TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA EJERCICIOS RESUELTOS PDF
¿Qué es la trigonometría esférica?
Es la parte de la trigonometría que estudia la resolución de triángulos esféricos , es decir , figuras formadas por arcos de circunferencias máximas contenidos en la superficie de una esfera.
El triángulo esférico, al igual que el triángulo plano, tiene seis elementos: los tres lados a , b , c , y los tres ángulos A , B y C.
Sin embargo, los lados de un triángulo esférico son magnitudes angulares en vez de lineales, y dado que son arcos de circunferencias máximas de una esfera, su medida viene dada por el ángulo central correspondiente.
Un triángulo esférico queda definido dando tres elementos cualesquiera de los seis, pues, al igual que en la geometría plana, hay fórmulas que relacionan las distintas partes de un triángulo, que se pueden utilizar para calcular los elementos desconocidos.
¿Qué es un triángulo esférico?
Es la porción de superficie esférica limitada por los arcos de tres circunferencias máximas secantes entre sí.
Los arcos son los lados del triángulo esférico y los puntos de intersección de dichos arcos son los vértices del triángulo .
Denominamos circunferencia máxima a la correspondiente a un círculo que pasa por el centro de la esfera .
¿Qué es un ángulo esférico?
Es el ángulo formado en una esfera por dos arcos secantes de circunferencias máximas.
La medida de un ángulo esférico viene dada por el ángulo diedro formado por los planos de las circunferencias máximas cuyos arcos constituyen los lados del ángulo esférico.
¿Cuál es la diferencia entre trigonometría plana y esférica?
Una de las principales diferencias entre la trigonometría plana y la trigonometría esférica es que en la primera los lados de los triángulos están expresados en unidades lineales, mientras que en la última todos los elementos se expresan generalmente en unidades angulares , esto es, en grados sexagesimales (por ejemplo).
APRENDIZAJES ESPERADOS :
☛ Introducir en las nociones básicas relativas a los triángulos esféricos rectángulos y oblicuángulos.
☛ Conocer y aplicar las fórmulas relativas a los triángulos esféricos rectángulos y oblicuángulos en la resolución de estos .
☛ Reconocer la definición de exceso esférico , la distancia más corta entre dos puntos situados sobre la superficie de una esfera.
¿Cuál es la importancia y aplicaciones de la trigonometría esférica?
La trigonometría esférica es de gran importancia para la teoría de la proyección estereográfica y en geodesia.
Es también el fundamento de los cálculos astronómicos.
Por ejemplo, la solución del llamado triángulo astronómico se utiliza para encontrar la latitud y longitud de un punto, la hora del día, la posición de una estrella y otras magnitudes.
El triángulo de navegación , o triángulo astronómico , que constituye la parte más importante de la navegación astronómica , es un triángulo esférico , donde sus tres vértices representan la posición del observador, la posición geográfica de los cuerpos celestes , y el polo de la Tierra que está más cerca del observador .
La solución de este triángulo proporciona las bases para derivar una línea astronómica de posición .
La trigonometría esférica se empleó en el pasado para resolver tal problema , pero hoy puede resolverse de forma sencilla al usar el almanaque náutico en conjunción con uno de los diversos métodos tabulares , que incluyen soluciones precalculadas del triángulo astronómico para situar cualquier posición del observador y de cualquier cuerpo astronómico observado.
En los métodos más modernos de la navegación astronómica , se usan el círculo de igual altitud y la línea de posición astronómica en conjunción con la solución del triángulo navegatorio.
El círculo de igual altitud es un círculo en la superficie de la Tierra, por lo que en cada uno de sus puntos la altitud de un cuerpo astronómico dado es el mismo en ese instante.
CIRCUNFERENCIA MÁXIMA :
Es aquella circunferencia que se forma al ser cortada una superficie esférica por un plano , tal que pase por el centro de la misma.
CIRCUNFERENCIA MÍNIMA :
Se genera cuando el plano que intersecta a la superficie esférica no pasa por el centro de ésta.
POLOS :
Son los extremos del diámetro perpendicular al plano que contiene a una circunferencia máxima.
Distancia polar es el arco de circunferencia máxima de todo los lugares que distan 90° de los polos.
ÁNGULOS DIEDROS :
Cuando dos planos se intersectan (tienen una recta común), entonces determinan ángulos diedros.
TRIÁNGULO EULERIANO :
Son triángulos esféricos cuyos elementos (un lado o un ángulo) son siempre menores que 180° , en caso contrario se les llama triángulos no eulerianos.
PROPIEDADES DE LOS TRIANGULOS ESFERICOS
Se tiene el ángulo triedro (figura geométrica formada por tres regiones angulares y mismo vértice) O-ASC, entonces de cualquier propiedad de los ángulos diedros se puede inferir una propiedad análoga a los triángulos esféricos y viceversa.
I) La suma de dos lados cualquiera es mayor que el tercer lado .
II) La suma de los tres lados es menor que 360°.
III) Si dos lados son iguales , los ángulos opuestos son iguales y viceversa .
IV) Si dos lados son desiguales , los ángulos opuestos son desiguales , y al lado mayor se opone el ángulo mayor y viceversa .
V) La suma de los tres ángulos es mayor que 180° y menor que 540°
EXCESO ESFERICO
Se denomina así al valor angular que resulta de la diferencia entre la suma de los ángulos del triángulo esférico y 180°.
FÓRMULA DE L’HUILIER Y SERRET
El exceso también se puede expresarse en función de los lados ***
☛ Cuando un triángulo esférico tiene un ángulo recto se denomina RECTÁNGULO .
☛ Si tiene dos ángulos rectos , se llamará BIRECTÁNGULO
☛ Si tiene los tres ángulos rectos , se llamará TRIRECTÁNGULO
• TRIÁNGULO ESFÉRICO RECTILATERO , es aquel que tiene un lado igual a 90°.
ÁREA DEL TRIANGULO ESFERICO
¿Cómo hallar el área de un triángulo esférico?
El área de un triángulo esférico es el área de la superficie de la esfera, el cual se obtiene al multiplicar el cuadrado del radio con el exceso esférico.
TRIANGULO POLAR ó SUPLEMENTARIO
Se dice que un triángulo esférico A’B’C’ es el polar o suplementario de otro esférico ABC cuando los lados del primero son los suplementos de los ángulos correspondientes del otro , y viceversa .
I) Si A’ B’ C’ es el triángulo polar de ABC , entonces ABC es el triángulo polar de A’B’C’.
II) El triángulo esférico ABC y su polar A’B’C’ están contenidos en la misma esfera.
III) Variación del Exceso Esférico
IV) Variación del área de un triángulo esférico
V) Relación entre los excesos y los Perímetros de triángulos polares :
VI) La medida cualquier lado o ángulo de un triángulo esférico se considera menor que 180°.
LEY DE LOS CUADRANTES
De acuerdo a las condiciones básicas , la medida de un lado o un ángulo de un triángulo esférico es menor que 180°, lo cual implica que puede estar en el primer o segundo cuadrante
Para determinar el cuadrante al cual pertenece un elemento en forma precisa se dan las siguientes leyes:
I) En un triángulo esférico rectángulo :
Un ángulo oblicuo y su lado opuesto son ambos menores ó ambos mayores que 90°.
II) Si los dos lados que forman el ángulo recto de un triángulo esférico rectángulo son ambos menores o mayores de 90° la hipotenusa es menor que 90° ; Pero si un lado es menor y el otro mayor de 90°, la hipotenusa es mayor que 90°.
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS ESFÉRICOS RECTÁNGULOS
Se llama triángulo esférico rectángulo a un triángulo esférico en el cuál uno de sus ángulos mida 90°.
Así por ejemplo en la figura se muestra un triángulo esférico ABC con C = 90°.
Para resolver un triángulo esférico rectángulo se necesitan aparte del ángulo recto , otros dos elementos como mínimo , de los otros cinco restantes .
Para que el triángulo rectángulo a resolver quede definido , aparte de las condiciones básicas los casos de resolución se pueden presentar dados :
☛ Los dos catetos
☛ Un cateto y la Hipotenusa
☛ Hipotenusa y un ángulo oblicuo
☛ Un cateto y el ángulo oblicuo opuesto
☛ Un cateto y el ángulo oblicuo adyacente
☛ Los dos ángulos oblicuos .
REGLAS DE NEPER PARA TRIÁNGULOS ESFÉRICOS RECTÁNGULOS
John Neper (1550 – 1617), inventor de los logaritmos neperianos , crea una regla mnemotécnica que permite deducir y recordar fácilmente las relaciones entre los elementos de un triángulo esférico rectángulo .
Para esto sigamos los siguientes pasos
En la resolución de triángulo esférico isósceles
Se realiza en forma análoga a la de un triángulo isósceles plano , es decir dividiéndolo en dos triángulos esféricos rectángulos iguales por un arco de circunferencia máxima, trazado desde el vértice, perpendicular a la base.
RESOLUCION DE TRIÁNGULOS ESFÉRICOS OBLICUÁNGULOS
Se llama triángulo esférico oblicuángulo a un triángulo esférico que no es rectángulo. Un triángulo esférico oblicuángulo queda determinado cuando se conocen tres de sus elementos , según los siguientes casos :
I) Conocidos los tres lados .
II) Conocidos los tres ángulos .
III) Conocidos dos lados y el ángulo comprendido .
IV) Conocidos dos ángulos y el lado comprendido.
PRINCIPALES LEYES LEY DE SENOS :
En todo triángulo esférico , los senos de los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.
LEY DE COSENOS PARA LOS LADOS
En todo triángulo esférico el coseno de un lado es igual al producto de los cosenos de los otros dos lados , más el producto de los senos de esos dos mismos lados por el coseno del ángulo opuesto al primero .
LEY DE COSENOS PARA LOS ANGULOS
En todo triángulo esférico el coseno de un ángulo es igual a menos el producto de los cosenos de los otros dos ángulos , más el producto de los senos de esos dos mismos ángulos por el coseno del lado opuesto al primero .
APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA EN ASTRONOMIA Y NAVEGACIÓN
El trabajo de un navegante consiste, fundamentalmente, en llevar una embarcación de un lugar a otro con seguridad para las personas y las mercancías que transporta. Esta tarea se ha realizado desde muy antiguo trazando la trayectoria a seguir sobre una carta de navegación (mapa) que represente la zona donde se navega, determinando cada cierto tiempo la posición de la embarcación y representándola en dicha carta, de manera que se puedan hacer las correcciones oportunas para seguir la trayectoria previamente decidida. De esto se deduce que hay dos aspectos fundamentales a tener en cuenta: las técnicas para la elaboración de las cartas marinas (la cartografía) y los métodos para determinar la posición del barco en el mar. En este trabajo se pretende explicar los rudimentos del uso de la Astronomía para determinar la posición en el mar. Un ejemplo interesante del uso de la astronomía en la navegación es el método utilizado para la determinación de la LATITUD por medio de la altura de la estrella Polar. Como sabemos la Tierra gira alrededor de un eje de rotación que está orientado, aproximadamente, hacia la estrella Polar, la cual está tan lejos de nosotros que podemos considerar que todas las visuales trazadas desde cualquier punto de la Tierra hasta ella son paralelas, lo que nos permite deducir, como se ve en la siguiente figura, que el ángulo de latitud coincide con el ángulo de elevación (altura) de la Polar sobre el horizonte.
Al analizar a la Tierra , es decir, al hacer cálculos de distancia entre puntos sobre la Tierra consideramos a ésta como una esfera de 6370 km de radio. Básicamente tenemos que recordar que el movimiento rotacional de nuestro planeta, tiene como ejes de rotación al diámetro que pasa por los polos Norte(N) y Sur(S), además da una vuelta completa en 24 horas. Esto es, tarda 24 horas en girar 360° (cada hora gira 15°). Debemos recordar que el tiempo de 24 horas para que la Tierra dé una vuelta completa es una aproximación, ya que lo real es que dicho giro se realiza en 23 horas, 56 minutos y 4 segundos .
ECUADOR :
Círculo máximo en la superficie de un cuerpo, definido por la intersección de la superficie con el plano del ecuador.
MERIDIANO :
El meridiano de un lugar (A) es la semicircunferencia de la Tierra que pasa por los polos Norte y Sur.
RUMBO :
Cuando un navío o aeroplano recorre un arco de circunferencia máxima entre dos puntos, su rumbo es el ángulo que el recorrido forma con el meridiano del navío o del aeroplano (El rumbo se mide a partir del norte y con el sentido horario).
SISTEMA DE COORDENADAS GEOGRÁFICAS
El Sistema de Coordenadas geográficas determina todas las posiciones de la superficie terrestre , mediante las coordenadas latitud y longitud .
LATITUD :
Es la distancia esférica (medida en su meridiano) que hay desde la línea ecuatorial hasta el círculo paralelo que contiene al lugar en observación, varía de 0° a 90° y hacia el norte o el sur.
LONGITUD :
Es la distancia esférica que hay desde el meridiano de Greenwich (Inglaterra) hasta el meridiano que pasa por el lugar de observación, varía de 0° a 180° y hacia el este u oeste.
La distancia (d) más corta entre dos puntos situados sobre la superficie de una esfera es el menor arco (0° a 180°) de circunferencia máxima. Para dicho cálculo se puede utilizar el triángulo esférico .
PRACTICA PROPUESTA
PROBLEMA 1 :
En un triángulo esférico rectángulo ABC , recto en B ,reduzca la expresión :
cosbtanacscA – cosbtanacotA
a , b y c son los lados del triángulo esférico.
A) cos(b – c)
B) cos(b + c)
C) cos(b + c)
D) sen(b – c)
E) 2cos(b – c)
Rpta. : "D"
PROBLEMA 2 :
Determinar en cuántos de los siguientes casos , existen un triángulo esférico cuyas partes sean:
I) A = 60° ; B = 70° ; C = 90°
II) A = 60° ; B = 115° ; C = 145°
III) A = 60° ; B = 20° ; C = 90°
A) I
B) II
C) III
D) I y II
E) I y III
Rpta. : "A"
PROBLEMA 3 :
El perímetro de un triángulo esférico es 335°. Hallar el máximo valor entero que puede tomar la relación entre su área y la de su triángulo polar .
A) 12
B) 13
C) 14
D) 17
E)12
Rpta. : "C"
PROBLEMA 4 :
En un triángulo esférico rectángulo ABC , recto en ‘‘C’’.
Reducir :
E = (1 – cos2A) (1+ cos2b) (1+ tan²B)
A) 6
B) 2
C) 3
D) 4
Rpta. : "D"
