INDUCCION MATEMATICA PROBLEMAS RESUELTOS Y DEMOSTRACIONES PDF
* conocer unos de los métodos más utilizados en la demostraciones de los teoremas matemáticos. Se puede pensar en el método de inducción matemática como en una máquina automática que verifica enunciados, la cual comienza con P(1) y continúa sobre la lista de manera progresiva demostrando cada proposición. Veamos cómo trabaja, encendemos la máquina verificando que P(1) es verdadero .
A continuación introducimos P(1) en la máquina. Esta utiliza el hecho de que P(1) es verdadero y automaticamente demuestra que P(2) es verdadero. Entonces tomamos P(2) y lo introducimos en la máquina . De nuevo ella utiliza el hecho de que P(2) es verdadero para obtener la conclusión de que P(3) es verdadero, y así sucesivamente. Observemos que cuando la máquina va a demostrar que P(k+1) es verdadero, ella ya habrá demostrado que P(k) es verdadero (en el paso anterior)
Así al diseñar la máquina podemos suponer que P(k) es verdadero, y nuestro trabajo consiste en asegurar que P(k+1) también sea verdadero. No olvidemos que para empezar el proceso, debemos verificar que P(1) sea verdadero. Podemos ahora formalizar el método. La demostración de: P(n) es verdadero para todo por inducción matemática consiste en dos pasos:
I) Demostrar la validez del enunciado P(1).
II) Suponiendo que el enunciado P(k) es verdadero, demostrar que el enunciado P(k+1) es verdadero. De los pasos (I) y (II) se concluye que la proposición P(n) es válida para cualquier valor de n, entero positivo. Apliquemos este método a la conjetura de nuestro alumno.
La proposición a demostrar es P(n) : 1+3+5 +.....+ (2n-1) = n2 , para todo n entero positivo.
Verifiquemos la validez de P(1),evidentemente 1=12 Supongamos ahora que la proposición se verifica para un entero positivo k . 1+3+5+7+...+(2k-1)= k2 Si a esta expresión le sumamos a ambos miembros (2(k+1)-1 ) obtenemos: 1+3+5+7+...+(2k-1)+(2(k-1)+1)=k2+2(k+1)-1 1+3+5+7+...+(2k-1)+(2(k+1)-1)=k2+2k+1=( k+1)2 Como vemos la proposición P(k+1) también se verifica. Entonces por el método de inducción matemática deducimos que la conjetura del alumno es valida para cualquier entero positivo . Como hemos visto sólo cuando se ha realizado el método de inducción matemática podemos elevar la conjetura al nivel de teorema o propiedad.