POLIEDROS EJERCICIOS RESUELTOS PDF
APRENDIZAJES ESPERADOS
• Conocer la definición de poliedro.
• Tener en cuenta la importancia del teorema de Euler en los poliedros.
• Aplicar lo aprendido en los problemas tipo examen de admisión.
En las distintas construcciones que se realizan día a día en cualquier parte del mundo, desde los tiempos antiguos, el conocimiento de las propiedades geométricas de los cuerpos que conformaran dicha edificación es de vital importancia, ya que éstas permitirán darle la seguridad requerida ante cualquier eventualidad de desastre.
Es así que el estudio de los poliedros (sólidos geométricos) es para nosotros muy importante por que el ámbito de aplicación de éstos es muy amplia en el desarrollo de la ingeniería como en la vida diaria de la personas.
SÓLIDO GEOMÉTRICO
Es aquella porción del espacio separado del espacio inmediato por un conjunto de puntos que conforman la superficie del sólido.
Un sólido de acuerdo a su superficie puede ser, poliedro (pirámide , prisma , etc) o cuerpo redondo (esfera , cilindro etc).
La medida de la superficie de un sólido es el área de la superficie del sólido, y la medida de la porción de espacio correspondientes a un sólido es el volumen del sólido.
POLIEDROS
Es aquel sólido geométrico cuya superficie está formada por cuatro o más regiones poligonales planas a las cuales se les denomina caras del poliedro.
Al lado común a dos caras se le denomina arista y al punto de concurrencia de las aristas , vértice del poliedro.
Es decir son aquellos sólidos limitados por 2 o más planos secantes .
Los poliedros más conocidos son las pirámides y los prismas .
La intersección de cada uno de estos planos con todo los demás que con el cierran o limitan al poliedro determinan un polígono.
Los polígonos que limitan el poliedro se llaman caras .
Las intersecciones de estas se llaman aristas , los puntos en que se cortan las aristas reciben el nombre de vértices .
DIAGONAL DEL POLIEDRO :
Es el segmento cuyos extremos son dos vértices ubicados en caras distintas.
SECCIÓN PLANA :
Es la intersección del sólido con un plano secante a él.
Los poliedros se nombran de acuerdo a su número de caras y pueden ser: tetraedro, pentaedro, hexaedro,..... si tienen cuatro, cinco, seis,......, caras respectivamente.
CLASIFICACIÓN DE LOS POLIEDROS
Los poliedros se clasifican de acuerdo al número de caras, y de acuerdo a la forma de los poliedros.
I) DE ACUERDO AL NÚMERO DE CARAS :
Se clasifican los poliedros en tetraedros, pentaedros, exaedros, ...
II) SEGÚN LA FORMA DE LOS POLIEDROS :
Un poliedro es convexo cuando todas sus secciones plana son convexas, en caso contrario será no convexo.
𝑖) POLIEDRO CONVEXO :
Un poliedro se llama convexo , cuando todas sus caras están limitadas por polígonos convexos .
También se dice poliedro convexo , cuando se traza una recta secante y en el poliedro se determina como máximo dos puntos de intersección , o cuando se prolonga una de las caras , el poliedro queda , ubicado en un solo semiplano .
𝑖𝑖) POLIEDRO NO CONVEXO Ó CÓNCAVO :
Un poliedro se llama no convexo , cuando las caras están limitadas por polígonos no convexos , o al trazar una recta secante , el poliedro determina más de dos puntos de intersección , o al prolongar una de las caras , el poliedro queda ubicado en los dos semiplanos.
𝑖𝑖𝑖) POLIEDRO REGULAR :
Un poliedro regular , es aquel que tiene por caras regiones poligonales regulares congruentes entre sí y en cada vértice concurren igual número de aristas.
Solamente existen cinco poliedros regulares, los cuales son: tetraedro regular, hexaedro regular, octaedro regular, dodecaedro regular y el icosaedro regular.
𝑖v) POLIEDRO IRREGULAR :
Un poliedro irregular , es aquel que no es regular .
TEOREMA DE EULER
I) En todo poliedro se cumple que el número de caras más el número de vértices es igual al número de aristas más dos unidades .
II) En todo poliedro la suma de las medidas de los ángulos internos de todas sus caras es igual a 360° multiplicado por el número de vértices menos 2
III) En todo poliedro cuyas caras tienen igual número de lados, el número de aristas es igual al semiproducto del número de caras y el número de lados de una cara .
IV) En todo poliedro el número de diagonales es igual al valor de la combinación del número de vértices del poliedro tomados de dos en dos , menos el número de aristas y menos la suma de los números de diagonales de todas las caras de dicho poliedro .
POSTULADO DE CAVALIERI
Si imaginamos un sólido cortado en rebanadas del mismo espesor «h» el volumen de cada rebanada será aproximadamente igual (en algunos casos exactamente igual) al producto de la área de su base por el espesor «h» , el error de la aproximación puede hacerse tan pequeño como se quiera tomando «h» suficientemente pequeño es decir que el volumen de dos rebanadas delgadas cortadas a igual distancia del plano fijo tengan aproximadamente el mismo volumen y que los volúmenes totales de dichos sólidos sean iguales.
Podemos dar un ejemplo con un paquete de cartas colocadas sobre una mesa con las cartas parejas ó con las caras desplazadas de diversas manera en todos los casos el volumen del paquete es siempre el mismo e igual a la suma de los volúmenes de las cartas individuales.
PROBLEMAS PROPUESTOS
PREGUNTA 1 :
Calcular el número de vértices de un poliedro convexo, si la suma de las medidas de los ángulos internos de todas las caras es 1140º
A) 5
B) 6
C) 8
D) 7
E) 9
Rpta. : "C"
PREGUNTA 2 :
Dos caras de un ángulo triedro miden 60° y 90°. Calcule el mínimo valor entero de la tercera cara.
A) 30°
B) 32°
C) 29°
D) 31°
E) 28°
Rpta. : "D"
PREGUNTA 3 :
Se tiene un ángulo triedro equilátero. Calcule el máximo valor entero de su cara.
A) 60°
B) 120°
C) 90°
D) 119°
E) 121°
Rpta. : "D"
PREGUNTA 4 :
Si dos caras de un ángulo triedro miden 115° y 125°, calcule el máximo valor entero de la tercera cara.
A) 119°
B) 121°
C) 118°
D) 122°
E) 120°
Rpta. : "A"
PREGUNTA 5 :
Se tiene un triedro trirrectángulo de vértice O y sobre sus aristas se toman los puntos A, B y C, tal que OA=OB=OC= 4. Calcule el área de la región triangular ABC.
A) 4√3
B) 2√6
C) 8√3
D) 4√6
E) 4
Rpta. : "C"
PREGUNTA 6 :
Un poliedro esta formado por 6 regiones triangulares, 8 regiones cuadrangulares y 10 regiones rectangulares. Entonces, el número de vértices del poliedro es:
A) 23
B) 26
C) 28
D) 30
E) 32
Rpta. : "A"
PREGUNTA 7 :
En un poliedro se cumple que el número de caras es igual al número de vértices. Si la razón entre el número de aristas y el número de caras es 12/7, calcule la suma de los números de caras, aristas y vértices .
A) 26
B) 52
C) 24
D) 36
E) 30
Rpta. : "A"
PREGUNTA 8 :
En un poliedro, la relación entre el número de aristas y el número de caras es 5/3. Calcule el número de caras, si el número de vértices es mayor que 6 y menor que 10.
A) 3
B) 9
C) 5
D) 6
E) 8
Rpta. : "B"
PREGUNTA 9 :
Hallar el número de aristas de un poliedro que se encuentra limitado por 3 cuadriláteros convexos y 6 pentágonos convexos.
A) 18
B) 20
C) 25
D) 21
E) 24
Rpta. : "D"
PREGUNTA 10 :
Un poliedro se encuentra limitado por 4 triángulos y 5 hexágonos convexos. Hallar el número de vértices.
A) 16
B) 14
C) 18
D) 12
E) 20
Rpta. : "B"
PREGUNTA 11 :
Encontrar el número de aristas de un poliedro que se encuentra limitado por 5 triángulos, 6 cuadriláteros convexos y 7 pentágonos convexos.
A) 41
B) 38
C) 42
D) 37
E) 35
Rpta. : "D"
PREGUNTA 12 :
Un poliedro se encuentra limitado por un número determinado de triángulos, cuadriláteros y pentágonos, tal que dichos números sean consecutivos, si el número de cuadriláteros es “n”. Hallar el número de vértices del poliedro.
A) 2(n+2)
B) 4(n+2)
C) 3(n+1)
D) n+3
E) 2n+5
Rpta. : "C"
PREGUNTA 13 :
Un poliedro convexo tiene 16 caras de las cuales 6 caras son triángulos y las otras caras son hexágonos convexos, el número de aristas del poliedro es igual al número de aristas de un prisma. ¿Cuántos vértices tiene el prisma?
A) 22
B) 24
C) 26
D) 28
E) 30
Rpta. : "C"
PREGUNTA 14 :
Calcular el número de caras de un poliedro, si la suma de las medidas de los ángulos interiores de todas sus caras es igual a 1440°, además el número de aristas es el doble del número de vértices.
A) 6
B) 8
C) 10
D) 12
E) 15
Rpta. : "C"
PREGUNTA 15 :
Un poliedro se encuentra limitado por 10 pentágonos convexos, 15 cuadriláteros convexos, 20 triángulos. Hallar el número de aristas del poliedro.
A) 120
B) 95
C) 90
D) 170
E) 85
Rpta. : "B"
PREGUNTA 16 :
¿Cuántas aristas tiene un poliedro que se encuentra limitado por 6 cuadriláteros convexos y 8 pentágonos convexos?
A) 28
B) 34
C) 36
D) 40
E) 32
Rpta. : "E"
PREGUNTA 17 :
¿Cuántos vértices tiene un poliedro que se encuentra limitado por 6 cuadriláteros convexos y 8 decágonos convexos?
A) 40
B) 36
C) 38
D) 24
E) 42
Rpta. : "A"
PREGUNTA 18 :
La suma de todos los ángulos diedros de un tetraedro cualquiera, está comprendido entre:
A) 4 rectos y 12 rectos
B) 4 rectos y 24 rectos
C) 6 rectos y 16 rectos
D) 8 rectos y 24 rectos
E) 2 rectos y 6 rectos
Rpta. : "A"
PREGUNTA 19 :
Indique verdadero o falso sobre las siguientes proposiciones :
I) Dos poliedros simétricos respecto de un punto son congruentes .
II) Todos los hexaedros tienen cuatro diagonales.
III) El poliedro conjugado de un icosaedro es un dodecaedro .
IV) Existe un poliedro que tiene 7 aristas .
A) VFVF
B) VFVV
C) VFFF
D) FVFV
E) FFVV
Rpta. : "A"
PREGUNTA 20 :
En un prisma cuyo número de aristas básicas es m, calcule la suma de medidas de los ángulos diedros determinados por las caras laterales contiguas .
A) 90°(m – 4)
B) 180°(m – 2)
C) 90°(m – 1)
D) 180°m
E) 90°(m – 3)
Rpta. : "B"
