RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EJERCICIOS RESUELTOS DE TRIGONOMETRÍA PREUNIVERSITARIA PDF
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Al finalizar el tema el alumno será capaz de:
☛ Aplicar el Teorema de Pitágoras.
☛ Identificar los elementos para definir una razón trigonométrica.
☛ Definir una razón trigonométrica.
☛ Identificar la proporción de las longitudes de los lados de los triángulos rectángulos notables
☛ Calcular las razones trigonométricas de ángulos notables
☛ Resolver un triángulo rectángulo desde el punto de vista trigonométrico
☛ Demostrar y aplicar la fórmula trigonométrica del área de una región triangular
☛ Definir e identificar las razones trigonométricas en triángulos rectángulos especiales .
☛ Reconocer la propiedad de las razones recíprocas
☛ Identificar la propiedad de las razones complementarias (co-razones)
La dificultad para calcular distancias inaccesibles se ha resuelto estudiando los triángulos con sus elementos (lados y ángulos) y los ángulos con sus respectivas razones trigonométricas.
Para determinar las razones trigonométricas de un ángulo agudo, necesitamos conocer el triángulo rectángulo, así como algunas relaciones que podemos encontrar en dicho triángulo.
TRIÁNGULO RECTÁNGULO
Se denomina así a todo triángulo en el cual uno de sus ángulos es recto; los lados que determinan el ángulo recto son los catetos del triángulo, el lado mayor es la hipotenusa y se opone al ángulo recto.
TEOREMA DE PITÁGORAS
El Teorema de Pitágoras es una proposición atribuida a Pitágoras, según la cuál en todo triángulo rectángulo el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.
ÁNGULOS AGUDOS COMPLEMENTARIOS
En un triángulo rectángulo, también se verifica que:
I) La hipotenusa es mayor que cualquiera de los catetos y menor que la suma de ellos
II) Al mayor ángulo se opone el mayor lado y así recíprocamente.
RAZÓN TRIGONOMÉTRICA
Es aquel número que resulta de dividir las longitudes de dos lados de un triángulo rectángulo.
Como las razones trigonométricas solo dependen de la medida del ángulo, entonces si conocemos el valor de solo una de ellas, las restantes se pueden calcular construyendo un triángulo rectángulo.
GUIA DE CLASE INTRODUCTORIA
EJERCICIO 1 :
Sea el triángulo rectángulo cuyos catetos son a=3cm y b=4cm.
Calcular el coseno del menor ángulo agudo.
EJERCICIO 2 :
Sea el triángulo rectángulo cuyos catetos están en la relación de 3 a 2; calcule el seno del mayor ángulo agudo.
EJERCICIO 3 :
En un triángulo rectángulo un cateto es el doble del otro.
Calcular la cosecante del mayor ángulo agudo.
EJERCICIO 4 :
En un triángulo rectángulo, su hipotenusa es el doble de uno de los catetos.
Determinar la Secante de su menor ángulo agudo.
EJERCICIO 5 :
En un triángulo rectángulo ABC (B = 90º).
Reducir senA . sec
EJERCICIO 6 :
En un triángulo rectángulo ABC (B = 90º).
Reducir :
cosC . secC + 2tgAtgC
EJERCICIO 7 :
En un triángulo rectángulo ABC (B = 90º), se sabe que: b = 13 y a = 5.
Calcular secC + ctgA
EJERCICIO 8 :
En un triángulo rectángulo ABC (B = 90º), se sabe que: a + b = 3c.
Calcular secA + ctgC
EJERCICIO 9 :
En un triángulo rectángulo ABC, recto en C
Reducir:
c(senA – senB) + atgB
EJERCICIO 10 :
En un triángulo rectángulo los catetos opuestos y adyacente de β miden dos y cuatro unidades menos que la medida de la hipotenusa.
Calcule 4senβ – 2cosβ
EJERCICIO 11 :
En un triángulo rectángulo de los lados a; b y c recto en B donde se cumple que:
a + b = 3c
Determine cosA
Nota: sec²A + tg²A = 1
EJERCICIO 12 :
En un triángulo ABC, recto en B.
Calcule sen²A + sen²C
EJERCICIO 13 :
Si las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo son 4 m y 9 m.
Determine tgβ + ctgβ
donde β es la medida del menor ángulo agudo.
EJERCICIO 14 :
Si se cumple que:
5tg²θ – 9tgθ – 2 = 0
donde θ: agudo.
Calcule 25(senθ – cosθ)²
PROBLEMAS PROPUESTOS
PREGUNTA 1 :
En un triángulo rectángulo ABC, recto en C se cumple cscA .cscB=2/5
Hallar 2(tg A + tgB).
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Rpta. : "E"
PREGUNTA 2 :
En un triángulo rectángulo ABC, recto en C se cumple cosA·cosB = 2/5
Halle 2(ctgA + ctgB).
A) 4
B) 3
C) 5
D) 2/5
E) 2
Rpta. : "C"
PREGUNTA 3 :
En un triángulo ABC, recto en A, se tiene que
cosBtgC = [cosBcosC + 2senBsenC]secC.
Calcular √10 [6cscθ + cosθ ]
Siendo θ el mayor ángulo agudo del triángulo.
A) 22
B) 23
C) 19
D) 18
E) 21
Rpta. : "E"
PREGUNTA 4 :
En un triángulo rectángulo ABC recto en B se cumple que
tgC =√2cosA
Calcule csc²A + 3ctgC.
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Rpta. : "E"
PREGUNTA 5 :
En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se cumple que senA.senC =8/13 .
Halle 8(tgA + tgC).
A) 13
B) 14
C) 15
D) 16
E) 17
Rpta. : "A"
PREGUNTA 6 :
En un triángulo rectángulo ABC, recto en C, se cumple que tgA + tgB = 2.
Halle cscA.secA + cosB.cscA.
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
Rpta. : "B"
PREGUNTA 7 :
Las medidas de los lados de un triángulo rectángulo T son a metros, b metros y c metros siendo a, b, c números pares consecutivos.
Calcular ctg(θ/2), si θ es el mayor ángulo agudo de T.
A) 3/2
B) 2
C) 5/4
D) 25
E) 4/3
Rpta. : "B"
OBJETIVOS FINALES QUE DEBES OBTENER :
✎ Definir y calcular las razones trigonométricas de un ángulo agudo en el triángulo rectángulo.
✎ Estudiar, deducir y familiarizarse con las razones trigonométricas seno, coseno y tangente.
✎ Aplicar a casos de la vida practico los conceptos sobre razones trigonométricas.
✎ Estudiar las razones trigonométricas cotangente, secante, cosecante en su forma mas elemental.
✎ Aplicar las razones trigonométricas en diversos problemas
✎ Reconocer la proporcionalidad de los lados del triángulo rectángulo cuyos ángulos agudos son: 45° - 45° y 30° - 60°.
✎ Definir las razones trigonométricas de los ángulos de: 45° y 30° - 60°.
✎ Reconocer y detectar gráficamente la proporcionalidad de los lados de los triángulos rectángulos de los ángulos agudos: 45°, 30°, 60°, 37°, 53°, 16°, y 74°.
✎ Aplicar gráficamente las razones trigonométricas de éstos ángulos en forma práctica para la resolución de los triángulos rectángulos.
✎ Definir las razones trigonométricas recíprocas.
✎ Aplicar las razones trigonométricas recíprocas.
✎ Definir las razones trigonométricas de ángulos complementarios.
✎ Aplicación de las razones trigonométricas recíprocas y de ángulos complementarios en los diversos problemas.
LOS CATETOS Y LA HIPOTENUSA
¿Sabía Ud. que Pitágoras y los demás geómetras griegos se ocuparon tanto del triángulo, porque lo usaban mucho en la construcción?.
Así fue ellos los que inventaron las cubiertas de dos aguas. Eso les permitió ensanchar mucho las naves de los templos y los grandes salones.
Descubrieron la manera de repartir el peso de la techedura entre tres vigas, de tal manera que el trabajo que realizaba cada una al trabajar conjuntamente, era muy inferior que les correspondería si se distribuyese entre las tres colocadas como vigas planas.
Y según el trabajo que hacen, así las nombraron: a la dos vigas que sostienen la llamaron catetos, porque tiende a ir hacia abajo (Kaziemi); y a la viga de abajo la llamaron hipotenusa porque es la que tira (tenosa) por abajo (hipo) de las otras dos para que no se abran.
Debemos saber que nuestra geografía es muy accidentada, dentro de esta gama de accidentes geográficos contamos con distintos planos inclinados como las montañas, picos, quebradas y otros.
Para observar esto basta con ver una foto de nuestra serranía, es decir cualquier paisaje natural de nuestro territorio peruano y podemos notar que en estas montañas, picos y quebradas se pueden formar triángulos con sus respectivos ángulos.
