PRODUCTO CARTESIANO EJERCICIOS RESUELTOS PDF
PRODUCTO CARTESIANO
El producto cartesiano de los conjuntos no vacíos A y B, denotados por A x B, es el conjunto de todos los pares ordenados, cuyas primeras componentes pertenecen a A y las segundas componentes pertenecen a B. Simbólicamente
De los ejemplos 1 y 2 podemos notar que el producto cartesiano no es conmutativo, es decir PLANO CARTESIANO
El conjunto denotado por lR2=lRxlR={{x; Y)/X E lR 1\ Y E lR} se denomina plano cartesiano, cuya representación geométrica es y Además
• Yes el eje de ordenadas y X es el eje de abscisas.
• Los ejes X e Y se interceptan perpendicularmente en el punto 0= (O; O): origen de coordenadas.
• El punto P= (Xo; Yo) tiene coordenadas de abscisa Xo y ordenada Yo' Como los conjuntos A y B no son finitos, su producto cartesiano A x B tampoco es finito y para obtenerlo ubicamos los elementos de A sobre el eje X y los elementos de B sobre el eje Y.
PRODUCTO CARTESIANO
Dados dos conjuntos A y B no vacíos, se llama producto cartesiano de A por B, al conjunto formado por todos los pares ordenados (a; b) tales que . Ejemplo: Sea: A = {1;2} ; B = {5;7} Hallar: I) A × B y II) B × A Resolución: A × B = {(1;5), (1;7), (2;5), (2;7)} B × A = {(5;1), (5;2), (7;1), (7;2)}
OBSERVACIÓN :
Como te podrás dar cuenta: A × B B × A, es decir el producto cartesiano no es conmutativo. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL PRODUCTO CARTESIANO Dados: E = {a ; b ; c} y F = {1 ; 3} E×F={(a;1),(a;3),(b;1),(b;3),(c;1),(c;3)} Este producto puede ser representado gráficamente de las siguientes maneras: i) matricial : Es un cuadrado de doble entrada, en donde los elementos del primer conjunto se escriben en la primera columna, y los del segundo conjunto en la primera fila. En los cuadrados internos se encuentran los elementos del producto cartesiano. ii) sagital : Esta representación es mediante un diagrama de Venn se le denomina sagital porque se emplean flechas para relacionar los elementos. iii) cartesiana : Se realiza en el sistema cartesiano, en el eje horizontal se ubican los elementos del primer conjunto y en el eje vertical del segundo conjunto. iv) diagrama del arbol : Producto cartesiano Dados 2 conjuntos A y B , se llama así , al conjunto de todos los pares ordenados cuyas primeras componentes son elementos de “A” y cuyos segundas componentes son elementos de “B” , se denota por : ejemplos : Si : A={2; 4; 6 } B={p ; q } Luego : A×B={(2;p) , (2;q) , (4;p) , (4;q) , (6;p) , (6;q)} B×A={(p;2) , (p;4) , (p;6) , (q;2) , (q;4) , (q;6)} Se observa en general que : A×BB × A
PROPIEDADES : I) A ×B = B × A A = B II) n(A × B)= n(A) ×n(B) , si los conjuntos A y B son finitos. n( ): número de elementos. III) Ejemplo: El ejemplo anterior muestra que la operación producto cartesiano no es conmutativa, es decir, en general . Producto cartesiano definido por comprensión En el caso que los conjuntos estén definidos por comprensión el producto cartesiano se puede definir de la siguiente manera: Sean : el producto cartesiano se puede escribir como: En este caso: En consecuencia: Ejemplo: Sean : Los siguientes teoremas establecen que la operación de producto cartesiano distribuye sobre la unión y la intersección. Teorema: Si A, B y C son conjuntos, entonces Representación Geométrica Los elementos del producto cartesiano de A×B , suelen representar puntos de un plano dotado de dos ejes cartesianos , sobre el eje horizontal se ubican los elementos de A y sobre el eje vertical los de B. Ejemplo : Sea : A = {1; 3 ; 5} y B = {2 ; 4} A×B ={(1; 2),(1; 4) , (3; 2) , (3; 4) , (5; 2) ; (5; 4)} representación gráfica de A×B I) diagrama de venn : II) diagrama cartesiano (Bidimensional) Las figuras representan la misma relación: R = {0; 0),(0; 2),(1; 4) , (3; 3) ,(5; 6),(5; 8), (9; 7)}
EJERCICIO 1 :
Dado : ¿Cuántos elementos tiene el conjunto A×B ? A)1054 B)70 C)80 D)510 E)1056 RESOLUCIÓN : Determinando por extensión a cada uno de los conjuntos, se obtiene :
EJERCICIO 2 :
Si : A y B son conjuntos tales que: A×B = {(2;c),(a;d),(b;c),(b;5)} B×A = {(4;a),(c;3),(d;a),(d;b)} Calular : E=(c+d)÷(a+b) A)1 B)2 C) 1,2 D)1,8 E) 2,4 RESOLUCIÓN: De A × B : A = {2; a; b; b}...(I) B = {c; d; 5}...(II) De B ×A: A = {a; 3; a; b}...(III) B = {4; c; d} ...(IV) Ahora de (I) y (III), se deduce que: De (II) y (IV), se deduce que: Pide : (c + d)÷(a+b)= 9÷5=1,8 RPTA : “D” EJERCICIO 3 : Se lanza los dados juntos, ¿ Cuántos pares ordenados se puede formar con los números de la cara superior ? A) 12 B)6 C)18 D)36 E) 72 RESOLUCIÓN : Consideremos a los conjuntos A y B representantes de cada lado , así
