ARCOS COMPUESTOS EJERCICIOS RESUELTOS PDF
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ARCO COMPUESTO
APRENDIZAJES ESPERADOS
• Desarrollar fórmulas para las razones trigonométricas de la suma y/o diferencia de ángulos; para calcular el valor de las R.T. de ángulos desconocidos.
• Aplicar convenientemente las fórmulas en la simplificación de expresiones y en la resolución de problemas analíticos y gráficos condicionales.
• Adaptar el uso de fórmulas a la resolución de situaciones geométricas que implican hallar razones trigonométricas de ángulos desconocidos.
☛ Seno de la Suma de dos Ángulos
☛ Seno de la Diferencia de dos Ángulos
☛ Coseno de la Suma de dos Ángulos
☛ Coseno de la Diferencia de Ángulos
☛ Tangente de la Suma de dos Ángulos
☛ Tangente de la Diferencia de dos Ángulos
¿Qué es un ángulo compuesto?
Es aquel arco que se puede expresar mediante una suma o diferencia de otros ángulos
El desarrollo del presente tema se efectuará en base a las identidades trigonométricas de un mismo ángulo, así como también de las razones trigonométricas de ángulos agudos.
Tomando como base esta teoría también podemos demostrar el tema de propiedad para 3 ángulos.
Este capítulo tiene una variedad numerosa de situaciones problemáticas tanto en forma de enunciados como en gráficos.
No debemos olvidar la importancia en el estudio preuniversitario tiene mucha importancia las identidades auxiliares y las propiedades.
¿Que ocurre en las razones trigonométricas cuando sus ángulos se suman o se restan?
¿Que ocurre en las razones trigonométricas cuando sus ángulos se multiplican o dividen por un número?
Responderemos:
Las razones trigonométricas no gozan de la propiedad asociativa de la suma o del producto.
Dicho de otra manera:
De la suma o diferencia de arcos, no se sigue la suma o diferencia de las razones.
Si un ángulo se duplica no se duplica la razón.
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ARCO COMPUESTO
Sen(α+β) = SenαCosβ + CosαSenβ
Sen(α – β) = SenαCosβ – CosαSenβ
Cos(α+β) = CosαCosβ + SenαSenβ
Cos(α – β) = CosαCosβ + SenαSenβ
PROPIEDADES
𝑖) Sen(α+β).Sen(α+β) = Sen2α-Sen2β
𝑖𝑖) Tan(α+β) = Tanα+Tanβ+Tan(α+β).Tanα. Tanβ
𝑖𝑖𝑖) Si: α+β+θ=180°
⇒ Tanα+Tanβ+Tanθ = Tanα.Tanβ.Tanθ
𝑖v) Si: α+β+θ=90°
⇒ Tanα.Tanβ+Tanβ.Tanθ + Tanα.Tanθ =1
EJERCICIO 1 :
Calcula el Sen75°
RESOLUCIÓN :
Sen75° = Sen(30°+45°)
=Sen45°.Cos30°+Sen30°.Cos45°
EJERCICIO 2 :
Calcula el Sen15°
RESOLUCIÓN :
Sen15° = Sen(45° – 30°)
= Sen 45°.Cos30° – Cos45°.Sen30°
EJERCICIO 3 :
Halla el cos 16°.
RESOLUCIÓN :
Cos16° = Cos(53° – 37°)
= Cos53°.Cos37°+Sen53°.Sen37°=24/25
EJERCICIO 4 :
Calcula la Tan8°
Rpta. : "1/7"
EJERCICIO 5 :
En un ΔABC, así tanA = 3 y Tan B = 2.
Halla: Tan C
RESOLUCIÓN :
En todo ΔABC : A + B + C = 180° entonces:
Se cumplirá: TanA + TanB+ TanC = TanA.TanB.TanC
Reemplazando datos:
3 + 2 + TanC = 3×2.TanC
⇒ 5 + TanC = 6TanC
⇒ 5 = 5TanC
⇒ TanC = 1
EJERCICIO 6 :
Calcula:
W=Tan20°.Tan30°+Tan30°.Tan40°+Tan20°.Tan40°
RESOLUCIÓN :
Notamos que: 20° + 30° + 40° = 90°
Entonces se cumple que
Tan20°.Tan30°+Tan30°.Tan40°+Tan20°.Tan40°=1
⇒ W = 1
PRIMERA PRACTICA
PROBLEMA 1 :
Calcular el valor de:
(Cos70°+Cos10°)²+(Sen70°+Sen10°)²
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 1/2
Rpta. : "C"
PROBLEMA 2 :
¿A qué es igual?
2Sen20° + √3Sen10°
a) Sen 20°
b) Tan 10°
c) Cos 10°
d) Tan 20°
e) Cos 20°
Rpta. : "C"
PROBLEMA 3 :
El valor de:
Cos40° – 2Cos50°Cos10°
es:
a) 1
b) 2√3
c) 3
d) 4
e) – 1/2
Rpta. : "E"
PROBLEMA 4 :
Calcular el valor aproximado de:
117Tan21° + 31Tan29°
a) 59
b) 60
c) 61
d) 62
e) 63
Rpta. : "C"
PROBLEMA 5 :
Calcule aproximadamente: Tg24°
a) 1/7
b) 7/24
c) 7
d) 73/161
e) 161/73
Rpta. : "D"
PROBLEMA 6 :
Reducir la expresión:
[Sen(α+β) – Sen(α−β)] Secα
a) 2Senβ
b) Cosβ
c) Senα
d) Cosα
e) 1
Rpta. : "A"
PROBLEMA 7 :
Halle el valor de la expresión:
Cos(x – y) – 2SenxSeny
; 0°<x,y<90°
Si: Senx = Cosy
a) 0,1
b) 0
c) 1
d) 0,5
e) 1/2
Rpta. : "B"
PROBLEMA 8 :
Halle el valor de:
2Cos48°Cos5° – Cos43°
a) 0,2
b) 0,3
c) 0,4
d) 0,5
e) 0,6
Rpta. : "E"
PROBLEMA 9 :
Halle el valor de “K”, en:
KTg56° =Tg73° – Tg17°
a) 1/2
b) 1
c) 3/2
d) 2
e) 2/3
Rpta. : "D"
PROBLEMA 10 :
El valor de la expresión:
4Cos7° + 3Sen7° es:
a) 3√2/7
b) 2
c) √3
d) 5√3/2
e) 3√3/8
Rpta. : "D"
PROBLEMA 11 :
Calcular el valor de:
4(Tg19°+Tg18°)+3Tg19°Tg18°
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
Rpta. : "C"
PROBLEMA 12 :
Halla el valor de:
(Tg36°+1)(Tg9°+1)
a) 1/2
b) 1
c) 2
d) 3/2
e) 4
Rpta. : "C"
PROBLEMA 13 :
Si: 3Cos(α − β) = 5Cos(α+β)
Hallar: Ctgα.Ctgβ
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
Rpta. : "D"
PROBLEMAS RESUELTOS
PREGUNTA 1 :
Si: x – y=𝛑/3
Calcular:
E=(cosx+cosy)2+(senx+seny)2
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
RESOLUCIÓN :
Identidades trigonométricas de suma y diferencia de variables
Desarrollando los binomios al cuadrado :
E=cos²x+2cosx cosy+cos²y+sen²x+2senx seny+sen²y
Considerando que sen²y + cos²x=1 y agrupando , se ontendrá :
⇒ E=2+2(cosx cosy+senx seny)
⇒ E=2+2 cos(x – y)
⇒ E=2+2cos𝛑/3
⇒ E=2+2 (1/2)=3
Rpta. : "C"
PREGUNTA 2 :
Una baldosa de forma cuadrada ABCD es dividida para que sus partes sean pintadas de diferentes colores, de acuerdo con un cierto diseño. Para dividirla se consideran los trazos BD y AM, siendo M el punto medio de BC. Si AB=40cm, halle tan θ.
A) 2
B) 3
C) 1,5
D) 4
E) 2,5
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "B"
PREGUNTA 3 :
Una partícula se desplaza del punto A hacia el segmento OB en sentido horario, siguiendo una trayectoria del arco de una circunferencia con centro en el origen de coordenadas, como se muestra en la figura. Calcule la tangente del ángulo determinado por el arco descrito por la partícula.
A) –16
B) –27
C) –15
D) –29/5
E) –31/2
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "D"
PREGUNTA 4 :
Siendo la identidad sen(x+60º)−cos(x+30º)=asenx+bcosx
Determine: a−b
A) 0
B) 1
C) 2
D) − 1
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "B"
PREGUNTA 5 :
A) 3√3 ; 3 – √3
B) 6√2 ; 3 – √3
C) 3√2 ; 3 +√3
D) √6 ; 3 + √3
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "D"
PREGUNTA 6 :
Un constructor metálico coloca una estructura formada por vigas sobre un plano, tal como se muestra en la figura. Para hacer ciertas mediciones de precisión, requiere conocer el coseno de α. ¿Cuál es el valor de cosα?
A) 3/5
B) 7/25
C) 12/13
D) 5/13
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "C"
