PROGRAMACIÓN LINEAL EJERCICIOS RESUELTOS PDF
PROBLEMA 1 :
En un problema de programación lineal, la región factible viene dada por un polígono convexo acotado, cuyos vértices son (0;0), (0;6), (7;6) y (3;0). Sea la función objetivo f, dada por f(x;y)=2x – 2y, entonces el valor máximo de f es:
A) 2
B) 4
C) 6
D) 10
E) 12
RESOLUCIÓN :
Se tiene la función objetivo:
f(x;y) =2x–2y
Por dato, la región factible es un polígono convexo acotado cuyos vértices son (0;0); (0;6); (7;6) y (3;0). Entonces evaluamos la función objetivo en dichos vértices.
f(0;0) = 2(0)–2(0) =0
f(0;6) = 2(0)–2(6) =–12
f(7;6) = 2(7)–2(6) =2
f(3;0) = 2(3)–2(0) =6
Obtenemos que el valor máximo de f es
máx f(x;y) = f(3;0) =6
Rpta. : "C"
PROBLEMA 2 :
Una factoría produce 2 tipos de cocinas: A y B. Producir una cocina del tipo A requiere 2 horas de trabajo en máquina y 2 horas de trabajo a mano. La venta de cada cocina tipo A deja una utilidad de S/40. Por otro lado, producir una cocina tipo B requiere 4 horas de trabajo en máquina y una hora de trabajo a mano. La venta de cada unidad del modelo B deja una utilidad de S/70. Si por día se dispone, en total, de un máximo de 200 horas de trabajo en máquina y 140 horas de trabajo a mano, ¿cuánto es la máxima utilidad diaria?
A) S/2500
B) S/3850
C) S/3800
D) S/4000
E) S/2980
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "C"
PROBLEMA 3 :
Determine el valor máximo de la función objetivo f(x; y)=2x+3y sujeta a la restricción:
2y ≤ x+2
y – x ≥ – 1
0 ≤ x ≤ 4
y ≥ 0
A) 13
B) 14
C) 15
D) 16
E) 17
RESOLUCIÓN :
Maximizar: f(x; y)=2x+3y
Graficando la región factible:
Evaluando en cada vértice de dicha región:
f(A)=f(0;1)=3
f(B)=f(4;3)=17 ➞ (Máx.)
f(C)=f(1;0)=2
∴fmáx=17
Rpta. : "E"
PREGUNTA 4 :
Si la función objetivo f(x,y)=ax+3y admite un valor máximo de 39 en la región admisible mostrada.
A) 4
B) 7
C) 64
D)1/2
E) 0
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "A"
PREGUNTA 5 :
Halle el máximo valor de la función objetivo f(x;y)=5x+4y sujeto a las siguientes restricciones:
A) 30
B) 20
C) 21
D) 18
E) 24
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "C"
PROBLEMA 6 :
Un comerciante compra y vende frigoríficos y lavadoras cuyo costo de cada uno es de 500 dólares y 400 dólares respectivamente. Si solo tiene espacio en su almacén para guardar 50 electrodomésticos y 22 000 dólares para invertir. Sabiendo que la ganancia obtenida por un frigorífico es 120 dólares y 100 dólares por una lavadora, ¿cuántos electrodomésticos de cada tipo debe comprar y vender para obtener la máxima ganancia?
A) 30 frigoríficos y 20 lavadoras
B) 10 frigoríficos y 20 lavadoras
C) 20 frigoríficos y 30 lavadoras
D) 44 frigoríficos y 1 lavadora
E) 10 frigoríficos y 30 lavadoras
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "C"
PROBLEMA 7 :
En un restaurante se dispone de 26 kg de arroz cocinado y 10 kg de seco de cabrito para vender plato simple o plato a la carta. En cada plato simple, se utiliza 400 g de arroz y 100 g de seco de cabrito y en el plato a la carta, utiliza 300 g de arroz y 250 g de seco de cabrito. Si el plato simple se vende a 14 soles y el plato a la carta a 21 soles, halle el máximo ingreso.
A) S/ 1500
B) S/ 1150
C) S/ 1450
D) S/ 1050
E) S/ 1120
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "E"
PROBLEMA 8 :
Un taller produce dos tipos de juegos pirotécnicos, M y N, los que son vendidos a 35 y 40 soles la caja, respectivamente. Por regulaciones municipales, no se debe producir más de 65 cajas del tipo M, ni más de 50 cajas del tipo N por semana. Además, la producción semanal de ambos pirotécnicos no debe superar las 100 cajas. Determine el ingreso máximo semanal que puede obtener por la venta de ambos tipos de pirotécnicos.
A) S/ 3675
B) S/ 3250
C) S/ 3950
D) S/ 3500
E) S/ 3750
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "E"
PROBLEMA 9 :
Rosita realiza un viaje a Trujillo para comprar zapatos al por mayor. Ella ha estimado sus ganacias en función al número de cajas de zapatos de mujer y hombre que compra y vende. El número total de cajas de zapatos que compra y vende no es menos que 10, pero la diferencia del número de cajas de zapatos de mujer con el de hombres es a lo más 20, además el número de cajas de zapatos de hombre es a lo mas 9. Si la ganancia por cada caja de zapatos de mujer es 50 soles y cada caja de zapatos de hombre 40 soles, ¿cuántas cajas de zapatos de mujer y hombre compró y vendió Rosita, si obtuvo la máxima ganancia?
A) 20 cajas de zapatos de mujer y 10 cajas de zapatos de hombre
B) 9 cajas de zapatos de mujer y 1 caja de zapatos de hombre
C) 29 cajas de zapatos de hombre y 9 cajas de zapatos de mujer
D) 20 cajas de zapatos de mujer y 9 cajas de zapatos de hombre
E) 29 cajas de zapatos de mujer y 9 cajas de zapatos de hombre
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "E"
PREGUNTA 10 :
Si T=2a+b, donde “a” y “b” son respectivamente el mínimo y máximo valor de la función
f(x,y)=5x+4y sujeto al sistema
x+2y≥160
x+y≤120
x≥0
Determine la suma de cifras del valor de T.
A) 18
B) 5
C) 16
D) 3
E) 11
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "D"
PROBLEMA 11 :
Sea u el número de decenas de sillas y v el número de decenas de mesas que fabrica una empresa al día. Si la utilidad diaria está dada por 200u+300v, y se tienen las siguientes restricciones:
u+v ≤4
2u+3v ≤10
40u+20v ≤120
encuentre el número de decenas de mesas y sillas, respectivamente, a fabricar diariamente de modo que la empresa obtenga la mayor utilidad.
A) 3 y 1
B) 1 y 3
C) 2 y 2
D) 2 y 3
E) 3 y 2
RESOLUCIÓN :
En este tema se requiere determinar la región factible, la cual se obtiene mediante la representación geométrica de las restricciones dadas, para luego calcular las coordenadas de los vértices de la región y poder evaluar el máximo o mínimo valor de la función objetivo.
PLAN DE RESOLUCIÓN
I) Identificar la función objetivo.
II) Representación gráfica de las restricciones.
III) Evaluar la función objetivo en los vértices de la región factible.
Rpta. : "C"
PROBLEMA 12 :
Una fábrica produce dos tipos de cocinas: modelo A y modelo B. Producir una cocina del modelo A requiere dos horas de trabaja en máquina y dos horas de trabajo a mano. La venta de cada cocina del modelo A deja una utilidad de $ 40. De otro lado, producir una cocina del modelo B requiere cuatro horas de trabajo en máquina y una hora de trabajo a mano. La venta de cada unidad del modelo B deja una utilidad de$ 70. Si por día se dispone, en total, de un máximo de 200 horas de trabajo en máquina y de 140 horas de trabajo a mano, ¿cuál es la máxima utilidad diaria?
A) $ 3800
B) $ 3500
C) $ 3850
D) $ 2980
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "A"
PROBLEMA 13 :
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "A"
PROBLEMA 14 :
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "E"
La programación lineal se puede definir como un medio matemático que busca la optimización (maximización o minimización) del uso de recursos limitados.
La cual tiene por objeto ayudar a los responsables en la toma de decisiones sobre asuntos en donde intervienen un gran número de variables.
La representación matemática de dicho óptimo se conoce como función objetivo y consiste generalmente en maximizar utilidades, beneficios, ingresos , eficiencia o alguna medida efectiva; o en minimizar costos errogaciones, gastos ,etc.
Toda limitación , condición o disponibilidad de los recursos o actividades se denomina restricción y debe expresarse matemáticamente por medio de desigualdad (no estricta) o igualdad.
INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL
En numerosos problemas de la vida cotidiana se nos pide optimizar (maximizar o minimizar) una función (llamada función objetivo) sujeta a un sistema de ecuaciones o inecuaciones. Este sistema de ecuaciones o inecuaciones a la que está sujeta la función objetivo refleja las restricciones, impuestas en la(s) solución(es) del problema. Este tipo de problemas se llaman problemas de programación matemática. En particular, los problemas en los que tanto la función objetivo como las restricciones son expresadas en forma de ecuaciones o inecuaciones lineales se llaman problemas de programación lineal.
GUÍA PARA PROGRAMACIÓN LINEAL
1. IDENTIFICAR VARIABLES
determine que variables del problema deben recibir el nombre de «x» e «y».
2. ENCONTRAR LA FUNCIÓN OBJETIVO
escriba una expresión para la función que deseamos maximizar o minimizar.
3. GRAFICAR LA REGIÓN FACTIBLE
la región factible está formada por el conjunto de puntos del plano que verifican el sistema de inecuaciones (restricciones del problema). Dichos puntos forman un recinto convexo acotado (poligonal) o no acotado.
4. ENCONTRAR EL MÁXIMO O MÍNIMO
evalúe la función objetivo en los vértices de la región factible para determinar su valor máximo o mínimo.
SOLUCIONES ÓPTIMAS
son el conjunto de pares ordenados que pertenecen a la región factible y que, al ser evaluados en la función objetivo, generan un máximo o mínimo valor.
TEOREMA 1
Una función lineal definida sobre una región factible acotada no vacía tiene un valor máximo (mínimo) que puede hallarse en un vértice.
TEOREMA 2.
Si la función objetivo asume el mismo valor óptimo en dos vértices consecutivos de una frontera de la región factible entonces también asume el máximo valor en todos los puntos del segmento formado por dichos vértices.
