LOS VECTORES EN EL PLANO EJERCICIOS RESUELTOS DE BACHILLERATO PDF
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VECTORES EN EL PLANO
VECTOR LIBRE
MÓDULO DE UN VECTOR
OPERACIONES
PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES
VECTORES ORTOGONALES
VECTORES UNITARIOS
NORMALIZACIÓN DE UN VECTOR
Ángulo entre dos vectores
Combinación lineal de vectores
Vectores linealmente dependientes
Vectores linealmente independientes
Consecuencia de las definiciones anteriores
BASE DE VECTORES
Coordenadas de un vector respecto una base
Base Ortogonal
Base Normada
Base Ortonormal
OPERACIONES CON VECTORES EN AMBAS EXPRESIONES
RELACIÓN DE PROBLEMAS TIPOS
EJERCICIOS RESUELTOS
Trazamos el cuadrado auxiliar que se obtiene al trasladar el dado segu´n el vector guı ´a MN. Los dos cuadrados se cortan en los puntos P y Q. Los puntos R y S se obtienen como los homo´logos de P y Q respecto de la traslacio´n de vector guı ´a NM MN. Los puntos P, S, R y Q son los ve´rtices del paralelogramo buscado.
Consideramos el vector u perpendicular a r y s y cuyo origen esta´ en r y extremo en s. Se calcula el punto A homo´logo de A en la traslacio ´n de vector guı ´a u. La interseccio´n de la recta que pasa por A y B con s es el punto Q. El punto P es el homo´logo de Q en la traslacio´n de vector guı ´a u. El lugar buscado para la ubicacio´n del puente es el correspondiente al segmento PQ. 1. Expresa el vector u 2i 3j como suma de un vector que tenga la misma direccio´n que a(3, 1) y de otro que sea perpendicular a este u´ltimo. 2. Considera el rombo ABCD de la figura. A B D C a) ¿Puedes escribir los vectores AC y DB que determinan las diagonales, en funci´on de los vectores l que determinan los lados DA y AB? b) Ayuda´ndote del apartado anterior, intenta calcular el producto escalar de los vectores AC y DB. c) ¿Que´ interpretacio´n geome´trica puedes dar? Recuerda que las medidas de los lados de un rombo son todas iguales. 3. Podemos considerar los lados de un tria´ngulo como tres vectores cuya suma es el vector nulo. Con esta idea, y con la ayuda del producto escalar, intenta obtener otra demostracio´n del teorema del coseno. A C B O 4. Dos puntos A y C son diametralmente opuestos en una cierta circunferencia, tal y como muestra la figura. Consideramos otro punto B distinto de los anteriores, pero que tambie´n pertenece a la circunferencia. Demuestra que el a´ngulo ABC es un a´ngulo recto. B C A P Q H 5. Consideramos el tria´ngulo ABC de la figura en el que se han dibujado dos de sus alturas AP y BQ. a) Escribe el vector CH en funcio´n de los vectores CB y BH. b) Escribe el vector BA en funcio´n de los vectores CA y CB. c) Calcula el producto escalar CH · BA. d) Interpreta geome´tricamente el resultado obtenido en el apartado anterior. 6. Dibuja un trapecio del cual solo conoces las medidas de sus bases y las de sus dos diagonales. A B M D C N 7. Trata de dibujar un paralelogramo cuyos ve´rtices este´n situados en cada uno de los lados del cuadrado ABCD de la figura y uno de cuyos lados tenga la misma longitud y la misma direccio´n que el vector de extremos M y N. r s A B 8. Los pueblos A y B esta´n situados a ambos lados del rı´o limitado por las rectas paralelas r y s, tal y como muestra la figura. Los ayuntamientos de ambas localidades quieren construir un puente que atraviese el rı´o y que cumpla las condiciones siguientes: i) El puente debe ser perpendicular a las rectas r y s. ii) El camino que va de A a B, atravesando el puente, debe ser mı´nimo. Indica el lugar exacto donde se ha de realizar la construccio´n. SOLUCIONES 1. Un vector perpendicular a a es b ( 1, 3). esta´n alineados.
Calcula las ecuaciones vectorial y paramétricas de las rectas:a) Paralela a u ( 1, 2) y que pasa por A(3, 0).
b) Paralela a u (2, 5) y que pasa por A( 2, 4).
a) La recta pasa por el punto A(3, 0) y lleva la dirección del vector u ( 1, 2). Si P(x, y) es un punto cualquiera de la recta,
al sustituir en la expresión p a tu , resulta la ecuación vectorial buscada:
(x, y) (3, 0) t( 1, 2)
Operando e igualando, obtenemos las ecuaciones paramétricas:
Vector director: u ( 3, 1)
Halla la ecuación de las siguientes rectas en forma paramétrica, continua y general.
a) Recta que pasa por el punto A( 1, 2) y tiene la dirección del vector u ( 3, 7).
b) Recta que pasa por A(3, 3) y tiene por vector director u ( 1, 1).
a) Si P(x, y) es un punto cualquiera de la recta, al sustituir en la expresión p a tu , resulta la ecuación vectorial buscada:
(x, y) ( 1, 2) t( 3, 7)
Operando e igualando, obtenemos las ecuaciones paramétricas:
Por último, operando en la ecuación continua se obtiene la ecuación general:
Calcula las ecuaciones paramétricas, continua y general de la recta que pasa por los puntos A( 2, 0) y
B(3, 1).
Primero se determina un vector director, u , a partir de las coordenadas de A y de B.
u (3, 1) ( 2, 0) (5, 1)
Si P(x, y) es un punto cualquiera de la recta, al sustituir en la expresión p a tu , resulta la ecuación vectorial buscada:
(x, y) (3, 1) t(5, 1)
Operando e igualando, obtenemos las ecuaciones paramétricas:
Determina, en sus formas paramétricas, continua y general, la ecuación de la recta que pasa por los puntos
A(2, 1) y B(2, 1).
Primero se determina un vector director, u , a partir de las coordenadas de A y de B.
u (2, 1) (2, 1) (0, 2)
Si P(x, y) es un punto cualquiera de la recta, al sustituir en la expresión p a tu , resulta la ecuación vectorial buscada:
(x, y) (2, 1) t(0, 2)
Operando e igualando, obtenemos las ecuaciones paramétricas:
Como x 2, la recta es paralela al eje OY. La ecuación continua no se puede hallar y la general es x 2 0.
Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto A( 4, 2) y tiene pendiente m 3.
A partir de la ecuación punto-pendiente de la recta, y 2 3 (x 4), se obtiene la ecuación explícita: y 3x 14.
Estudia la posición relativa de las rectas:
a) r 3x 2y 7 0 s 2x y 0
b) r x 2y 3 0 s 3x 6y 4 0
a) Se comparan las ecuaciones generales de las dos rectas:
