MÁXIMOS Y MÍNIMOS GEOMÉTRICOS EJERCICIOS RESUELTOS PDF APLICANDO DERIVADAS OPTIMIZACIÓN GEOMETRÍA
El objetivo será determinar situaciones específicas como el máximo ó el mínimo , en problemas donde se desee optimizar.
En este tema se trata de enfocar la teoría de máximos y mínimos a problemas básicos o sencillos de geometría básica para después aplicarlos al entorno, encontrando problemas de realidades en los cuales se aplique el principio de estos.
Se verán problemas como el área máxima de un triangulo dados sus lados y algunas aplicaciones, al igual que el teorema de Herón de la propiedad de extremos de los rayos del sol.
PREGUNTA 1 :
Se tiene un rectángulo de 60cm² de área. Si los lados son números enteros (en centímetros), el perímetro mínimo posible , en cm , es :
A) 30
B) 32
C) 34
D) 36
E) 38
Rpta. : "B"
PREGUNTA 2 :
El área del triángulo de área máxima que puede ser inscrito en una semicircunferencia de radio “R” es.
A) R²
B) 3R²
C) 3R²
D) 3R²/2
E) 3R²/4
Rpta. : "A"
PREGUNTA 3 :
Se tiene el hexágono regular ABCD-EFGH ; AB = 2m. Halle la longitud del menor camino para ir de A hacia B pasando sólo por cuatro caras.
A) 2√7u
B) 3√7u
C) √7u
D) 5√7u
E) 2√5u
Rpta. : "A"
PREGUNTA 4 :
¿Para cuál valor del radio , se hace máximo el área de un sector circular de perímetro 2p ?
A) p/5
B) p/4
C) p/3
D) p/2
E) p
Rpta. : "D"
PREGUNTA 5 :
Halle el máximo valor del volumen del cilindro que se puede inscribir en una esfera de radio √3
A) 4𝛑 m³
B) 6𝛑
C) 8𝛑
D) 12𝛑
Rpta. : "A"
PREGUNTA 6 :
En un triángulo rectángulo, cuyos catetos tienen una longitud de 50 m y 120 m, se inscribe un rectángulo que tiene dos de sus lados contenidos por los catetos y uno de sus vértices está en la hipotenusa. Determine el área máxima de dicho rectángulo.
A) 1200 m²
B) 1500 m²
C) 1750 m²
D) 2000 m²
E) 2500 m²
Rpta. : "B"
PREGUNTA 7 :
Una caja cerrada con base cuadrada va a tener un volumen de 1000m³ si se quiere que el costo del material sea mínimo encontrar las dimensiones de la caja.
A) 20 y 10
B) 15 y 5
C) 10 y 10
D) 12 y 8
Rpta. : "C"
PREGUNTA 8 :
Halle el menor perímetro posible para un rectángulo si se quiere que dicho rectángulo tenga área 100 u².
A) 40 u
B) 25 u
C) 30 u
D) 35 u
Rpta. : "A"
REGLA PARA HALLAR LOS MÁXIMOS y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN :
Como consecuencia de todo lo dicho se seguirá lo siguiente para determinar los máximos y mínimos de una función.
1º) Se halla la primera derivada de la función.
2º) Se iguala a cero esta derivada y se revuelve la ecuación que resulta.
3º) Se halla la derivada segunda de la función.
4º) Se substituye en esta segunda derivada el valor de la variable x sucesivamente por cada una de las raíces o soluciones obtenidas al resolver la ecuación en la operación segunda.
Si resulta para la derivada segunda un valor negativo , la función tiene un máximo ; y resulta un número positivo la función tiene un mínimo.
Cuando resulta que la derivada se reduce a cero al llevar a cabo las substituciones indicadas, se tantea la variación de la segunda derivada en las proximidades del valor substituido y, entonces, si la derivada pasa de negativa a positiva habrá un mínimo, y si pasa de positiva a negativa, habrá un máximo.
EJEMPLO:
Determinar los máximos y mínimos de la función:
y = 3x³ + 4x² + 3
RESOLUCIÓN :
Primer paso : y' = 9x² + 8x
Segundo paso :
Tercer Paso: y''=18x + 8
Cuarto paso: para x = 0 es y'' = 8 > 0
La función tiene un mínimo.
Para x=–8/9 ; y''=–8<0 la función tiene un máximo.
Así cuando x = 0 la función tiene el valor mínimo +3 y el valor máximo lo adquiere cuando x=–8/9 en cuyo caso la función toma el valor 985/243
En algunos problemas se puede obviar el criterio de las derivadas, ya sea completando cuadrados ó haciendo razonamientos geométricos, para calcular máximos o mínimos.
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS GEOMÉTRICOS :
En la resolución de problemas en que se debe determinar el máximo o el mínimo de una cierta expresión, deben seguirse los siguientes pasos:
• Determinar la magnitud que debe hacerse máxima o mínima, y asignarle una letra.
• Hacer un dibujo cuando sea necesario.
• Asignar una letra a las cantidades mencionadas en el problema y escribir una ecuación en la que se establezca lo que se debe hacer máximo o mínimo.
• Establecer las condiciones auxiliares del problema y formar una ecuación (ecuación auxiliar)
• Expresar la cantidad que debe maximizarse o minimizarse en términos de una sola variable utilizando para ello la ecuación auxiliar. Determinar el dominio de esta función.
• Obtener la primera derivada de esta función para determinar los valores críticos.
• Comprobar, utilizando el criterio de la primera derivada o el de la segunda derivada, si los valores críticos son máximos o mínimos.
• Verificar que el valor obtenido cumple las condiciones dadas en el problema
• Responder a la pregunta establecida en el enunciado del problema.
El deseo de medir y de cuantificar el cambio, la variación, condujo en el siglo XVII hasta la noción de derivada.
El estudio de las operaciones con derivadas, junto con las integrales, constituyen el cálculo infinitesimal.
Los introductores fueron Newton y Leibnitz, de forma independiente.
Los conceptos son difíciles y hasta bien entrado el siglo XIX no se simplificaron.
A ello contribuyó la aparición de una buena notación, que es la que usaremos.
Las aplicaciones prácticas de esta teoría no dejan de aparecer.
Contextualizando los problemas de máximos y mínimos de tipo geométrico, como situaciones de cambio y circunscribiendo su análisis a la obtención de la función analítica a optimizar, se presenta un acercamiento covariacional para su consecución.
Dicho acercamiento, configurado como una metodología, permite al estudiante, a través de dos etapas: percepción del cambio y variación; en la primera, visualizar el cambio y mediante aproximaciones cualitativas, darle sentido y significado a un escenario de optimización ,y en el uso y paso entre distintos sistemas de representación, llegar a una relación funcional analítica entre dos de las variables de la situación.
Es muy natural que los matemáticos se interesen en cuestiones de esta índole.
En la vida cotidiana aparecen constantemente los problemas de máximos y mínimos, de “lo mejor” y lo “peor”.
Muchos problemas de importancia práctica se presentan de esta manera, por ejemplo:
¿Qué forma debe dársele a un bote para que ofrezca la menor resistencia posible al agua?
¿Qué recipiente cilíndrico hecho de una cantidad dada de material tiene un volumen máximo?
