CÁLCULO DE DERIVADAS EJERCICIOS RESUELTOS DE BACHILLERATO PDF

OPERACIONES Y CÁLCULOS CON DERIVADAS
Un ciclista recorre, partiendo del punto A, la pista de forma circular que aparece en la figura. En el centro de la pista hay un foco luminoso F, por lo que el ciclista proyecta, en cada instante, una sombra sobre el muro AM. Calcula la velocidad de la sombra cuando el ciclista ha recorrido la doceava parte del circuito sabiendo que la velocidad a la que pedalea es constante e igual a 40 km/h. 6. 
Una escalera de 5 m de longitud esta´ apoyada en la pared de forma que el pie de la escalera se va desplazando aleja´ndose del muro a una razo´n de 10 cm por minuto. Calcula la velocidad a la que desciende la parte superior A de la escalera cuando el pie B esta´ a 2 m de la pared. 7. Calcula las derivadas de las siguientes funciones: a) f (x ) e b) f (x ) xx x x 8. 
Calcula la derivada de los cinco primeros o´rdenes de la funcio´n f (x ) x · [sen (Lx ) cos (Lx )] 9. Calcula la derivada de orden n de las siguientes funciones: a) f (x ) xm , m n b) f (x ) x · Lx 10. La fo´rmula de Leibniz nos facilita una expresio´n para hallar la derivada de orden n de un producto de funciones que sean n veces derivables: Dn (f (x) · g (x )) Cn,i · Dif (x) · Dn i g (x ) n i 0 siendo Cn,i el nu´mero de combinaciones de n elementos tomados de i en i, D0f (x ) f (x) y D0g (x ) g (x ). Aplicando la fo´rmula de Leibniz, halla la derivada de orden n de la funcio´n f (x) y xn · ex y comprueba su validez calculando directamente las derivadas de orden n para los casos n 1, n 2 y n 3. SOLUCIONES 1. a) La medida de cada arista es L 5t, donde L se mide en cm y t en minutos. La altura del tria´ngulo equila´tero de la base es:
1.Calcula las siguientes derivadas:
 a) D 5 arctg x b) D 3 cos x c) D 2 arcsen x 2. Calcula las siguientes derivadas expresando previamente las funciones en forma de potencia: a) D 4 x5 b) D 2x x c) D (x2 x) 3. Calcula las siguientes derivadas: a) D (x3 3x2 4x 2) b) D ( x4 x2 1) c) D (x3 4x2 1 2 ) 4. Calcula las siguientes derivadas expresando previamente las funciones en forma de potencia: a) D 1 x 3 b) D 3 x2 1 c) D 2 (x2 3)3 5. 
Calcula las siguientes derivadas: a) D e2x 7 b) D 3 e 1 x2 c) D 3tg x 
6. Calcula las siguientes derivadas: a) D L(x3 x2) b) D L(cos x) c) D L(x2 sen x) 7. Calcula las siguientes derivadas: a) D sen (x 5) b) D cos (x2 1) c) D sen (sen x) 8. Calcula las siguientes derivadas y expresa el resultado de la forma ma´s simple posible. a) D arcsen (x2 1) b) D arctg 1 x 1 x 9. Calcula la derivada de los siguientes productos: a) D ((x2 2) · ex2 1) b) D ((1 x2) · arctg x) c) D (cos x · L(tg x)) 10. Calcula la derivada de los siguientes cocientes: ex x 11. Calcula la derivada de las siguientes funciones de tipo potencial-exponencial. a) D (x2 1 x ) b) D (sen x x 1 ) c) D (tg x cos x ) 
12. Determina el valor de los para´metros m y n sabiendo que la recta y x es tangente a la gra´fica de la funcio´n f(x) x2 mx n en el punto (1, 1). 13. Halla el valor de m para que la recta y 4x m sea tangente a la gra´fica de la funcio´n f(x) 3x2 5. SOLUCIONES 1. Calcula la siguiente derivada: D(2 sen x sen 2x sen x2 sen2 x sen2 x2). 2. Calcula la derivada de la funcio´n f(x) x xx (x 0). 3. Calcula la derivada de las siguientes funciones y expresa el resultado de la forma ma´s simple posible: a) f(x) arctg ex 1 x e 1 b) f(x) L ex x x e x c) f(x) arctg sen x cos x sen x cos x 4. Calcula la derivada de la funcio´n f(x) (sen x)cos x (cos x)sen x. 5. Calcula la derivada de la funcio´n f(x) aplicando la derivacio´n logarı´tmica. (Lx)x xLx 6. ¿En que´ punto es tangente a la gra´fica de la curva f(x) x2 3x 1 una recta que es perpendicular a la recta x 2y 3 0? 7. Halla la ecuacio´n de la tangente a la gra´fica de la funcio´n f(x) L(tg 2x) en el punto de abscisa x . 8 8. Calcula el a´rea del cuadrado ABCD sabiendo que uno de sus ve´rtices es el origen de coordenadas y que uno de sus lados esta´ sobre la recta normal en el punto de abscisa x 0 a la gra´fica de la funcio´n f(x) e2x x2. Ten en cuenta que la recta normal a una curva en un punto es la recta perpendicular a la tangente a la curva en dicho punto. 9. ¿Que´ funcio´n verifica que al hallar sus derivadas sucesivas cada una resulta ser triple que la anterior? 10. Obte´n la derivada primera, segunda, tercera y cuarta de la funcio´n f(x) . ¿Cua´l serı´a la expresio´n 1 x 1 general de la derivada n-e´sima de esta funcio´n? 11. Obte´n la derivada primera, segunda, tercera y cuarta de la funcio´n f(x) . ¿Cua´l serı´a la expresio´n x x 1 general de la derivada n-e´sima de esta funcio´n? 12. Obte´n la expresio´n general de la derivada n-e´sima de las funciones f(x) sen x y f(x) cos x. SOLUCIONES 1. D(2 sen x sen 2x sen x2 sen2 x sen2 x2) 2 cos x 2 cos 2x 2x cos x2 2 sen x cos x 4x sen x2 cos x2 2. Df(x) 1 (1 Lx) · xx (x 0) 3. a) Df(x) 2ex (3x 1)2 ex ex 1 2 e2x 1 1 x e 1 b) Df(x) 2ex (1 x) (ex x)2 2ex (1 x) ex x e2x x2 ex x c) Df(x) 2 (sen2 x cos2 x) (sen x cos x)2 2 sen x cos x 1 sen x cos x 1 2(sen2 x cos2 x) 2(sen2 x cos2 x) 4. Df(x) sen x · L(sen x) · (sen x)cos x cos2 x sen x cos x · L(cos x) · (cos x)sen x sen2 x cos x 5. Tomamos logaritmos: Lf(x) L L(Lx)x LxLx x · L(Lx) Lx · Lx (Lx)x xLx Lf(x) x · L(Lx) (Lx)2 Derivamos en ambos miembros: L(Lx) f (x) 1 2Lx f(x) Lx x f (x) L(Lx) · 1 2Lx (Lx)x x x xLx 6. Las rectas perpendiculares a la recta dada tienen por pendiente m 2 y Df(x) 2x 3. 2x 3 2 x 1 2 Punto de tangencia: , f , 1 1 1 9 2 2 2 4 7. 2 1 tg2 2(1 tg2 2x) 4 Df(x) f 4 tg 2x 8 tg 4 f L tg 0 Punto de tangencia: , 0 8 4 8 Recta tangente: y 4 x y 4x 8 2 8. Calculamos la recta normal. Su pendiente sera´: m 1 f (0) Df(x) 2e2x 2x f (0) 2 m 1 2 f(0) 1. La recta normal es: y 1 x x 2y 2 0 1 2 Como el origen no pertenece a esta recta, es un ve´rtice opuesto a ese lado y, por tanto, la distancia entre el origen y la recta normal es la longitud del lado del cuadrado. La distancia del origen a la recta es: d A´ rea u2 W 2W 2 4 5 5 5 9. La funcio´n f(x) 33x verifica esta condicio´n. f (x) 3e3x 3f(x); f (x) 32e3x 3f (x); ...fn) (x) 3fn 1) (x) 10. f(x) (x 1) 1; f (x) (x 1) 2; f (x) 2(x 1) 3; f (x) 6(x 1) 4; f4)(x) 24(x 1) 5 fn)(x) ( 1)n 1 · n! · (x 1) (n 1) 11. f(x) x · (x 1) 1; f (x) (x 1) 2; f (x) 2(x 1) 3; f (x) 6(x 1) 4; f4)(x) 24(x 1) 5 fn)(x) ( 1)n · n! · (x 1) (n 1) 12. Dn sen x ( 1)m sen x si n 2m m 1 ( 1) cos x si n 2m 1 Dn cos x ( 1)m sen x si n 2m 1 m 1 ( 1) cos x si n 2m
1. Halla la tasa de variacio´n media de la funcio´n f(x) x2 4 en los intervalos [0, 2] y [ 2, 0]. 2. Halla la tasa de variacio´n media de las siguientes funciones en el intervalo [a, a h]. a) f(x) x 3 
b) f(x) x2 2x 3. Halla la tasa de variacio´n instanta´nea de las siguientes funciones en los puntos que se indica: a) f(x) 3x 2 en x 2 y x 1 
c) f(x) en x 2 y x 2 x x 1 b) f(x) x2 1 en x 0 y x 3 d) f(x) x en x 1 y x 4 4. Halla la tasa de variacio´n instanta´nea de las siguientes funciones en el punto gene´rico x a: a) f(x) x2 3 b) f(x) x 1 5. Calcula el valor de la derivada de las siguientes funciones en los puntos que se indican: a) f(x) 3x 2 en x 2 b) f(x) x2 x 1 en x 1 c) f(x) en x 1 2 x 3 6. Halla la funcio´n derivada de las siguientes funciones utilizando la definicio´n: a) D(3x) b) D(x 3) c) D(x2 3) 7. Halla la funcio´n derivada de las siguientes funciones utilizando la definicio´n: a) D x x 1 b) D 3x c) D x 3 8. Halla la ecuacio´n de la recta tangente a f(x) x2 2x 1 en el punto de abscisa x 1. 9. Halla el punto de corte del eje OX con la recta tangente a f(x) x2 2x en el punto de abscisa x 1. 10. ¿En que´ punto de la gra´fica de la funcio´n f(x) x2 5x 8 la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante? Escribe la ecuacio´n de dicha recta tangente. 11. El espacio en metros recorrido por un mo´vil viene dado por la funcio´n s(t) 3t2 1, t en segundos. a) Halla la velocidad media del mo´vil en el intervalo temporal [1, 4]. b) Obte´n la velocidad instanta´nea para t 2 segundos. SOLUCIONES

Ejercicios resueltos de examen de admisión a la Universidad