RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS DE CUALQUIER MAGNITUD EJERCICIOS RESUELTOS PDF
ÁNGULOS DE CUALQUIER MAGNITUD Y SUS R.T.
OBJETIVOS
• Calcular el radio vector.
• Definir el ángulo de cualquier magnitud.
• Determinar las razones trigonométricas seno y coseno para ángulos de cualquier magnitud.
• Reconocer las razones trigonométricas secante y cosecante de un ángulo de cualquier magnitud.
• Calcular las seis razones trigonométricas de un ángulo de cualquier magnitud.
• Reconocer el ángulo cuadrantal y el valor de su medida.
• Determinar las razones trigonométricas del ángulo cuadrantal.
Las razones trigonométricas no solo se limitan a los ángulos menores que 90°, llamados ángulos agudos, también se definen para todo tipo de ángulos. Para poder entender ello es necesario conocer las definiciones que se establecen en la geometría analítica.
Una de las definiciones que ha aportado enormemente al cálculo matemático es la del plano cartesiano o sistema de coordenadas rectangulares.
Un sistema de coordenadas permite determinar la ubicación de un punto tomando como referencia ciertos parámetros ya definidos, por ejemplo, los ejes de referencia y las unidades en las cuales están divididos los ejes.
Existen diversos de sistemas de coordenadas que se utilizan para leer planos, ubicar lugares geográficos, entender el comportamiento de los astros, entre otros.
Actualmente, los sistemas de referencia han permitido, por ejemplo, diseñar un dispositivo electrónico de uso frecuente en el mundo, llamado GPS (sistema global de navegación por satélite); que permite determinar en todo el mundo la ubicación de un objeto, una persona, un vehículo, etc., con una precisión hasta de centímetros (si se utiliza un GPS diferencial).
ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL
Un ángulo α está en posición normal si su vértice está en el origen de un sistema de coordenadas cartesianas y su lado inicial coincide con el eje X positivo.
El lado final puede estar ubicado en uno de los cuadrantes en cuyo caso, se dice que a está en tal cuadrante.
Radio vector es la distancia que separa al origen de un sistema cartesiano con cualquier punto del plano cartesiano.
Como se trabaja con coordenadas y éstas pueden ser positivas o negativas, entonces tendremos razones trigonométricas positivas o negativas.
SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN LOS CUADRANTES
Como hemos observado, las razones trigonométricas son positivas o negativas, dependiendo del cuadrante donde se encuentre el lado final del ángulo.
ÁNGULO CUADRANTAL:
Es aquel ángulo trigonométrico cuya medida es múltiplo de 90°.
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DÉ LOS ÁNGULOS CUADRANTALES
Para calcular las razones trigonométricas de los ángulos cuadrantales, utilizamos las definiciones de las razones trigonométricas de un ángulo es posición normal.
PRIMERA PRACTICA
EJERCICIO 1 :
Si el punto P(–1, 3) pertenece al lado final del ángulo en posición normal “θ”
Calcula : senθ.cosθ
Rpta. : – 0,3
EJERCICIO 2 :
Si el punto Q(–3; –4) pertenece al lado final del ángulo canónico “β”.
Calcula: secβ+tanβ
Rpta. :– 1/3
EJERCICIO 3 :
Sabiendo que: senφ = 3/5 ; φ ∈ IVC
Calcula: secφ – tanφ
Rpta. : 2
EJERCICIO 4 :
Sabiendo que: tanβ = 0,5 ; β ∈ IIIC
Calcula: senβ.cosβ
Rpta. : 0,4
EJERCICIO 5 :
Sabiendo que: cosθ = – 0,8; θ ∈ IIC
Calcula: cscθ + cotθ
Rpta. : 1/3
EJERCICIO 6 :
El punto (6; –8) pertenece al lado final de un ángulo α en posición normal
Calcule: 5cosα + 6tgα
EJERCICIO 7 :
Si se cumple: 3tgx + 4 = 0; x∈IVC.
Calcule: cscx – ctgx
EJERCICIO 8 :
Sabiendo que: 2senβ + 1 = 0 ; tgβ > 0.
Calcule: tg60ºsecβ – cscβ
EJERCICIO 9 :
Si: 169 – 144sec²x = 0; x∈IIIC.
Calcule: ctgx – cscx
EJERCICIO 10 :
A qué cuadrante pertenece β, si: sen220ºcosβ > 0 y tg310ºtgβ < 0.
EJERCICIO 11 :
A qué cuadrante pertenece 2006º.
EJERCICIO 12 :
Calcule: 2sen90º + 3cos180º + 4tg360º
EJERCICIO 13 :
Calcule el valor de: 4tg0º + 2sen90º – 3cos180º – 11cos360º
EJERCICIO 14 :
Simplifique : (a + 2)cos360º + (2 – a)sen270º – (a + 3)sec60º.
EJERCICIO 15 :
Determine el menor ángulo positivo coterminal con (–10º).
EJERCICIO 16 :
Si α y β son ángulos coterminales
Calcule: cosα – cos(α – β) – cosβ
EJERCICIO 17 :
Dos ángulos coterminales están en la relación de 4 a 1. Si el menor se encuentra entre 330º y 380º. Calcule la medida del mayor ángulo.
SEGUNDA PRACTICA
PREGUNTA 1 :
Si: cosα = 40/41 y α ∈ IVC
Halla : cscα + cotα
a) –9
b) – 1/9
c) 9
d) 1/9
e) 7/9
Rpta. : "A"
PREGUNTA 2 :
Si P(– 6;– 8) ∈ al lado final del ángulo “θ” en posición estándar, calcula: secθ +tgθ
a) 3
b) –3
c) −1/3
d) 1/3
e) 1
Rpta. : "C"
PREGUNTA 3 :
Si el lado final del ángulo “θ” en posición estándar pasa por el punto medio del segmento AB donde A(– 1; 1) y B(5; 7), calcula: tgθ
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) – 4
Rpta. : "B"
PREGUNTA 4 :
Si 8tgx = 4 además: x ∈ IIIC
Calcula: senxcosx
a) 2/13
b) 3/13
c) 6/13
d) –6/13
e) –3/13
Rpta. : "C"
PREGUNTA 5 :
Indica el signo de:
sen220° tan250° cos150°
a) (+)
b) (–)
c) (+) ó (–)
d) ±
Rpta. : "A"
PREGUNTA 6 :
Calcula el valor de:
3sen90° + 5cos𝛑 + 2tan2𝛑
a) –1
b) –2
c) –3
d) 2
e) 3
Rpta. : "B"
PREGUNTA 7 :
Calcula el valor de:
cos(sen𝛑) + sec(tan0°)
a) 1
b) 2
c) 0
d) –2
e) 3
Rpta. : "B"
PREGUNTA 8 :
Calcula:
cos1°cos2°cos3° ... cos180°
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
Rpta. : "A"
PREGUNTA 9 :
Si : tanθ = 2,4.
Halla senθ , además cosθ < 0
a) −5/13
b) −12/13
c) 12/13
d) 5/13
e) 2/5
Rpta. : "B"
PREGUNTA 10 :
Indica el signo de:
sen140° – tan330° – cos250°
a) (+)
b) (–)
c) (+) ó (–)
d) ±
Rpta. : "A"
PREGUNTA 11 :
Si: Tg6x.Tg(x+20º)= Sen 90º
Calcula:
2Sen(x –10º) + 4Sec18x
a) –2
b) –4
c) –6
d) –8
e) –10
Rpta. : "B"
PREGUNTA 12 :
Sean α y β las medidas de dos ángulos coterminales (α > β) tal que el doble del menor es a la suma de ellos como 13 es a 23. Calcule la medida del mayor de ellos si está comprendido entre 1100° y 1300°.
A) 988°
B) 1088°
C) 1188°
D) 1288°
E) 1328°
Rpta. : "C"
PREGUNTA 13 :
Un automóvil parte del punto A, tal como se muestra en la figura, recorriendo una trayectoria circular con rapidez angular constante. Si T es el tiempo que transcurre hasta llegar a la línea AD, halle el valor de 21(tgθ + ctgθ)
A) 58s
B) 85s
C) 88s
D) –58s
E) –88s
Rpta. : "A"
PREGUNTA 14 :
Los puntos A(a + b;b) y B(b;a− b) pertenecen al lado terminal de un ángulo en posición normal cuya medida es α . Calcule el valor de csc²α + tg²α , si b > 0 .
A) 7
B) 8
C) 9
D) 6
E) 5
Rpta. : "A"
PREGUNTA 15 :
Dos ángulos coterminales que están en relación de 2 a 7 la diferencia de ellos es mayor que 1200º pero menor que 1500º. Halle los ángulos.
A) 1400º y 576º
B) 2130º y 576º
C) 2016º y 576º
D) 1080º y 576º
E) 720º y 216º
Rpta. : "C"
PREGUNTA 16 :
Determinar el menor de dos ángulos coterminales, si la suma de ellos es 1320º y el mayor está comprendido entre 900º y 1200º.
A) 100º
B) 140º
C) 240º
D) 300º
E) 420º
Rpta. : "D"
PREGUNTA 17 :
Las medidas de dos ángulos coterminales son proporcionales a los número 5 y 2. Además la medida del mayor ellos está comprendida entre 1000º y 1700º; halle la suma de medidas de dichos ángulos.
A) 1880º
B) 1860º
C) 1680º
D) 1660º
E) 1200º
Rpta. : "C"
PREGUNTA 18 :
Edu observa la posición de las agujas de un reloj durante ciertas horas del día y mide los ángulos formados por dichas agujas con un transportador. Las medidas que registra son 100°, 140°, 190°, 200° y 310°.
Respecto a dicha información, calcule, respectivamente, el signo de las siguientes expresiones: E= sen140° tan100°
D= sec300°+ cot190°
U= csc100° – cos200°
A) –, +, –
B) –, +, +
C) –, –, +
D) –, –, –
Rpta. : "C"
PREGUNTA 19 :
Se cumple que sen²βcosβ< 0 y cosβcscβ > 0. Indique el cuadrante al cual pertenece β.
A) IIC ∨ IIIC
B) IIC
C) IIIC ∨ IVC
D) IIIC
Rpta. : "C"
PREGUNTA 20 :
Si cosθ =– 1/4 ; tal que θ ∉IIC, calcule el valor de la expresión E= 15(cscθ + cotθ).
A) –1
B) –2
C) –3
D) 1
Rpta. : "C"
PREGUNTA 21 :
Si tanβ = √5/2 , además β∈ IIIC, calcule cosβ
A) − 2/3
B) − √5/3
C) − 3/4
D) − 2/7
Rpta. : "A"
PREGUNTA 22 :
Si cotψ= − 12/5 y cotψsecψ<0, calcule el valor de la expresión E=senψ – cosψ
A) − 7/13
B) 7/13
C) 2/13
D) – 17/13
Rpta. : "D"
PREGUNTA 23 :
Si se cumple que cot²θ + cotθ – 6= 0, θ∈ IVC, calcule el valor de 3secθ +cscθ
A) 2√10
B) 0
C) √10
D) −2√10
Rpta. : "D"
PREGUNTA 24 :
Indique el cuadrante o cuadrantes de β.
Si : tgβ + 2cos60º < ctg45ºcosβ < 0
A) IC
B) IIC
C) IIIC
D) IIC ∨ IIIC
E) IVC
PREGUNTA 25 :
Si P(–3; –4) pertenece al lado final del ángulo φ en posición estándar
Calcule: tgφ+secφ
A) 3
B) –3
C) –1/3
D) 1/3
E) 1 3.
PREGUNTA 26 :
Calcule: senψ – cosψ
Si: 25cosψ + 24 = 0 ∨ ψ∈IIIC
A) 1/17
B) –17/25
C) 25/17
D) –25/17
E) 17/25
PREGUNTA 27 :
Si θ y β son ángulos coterminales no cuadrantal, encuentre el signo de la expresión. senθcscβ+secθcosβ
A) + ó –
B) + y –
C) +
D) –
E) F.D.
PREGUNTA 28 :
Si θ es un ángulo en posición normal cuyo lado final pasa por el baricentro del triángulo de vértices A(–3; 9), B(9; 18), C(6; –3), calcule el valor de 5senθ–cotθ
A) − 1/2
B) − 3/2
C) 3/2
D) 5/2
E) 1/2
PREGUNTA 29 :
Si β y θ son ángulos cuadrantales positivos y menores que una vuelta tal que cumplen
senθ – tanβ =1
calcule el valor de cos(sen2θ) +cos2β
A) – 2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
Hace muchos años los griegos desarrollaron la geometría elemental de analizar las propiedades del punto, la recta y otras figuras geométricas. Fue en el año 1628 el filósofo y matemático francés René Descartes combinó exitosamente el álgebra de los números reales con la geometría. Este principio puede enunciarse así: “Existe una correspondencia biunívoca entre los puntos de una línea recta y los números reales, de tal forma que a cada número real le corresponde un único punto, y a cada punto le corresponde un número real y sólo uno”.
Supongamos una recta horizontal X y sobre ella tomamos un punto referencia u origen O. Adoptamos el convenio de que toda longitud tomada hacia la derecha es positiva y hacia la izquierda negativa. La posición de un punto R respecto de O, en esta recta, se le llama abscisa de R y expresa la distancia entre R y O.
Supongamos una recta vertical, adoptamos el convenio de que toda longitud tomada hacia arriba es positiva y hacia abajo, negativa. La posición de un punto Q respecto de O, en esta recta, se le llama ordenada de Q y expresa la distancia entre Q y O.
Tomemos las rectas X e Y, y hagamos que se corten perpendicularmente en O; estas dos rectas determinan un plano, llamado plano cartesiano.
Para ubicar un punto P del plano cartesiano, trace ahora una perpendicular desde la abscisa R, trace luego una perpendicular desde la ordenada Q y estas se cortan en un punto P, a éste par de números (abscisa y ordenada del punto P) se les llama coordenadas del punto P.
