INDUCCIÓN MATEMÁTICA PROBLEMAS RESUELTOS Y DEMOSTRACIONES PDF
La inducción matemática es una herramienta poderosa tanto en el ámbito teórico como en el práctico, permitiendo validar patrones y comportamientos en situaciones complejas y repetitivas.
EJERCICIO 1
Demuestra que en cualquier instante de tiempo, la cantidad de hombres en la Tierra que se han dado un número impar de apretones de manos , es par.
EJERCICIO 2
Demuestra que si un conjunto A tiene n elementos, entonces P(A) tiene 2n elementos.
EJERCICIO 3
Demuestra que 3n – 1 es divisible por 2 para todos los enteros positivos n.
EJERCICIO 4
Demuestra que 1 +2n<3n para cualquier entero positivo.
EJERCICIO 5
Demuestra que la fórmula: 2+4+6+....+2n= n2 +n+2 cumple con el segundo paso del principio de inducción matemática . Esto es, si la fórmula es verdadera para n=k, también lo es para n= k+1. Sin embargo, esta fórmula no es válida para n=1. ¿Qué deduce de esto?
EJERCICIO 6
El teorema del mapa de dos colores: Si se traza en un plano líneas rectas que empiezan y terminan en un borde de la hoja, este mapa puede ser coloreado con sólo dos colores sin que ninguna región adyacente tenga el mismo color.
EJERCICIO 7
Demuestra que cualquier conjunto de número naturales, con un número finito de elementos, contiene un número natural máximo.
EJERCICIO 8
Demuestra que la derivada de f(x)=xn es nxn–1 para cualquier entero positivo n.
EJERCICIO 9
Adecua el método de inducción matemática para demostrar proposiciones que son validas a partir de un valor n0.
APLICACIONES DE LA INDUCCIÓN MATEMÁTICA EN LA VIDA DIARIA
Aunque la inducción matemática parece un concepto teórico, tiene aplicaciones prácticas en muchas áreas:
INFORMÁTICA:
VERIFICACIÓN DE ALGORITMOS: Se utiliza para demostrar la corrección de algoritmos, especialmente aquellos que se ejecutan de forma recursiva.
DISEÑO DE PROGRAMAS: Asegura que los programas funcionan para todos los casos posibles.
CIENCIAS EXACTAS:
En física y química, se utiliza para demostrar patrones repetitivos en secuencias, como la expansión de series en cálculos cuánticos.
En ingeniería, se aplica para validar modelos matemáticos usados en circuitos o sistemas mecánicos.
ECONOMÍA Y FINANZAS:
ANÁLISIS DE PATRONES DE CRECIMIENTO:
Se usa para probar fórmulas de interés compuesto o de predicciones de mercado basadas en series matemáticas.
CRIPTOGRAFÍA Y SEGURIDAD:
Demostración de propiedades de algoritmos criptográficos, asegurando que funcionan para todas las claves posibles.
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS COTIDIANOS:
En estructuras repetitivas, como diseño de escaleras o patrones arquitectónicos, la inducción puede validar cálculos que aseguran que un diseño es consistente en toda su extensión.
El objetivo será conocer unos de los métodos más utilizados en la demostraciones de los teoremas matemáticos.
Se puede pensar en el método de inducción matemática como en una máquina automática que verifica enunciados, la cual comienza con P(1) y continúa sobre la lista de manera progresiva demostrando cada proposición.
Veamos cómo trabaja, encendemos la máquina verificando que P(1) es verdadero .
A continuación introducimos P(1) en la máquina.
Esta utiliza el hecho de que P(1) es verdadero y automáticamente demuestra que P(2) es verdadero.
Entonces tomamos P(2) y lo introducimos en la máquina .
De nuevo ella utiliza el hecho de que P(2) es verdadero para obtener la conclusión de que P(3) es verdadero, y así sucesivamente.
Observemos que cuando la máquina va a demostrar que P(k+1) es verdadero, ella ya habrá demostrado que P(k) es verdadero (en el paso anterior)
Así al diseñar la máquina podemos suponer que P(k) es verdadero, y nuestro trabajo consiste en asegurar que P(k+1) también sea verdadero.
No olvidemos que para empezar el proceso, debemos verificar que P(1) sea verdadero. Podemos ahora formalizar el método.
La demostración de: P(n) es verdadero para todo por inducción matemática consiste en dos pasos:
I) Demostrar la validez del enunciado P(1).
II) Suponiendo que el enunciado P(k) es verdadero, demostrar que el enunciado P(k+1) es verdadero.
De los pasos (I) y (II) se concluye que la proposición P(n) es válida para cualquier valor de n, entero positivo.
