PAPPUS Y GULDING EJERCICIOS RESUELTOS PDF
APRENDIZAJES ESPERADOS
• Conocer las superficies y sólidos de revolución y calcular sus áreas y volúmenes.
• Conocer el teorema de Pappus-Gulding.
• Reconocer cuándo se genera una superficie y cuándo un sólido.
• Aplicar correctamente los teoremas en la resolución de problemas.
TEOREMAS DE PAPPUS Y GULDING
PRIMER TEOREMA :
El área que genera una línea cuando gira alrededor de un eje , es igual a la longitud de la circunferencia que recorre su centro de gravedad multiplicado por la longitud de la línea.
SEGUNDO TEOREMA :
El volumen que genera una superficie , cuando gira alrededor de un eje coplanar es igual a la longitud de la circunferencia que recorre su centro de gravedad multiplicado por el área de la figura.
PROBLEMAS PROPUESTOS
PREGUNTA 1 :
Calcular el área de la superficie generada por la circunferencia cuyo radio mide 3m, si gira 360º alrededor de una recta tangente a la circunferencia.
A)36𝛑²
B)38𝛑²
C)40𝛑²
D)42𝛑²
E)50𝛑²
Rpta. : "A"
PREGUNTA 2 :
Un triángulo isósceles cuya base mide 2a unidades y cuya altura mide 3a unidades, gira alrededor de uno de sus lados. Calcule (en unidades cúbicas) el mayor volumen del sólido que de esta manera se genera.
A) 6𝛑a³
B) 3𝛑a³
C) 4𝛑a³
D) 4a³
E) 5𝛑a³
Rpta. : "A"
PREGUNTA 3 :
Si el volumen de un neumático de auto móvil mide 𝕍u³ y su área total 𝔸u² y el radio de la sección transversal es r, tal que 𝔸×r = 60u³.
Calcule 𝕍 (en u³).
A) 20
B) 30
C) 40
D) 50
E) 60
Rpta. : "B"
PREGUNTA 4 :
Una región triangular de área 60u² gira alrededor de un eje coplanar siendo la distancia de sus vértices al eje giro 10u, 11u y 42 u. Calcule el volumen generado (en u³).
A) 1250𝛑
B) 2520𝛑
C) 2780𝛑
D) 3250𝛑
E) 4270𝛑
Rpta. : "B"
PREGUNTA 5 :
Los lados de un triángulo miden 11 ; 13 y 20. La región triangular gira alrededor de uno de sus lados obteniéndose un sólido de máximo volumen. Halle dicho volumen.
A) 528𝛑
B) 582𝛑
C) 825𝛑
D) 852𝛑
E) 285𝛑
Rpta. : "A"
PREGUNTA 6 :
Usando el teorema de Pappus Gulding deducir la posición del centro de gravedad de :
a) Una semicircunferencia de radio R.
b) Un semicírculo de radio R.
c) Un cuarto de circunferencia de radio R.
d) Un cuarto de círculo de radio R.
CENTRO DE GRAVEDAD
Punto de aplicación de la fuerza peso en un cuerpo, y que es siempre el mismo, sea cual sea la posición del cuerpo.
Para determinar el centro de gravedad hay que tener en cuenta que toda partícula de un cuerpo situada cerca de la superficie terrestre está sometida a la acción de una fuerza, dirigida verticalmente hacia el centro de la Tierra, llamada fuerza gravitatoria .
Cuando se trata de cuerpos de dimensiones muy pequeñas frente a la Tierra, se puede admitir que las fuerzas gravitatorias que actúan sobre las distintas partículas del cuerpo son paralelas y de módulo constante.
Por tanto, se puede calcular la posición del centro de gravedad hallando la recta de acción de la resultante de esas fuerzas. Si el cuerpo es homogéneo, el centro de gravedad coincide con su centro geométrico. Si un cuerpo es tan pequeño que la aceleración de la gravedad es la misma para todas las partículas, entonces el centro de masas y el de gravedad coinciden.
Cuando un punto se desplaza «forma» una línea.
Cuando una línea se desplaza forma una superficie. Y el desplazamiento de una superficie forma un sólido.
Consideraremos que un segmento de recta se desplaza horizontalmente y manteniéndose paralela a su posición original, ¿qué figura forma?
Si el extremo del mismo segmento se hace girar horizontalmente, manteniendo fijo el otro extremo, ¿qué figura se forma?
En el primer caso se forma un rectángulo y en el segundo, un círculo.
De lo anterior se deduce que ciertas superficies como sólidos, se generan como consecuencia del movimiento de ciertas figuras. Si una región de un plano se gira alrededor de un eje E de ese mismo plano, se obtiene una región tridimensional llamada sólido de revolución generado por la región plana alrededor de lo que se conoce como eje de revolución.
Este tipo de sólidos suele aparecer frecuentemente en ingeniería y en procesos de producción. Son ejemplos de sólidos de revolución: ejes , embudos , pilares , botellas y émbolos.
En los capítulos anteriores hemos estudiado algunos estos , específicamente , los tres cuerpos redondos; en el cilindro , el cono y la esfera , y sus respectivas superficies , sin embargo , existe otros muchos sólidos y superficies de revolución que han sido estudiados , de los cuales es posibles obtener un área o volumen , estos gracias a los teoremas del griego Pappus y del suizo Gulding.
Para aplicar estos teoremas es necesario conocer la ubicación del centroide , centro geométrico , de la figura.