalmente, de las leyes del álgebra en los reales y la ampliación de la raíz cuadrada a números negativos con la definición pertinente de la unidad imaginaria, con lo que este constructo de conocimientos, se basa en conceptos anteriores.
Necesidad de ampliación del conjunto de los números reales a los números complejos.
Identificar las situaciones que muestran la necesidad de ampliar los números reales a los números complejos.
Clasifica números dados en reales y no reales.
HISTORIA DE LA UNIDAD IMAGINARIA
SIGLO XVI – NACIMIENTO ACCIDENTAL
Girolamo Cardano (Italia) fue uno de los primeros en trabajar con raíces cuadradas de números negativos, pero sin entenderlos como números reales.
En su obra Ars Magna (1545) aunque pensaba que eran absurdas o sin sentido.
Cardano usó raíces negativas como herramientas para resolver ciertas ecuaciones cúbicas, pero no creía que tuvieran significado real.
SIGLO XVII – PRIMEROS PASOS HACIA LO "IMAGINARIO" Rafael Bombelli (Italia) comenzó a estudiar estas raíces de forma más seria. Fue de los primeros en dar reglas para operar con la unidad imaginaria. Llamó a estas cantidades "números imaginarios", aunque aún se consideraban extrañas.
SIGLO XVIII – EULER Y LA NOTACIÓN MODERNA
Leonhard Euler introduce la letra "i" . También establece la famosa fórmula:
SIGLO XIX – GAUSS Y LA ACEPTACIÓN FORMAL
Carl Friedrich Gauss (Alemania) fue crucial para legitimar los números complejos. Los trató como pares de números reales (a,b), lo que ayudó a establecer su validez lógica y utilidad geométrica.
Gracias a Gauss, los números complejos se empezaron a representar en el plano complejo, con el eje real (x) y el eje imaginario (y).
SIGLO XX Y ACTUAL – HERRAMIENTA FUNDAMENTAL
Hoy en día, los números complejos y la unidad imaginaria están por todas partes:
• Ingeniería eléctrica (análisis de señales, circuitos AC)
• Física cuántica (la función de onda usa números complejos)
• Matemáticas puras (análisis complejo, geometría algebraica)
• Gráficos por computadora y más
La palabra “imaginario” fue usada inicialmente de forma despectiva, como diciendo que no eran números "reales".
La idea de que i "no existe" fue muy controversial durante siglos, ¡pero hoy es parte básica del toolkit matemático!
