REGLA DE LA CADENA EN LAS DERIVADAS EJERCICIOS RESUELTOS PDF
regla de la cadena
Cuando una variable y depende de una variable independiente x en una forma muy complicada, es conveniente considerarla como una función compuesta de dos o más funciones . ejemplo : y = (3x2 + x – 5) 4 entonces podemos considerar : y = m4 donde m = 3x2 + x – 5
Esto a veces se representa esquemáticamente como una ‘‘cadena’’ de variables , lo cual da nombre a la regla que veremos más adelante :
y podemos leer , y depende de m ; m depende de x . Estudiaremos la derivada de una composición de funciones , la cual es de gran importancia en la resolución de problemas físicos , químicos , etc . derivación de una función compuesta
La derivada de una función compuesta está basada en el siguiente teorema : Teorema : Si u es diferenciable en x , y g es diferenciable en u(x), entonc
En las reglas básicas de derivación se aplican fórmulas apropiadas para calcular las derivadas de las funciones f+g (suma), f-g (diferencia), f×g (producto) y f÷g (cociente).
Pero no se presentó en esa sección una regla que nos diga cómo calcular la derivada de una composición de funciones; esto es, no sabemos cómo calcular la derivada de f ı g (g compuesta con f o bien g seguida de f ). Es, precisamente, la regla de la cadena la que nos dice cómo obtener la derivada de y D(fog)(x) En palabras: la derivada de una potencia de una función derivable es el exponente por la potencia una unidad menor de la función base, por la derivada de la función (“la derivada de lo de adentro", como se decía anteriormente).
Ejemplo 1 :
Supongamos que deseamos encontrar la derivada de la función f definida por f(x) = (5x4 + 7)15.
¿Será necesario elevar el binomio a la potencia 15 , para posteriormente derivar ?
Lo anterior no es necesario , para esto existe la regla de la cadena .
Por el teorema: g(u(x)) = (5x4 +7)15 u(x) = 5x4 + 7 luego : g(u) = u15 Ahora : g’(u) = 15u14 y u’(x) = 20x3
Observa que para obtener el resultado primero se deriva la función externa (la función potencial) y el resultado se multiplica por la derivada de la función interna (que es 5x4 + 7). Ejemplo 2 : Calcular la derivada de la función: y = (3x – 2)3
Resolución :
La función cúbica es externa y 3x – 2 es la función interna . Ejemplo 3: Calcular la derivada de la función h(x)=(5x – 2)3 Resolución : La función h(x) es una función compuesta por : f(x) = 5x – 2 y g(x) = x3 Por lo tanto : Corolario : Suponga que g es una función diferenciable y que . I) Si f(x) = xn, entonces f ’(x) = nxn–1 II) Si f(x) = [g(x)]n, entonces : f ’ (x) = n[g(x)] n–1.g’ (x) Ejemplo 4 : Hallar la derivada de cada una de las funciones siguientes : I) f(x) = (4x2 – 3x + 6)5 III) f(x) = [(x2 + 1)6 + 4]4 Resolución : I) f ’ (x) = 5(4x2 – 3x + 6)4(8x – 3) NOTACIÓN DE LEIBNIZ PARA LA RECLA DE LA CADENA Sea y = g(u(x)). Queremos expresar , ahora , el teorema anterior de manera más simple . Para esto hacemos v = u(x)