APLICACIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA BACHILLERATO RESUELTO PDF

1.Representa la curva y y halla el valor del a´rea limitada por esa curva, el eje OX y las rectas a) Determina el valor de a de modo que en x 1 la funcio´n P (x ) tenga un punto de inflexio´n. 
b) Halla el valor del a´rea del recinto limitado por la gra´fica de P (x ) y el eje OX. 3. Halla el a´rea limitada por la gra´fica de la funcio´n f (x ) Lx y las rectas x 1, x . 5 2 4. Halla el a´rea comprendida entre las gra´ficas de las funciones f (x ) x 2 2x 3 y g (x ) 2x 2 4x 3. 5. Calcula el volumen del cuerpo que se obtiene al girar la curva y alrededor del eje de abscisas entre 1 2 x 2 x 0 y x 2. 6. Se consideran las funciones: f (x ) x 2 1 g (x ) . x 1 si x 0 x 1 si x 0 a) Dibuja las gra´ficas de ambas funciones en los mismos ejes de coordenadas. 
b) Calcula el a´rea del recinto acotado limitado por las gra´ficas de ambas funciones. 7. Calcula el volumen del so´lido de revolucio´n obtenido al girar alrededor del eje el recinto limitado por la gra´fica de la funci´on y x sen x, con 0 x , y el eje OX. 1 1 Y O X y = x sen x 10 5 4 8. El a´rea de una elipse de semiejes a y b es S · a · b. Calcula el volumen de una superficie cilı´ndrica que tiene por base una elipse de semiejes 5 y 4 cm, respectivamente, y por altura 10 cm. 9. Un cuerpo de tres dimensiones tiene por base un cı´rculo de radio 5 cm. Todas las secciones perpendiculares a un dia´metro fijo de dicho cı´rculo son cuadrados. Halla el volumen del so´lido. SOLUCIONES 8. Las secciones que se obtienen al cortar el cilindro por planos paralelos a la base son siempre elipses de a´rea A(x ) 4 · 5 · 20 . Por tanto: V 20 dx 20 · [x ] 20 · 10 10 10 0 0 200 unidades cu´bicas. 9. Las secciones que se obtienen al cortar el cuerpo por planos perpendiculares al dia´metro son cuadrados de lado 2 25 x 2 y por tanto: 5 x A(x ) 4 · (25 x 2) El volumen se puede calcular mediante la integral: V 4 · (25 x 2) · dx 4 5 x 25x 3 5 1. Se considera la funcio´n f (x ) ax 3 bx 2 cx d. a) ¿Que´ valores deben tomar a, b, c y d para que posea un ma´ximo en el punto (1, 2), y un mı´nimo en el punto ( 1, 2)? b) ¿Tiene esta funcio´n algu´n punto de inflexio´n? En caso afirmativo, determina la ecuacio´n de la recta tangente a la curva en ese punto. c) Calcula el valor del a´rea de la regio´n limitada por la gra´fica de la funcio´n f (x ) y el eje de abscisas. 2. Calcula el valor de a sabiendo que la para´bola y ax 2 y la cu´bica y x 3 se cortan en el primer cuadrante encerrando una regio´n limitada de a´rea igual a a. 2 3 3. Dadas las funciones siguientes: f (x ) g (x ) cos 1 1 1 1 1 x 1 1 x 1 1 x 1 2 1 1 1 x a) Halla f (x ). b) Calcula el valor del a´rea de la figura encerrada por las curvas y f (x) e y g (x ). 4. Halla el volumen engendrado por la regio´n limitada por las para´bolas y x 2 y x y 2 al girar alrededor del eje de abscisas. 5. Calcula el volumen del so´lido de revolucio´n determinado por la regio´n comprendida entre las rectas x 0 y x 2 y las curvas f (x ) (x 2)2 y g (x ) x 2, al girar alrededor del eje OX. 6. Calcula el valor de a sabiendo que el a´rea del recinto plano limitado por las gra´ficas de las funciones f (x ) x 1 y g (x ) ax a es igual a una unidad cuadrada. 7. Se considera la para´bola de ecuacio´n y x 2 x 1 y la recta de ecuacio´n y x a: 1 3 4 4 a) Encuentra el valor de a para que uno de los puntos de corte de la para´bola y la recta sea el (4, 1). b) Para el valor hallado, encuentra todos los puntos de corte de ambas funciones. c) Para este mismo valor, representa gra´ficamente la para´bola y la recta y calcula el a´rea de la regio´n limitada por las dos funciones. 8. Calcula el volumen del so´lido de revolucio´n que se obtiene al girar la regio´n plana limitada por la gra´fica de la funcio´n f (x ) y las rectas x 1 y x 1. 1 1 x 2 1 1 + x2 y = Y –1 O 1 X 1 9. Cuando el caudal que mana de un grifo es una funcio´n cualquiera del tiempo, el volumen arrojado a lo largo de un cierto intervalo de tiempo coincide con el a´rea limitada por la funcio´n caudal y el eje de abscisas y, por tanto, se puede calcular con la ayuda de una integral definida. Se considera la funcio´n c 4 t · (t 2) que representa el caudal que mana de un can˜o, donde c se mide en litros/minuto y t en minutos. Calcula el volumen que se consigue recoger en un pilo´n desde el instante t 0 hasta el t 20 minutos. SOLUCIONES
Halla una aproximacio´n por defecto del a´rea de la regio´n que aparece en la figura y que esta´ limitada por la funcio´n f (x ) 9 x 2 y el eje OX en el intervalo [1, 3] dividiendo este en tres partes iguales. 8. Halla una aproximacio´n por exceso del a´rea de la regio´n limitada por la funcio´n f (x ) y el eje OX en el 1 intervalo [2, 4], dividiendo este en dos partes iguales. x 
9. Calcula la derivada de la funcio´n F (x ) (t 2 1)dt x2 0 SOLUCIONES 7. Se consideran los tres recta´ngulos que aparecen en la figura y que tienen por bases 1 y por alturas: f (1) 9 1 8 f (2) 9 4 5 f (3) 9 9 0 y = 9 – x2 1 2 Y O X Por tanto: S 1 · 8 1 · 5 1 · 0 13 uc 8. Se consideran los dos recta´ngulos que aparecen en la figura y que tienen por bases 1 y por alturas: f (2) f (3) 1 1 2 3 1 2 3 1 Y O X y = 1x Por tanto: S 1 · 1 · uc 1 1 5 2 3 6 9. F (x ) G(u ) (t 2 1) dt con u x 2 u 0 Aplicando la regla de la cadena: F (x ) · (u 2 1) · u dF dG du dx du dx (x 4 1) · 2x 2x 5 2x 1. Calcula el valor de la integral x 2 cos (nx ) dx en funcio´n de los valores de n. 2. Sea F (x ) arcsen t dt. Calcula F (x ). sen x 0 3. Si F (x ) sen t 2 dt. Calcula: x 0 a) F (x ) b) sen t 2 dt x 1 lim xA0 x 3 0 4. Calcula el siguiente lı´mite: x t 2 L(1 4t 2) dt 0 lim xA0 x 5 5. Dada la funcio´n f (x ) x 2 1 definida en el intervalo [ 3, 2] y la particio´n P del mismo formada por los puntos { 3, 2, 1, 0, 1, 2} tal y como aparece en la figura, calcula razonadamente cua´nto valen la suma superior y la suma inferior correspondiente a dicha particio´n y a dicho intervalo. f(x) = x2 + 1 Y –3 –2 –1 O 1 2 X 1 6. Demuestra que 1 2 dx 3 2 x 2 x 0 (Indicaci´on: Estudia el m´aximo de la funci´on 2 x 2 x en (0, 1)). 7. Sea f una funcio´n real de variable real, continua y positiva tal que f (t ) dt ex arctg x a. Aplicando el x 0 teorema fundamental del ca´lculo, determina el valor de la constante a y halla la expresio´n algebraica de f (x ). 8. Calcula el valor de las siguientes integrales definidas: a) Wx 1W dx b) 3 1 arctg x1 x 2 2 0 9. a) Halla los ma´ximos y mı´nimos, si es que existen, de la funcio´n F (x ) dt x 1 1 2 cos t 0 b) Calcula la derivada de la funcio´n G(x ) dt x2 1 sen t x SOLUCIONES 1. I (n ) x 2 cos (nx ) dx; integrando por partes: F (x ) x 2 sen nx 2x cos nx 2 sen nx n n 2 n 3 Entonces: I (n ) F ( ) F ( ) 2 sen n 2 cos n 2 sen n 2 2 3 n n n 2. F (x ) G(u ) arcsen t dt, con u sen x. u 0 Entonces: F (x ) dF (x ) dG (u ) du dx du dx arcsen u · u F (x ) arcsen (sen x ) · cos x F (x ) x · cos x 3. a) F (x ) sen x 2 b) Es de la forma . Aplicando la regla de L’Hoˆ- 0 0 pital: F (x ) F (x ) sen x 2 1 lim lim lim xA0 x 3 xA0 3x 2 xA0 3x2 3 4. Si F (x) t 2 L(1 4t 2) dt, L . x F (x) 0 lim xA0 x 5 0 0 Aplicando la regla de L’Hoˆpital: L , y como F (x ) x 2 L(1 4x 2), F (x ) lim xA0 5x 4 tendremos L L (1 4x 2) lim xA0 5x 2

Ejercicios resueltos de examen de admisión a la Universidad