TRANSFORMADAS DE LAPLACE EJERCICIOS RESUELTOS PDF
Transformadas Integrales
Transformada de Laplace
Condiciones suficientes para la existencia de la transformada de Laplace
Criterio de comparación para integrales impropias
Propiedades de la transformada de Laplace
Transformada de la derivada
Transformada de Laplace de una integral
Derivada de la transformada
Transformada inversa de Laplace
En este capítulo presentamos un método de solución de ecuaciones diferenciales llamado transformada
de Laplace (denotado con la abreviatura TL o con el símbolo L). La TL es una poderosa herramienta
utilizada con mucha frecuencia en física, matemáticas e ingeniería, para el análisis y solución de diversos
problemas, como por ejemplo, el cálculo de integrales impropias, análisis de señales y sistemas, entre otros.
La TL se denomina así en honor al matemático Pierre-Simon Laplace, quien la definió a finales del siglo XVIII, aunque no la utilizó para resolver ecuaciones diferenciales. Casi 100 años después, Oliver Heaviside (1850-1925), un ingeniero inglés famoso por sus aportaciones a la teoría electromagnética, creó el cálculo operacional donde la TL desempeña un papel preponderante. Al aplicar este cálculo operacional para la solución de ED se obtuvieron métodos complementarios a los métodos de solución conocidos en esa época (como los que hemos visto en los capítulos anteriores). A reserva de describir con mayor detalle el proceso posteriormente, podemos adelantar de momento que el método de la TL para resolver ecuaciones diferenciales consiste en trasladar un problema de valor inicial a un ámbito diferente, generalmente algebraico, en donde la TL de la solución buscada se puede despejar y la solución del PVI se obtendrá aplicando una trasformación inversa a la transformada de Laplace
Aplicar este método para resolver ED presupone un manejo fluido de la TL y su inversa, y el objetivo de este capítulo es lograr que el lector adquiera y desarrolle habilidades para el cálculo de ambos tipos de transformaciones en la solución de ED.
Una pregunta que el lector podría estarse haciendo es ¿qué necesidad hay de aprender un nuevo método como el de la TL, si ya hemos visto otros bastante efectivos para resolver ED? Para tener una respuesta completa habría que estudiar todo el presente capítulo, pero podemos ya avanzar que con la TL se pueden resolver aquellos problemas de ED que con los métodos tradicionales seríamuy difícil o imposible abordar. Aunque sobre la TL hay muchas más aplicaciones de las que se presentan en este libro, ofrecemos a continuación un conjunto de problemas para los cuales los métodos vistos hasta ahora no proporcionan un método adecuado de solución. Sólo hemos considerado, en capítulos previos, algunos casos en que la fuerza externa en ay 00 C by 0 C cy D f .t / es por lo menos continua en el intervalo donde se requiere resolver la ED. Los ejemplos siguientes incluyen funciones con discontinuidades de salto, ecuaciones integro-diferenciales y la delta de Dirac, que no es siquiera una función como se entiende usualmente. Se sigue entonces que hace falta ampliar el alcance de los métodos hasta ahora desarrollados, lo cual conseguiremos con la TL.
Sistemas oscilatorios con fuerzas de excitación discontinuas Ejemplo : Consideremos un sistema masa-resorte con m D 2 kg, c D 4 N m/s y k D 10 N/m. Supongamos que el sistema está inicialmente en reposo y en equilibrio por lo cual x.0/ D x 0.0/ D 0, y que la masa es impulsada por una fuerza de excitación f .t / cuya gráfica se muestra en la figura siguiente; se trata de una onda cuadrada con amplitud de 10 N y periodo igual a 2 . Encontrar la posición de la masa en cualquier instante.
Ecuaciones diferenciales en las que interviene una función impulso En ingeniería resulta de interés el análisis y la correspondiente solución de sistemasmasa-resorte, circuitos eléctricos y cargas mecánicas (tal vez sobre vigas) donde se produce algún impulso o alguna colisión, lo cual ocurre cuando una fuerza relativamente grande actúa en un tiempo considerablemente pequeño. Casos típicos de estas situaciones son las colisiones entre partículas elementales, el golpe de un bate sobre una pelota de beisbol, un peso grande concentrado en un punto de una viga por un intervalo de tiempo corto, una fuerza electromotriz que cambia repentinamente en un intervalo pequeño de tiempo por efecto, tal vez, de un rayo, entre otros. En tales situaciones, a menudo ocurre que el principal efecto de la fuerza depende sólo del valor de la integral
Ejemplo : Una masa unida a un resorte se libera desde el reposo a 2 m por debajo de la posición de equilibrio y comienza a vibrar. Después de 5 s, la masa recibe un golpe que suministra un impulso (momento lineal) sobre la masa de 8 N s dirigido hacia abajo.
Definición de la transformada de Laplace Definición y primeras observaciones En la gran mayoría de los sistemas de interés para la física y la ingeniería es posible (al menos en principio) predecir su comportamiento futuro partiendo de condiciones dadas en un determinado tiempo, el cual podemos desde luego suponer que es t D 0. Sólo en muy contados ejemplos es factible predecir el comportamiento pasado del sistema. En lo que sigue nos ocuparemos solamente de la parte de las funciones f .t / definida para valores t 0, sin darle importancia a lo que sucede para t < 0. Con esta aclaración podemos enunciar la siguiente definición de la transformada de Laplace, en ocasiones denominada unilateral:
Propiedades de la TL
