PLANO CARTESIANO Y HOMOTECIA EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMATICA 3 SECUNDARIA – MEDIA PDF

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EN ESTA UNIDAD APRENDERÁS A: 1 Deducir la distancia entre dos puntos en el plano cartesiano y aplicarla al cálculo de magnitudes lineales en fi guras planas. 2 Describir la homotecia de fi guras planas mediante el producto de un vector y un escalar. 3 Usar un procesador geométrico para visualizar las relaciones que se producen al desplazar fi guras homotéticas en el plano. 

Antiguamente, los matemáticos se habían dedicado a estudiar y dar respuestas a variados temas matemáticos y a establecer relaciones entre los elementos de dos grandes áreas: los números y las figuras. La aritmética y la geometría habían ido desarrollándose por caminos paralelos, y era impensable poder reunir ambas disciplinas tan distintas en un mismo estudio. 

Aunque ya en el año 350 a. C. un matemático llamado Menecmo había convertido el problema geométrico de construir un cubo con el doble de volumen de otro dado en una ecuación, fue hasta el siglo XVII cuando René Descartes formalizaría uno de los más brillantes aportes a la matemática y su desarrollo. Así lo expresó en su libro llamado “La Geometría” que consta de tres tomos. En el primero de ellos, Descartes dirá: “Y yo no temeré introducir estos términos de aritmética en la geometría, a fin de hacerme más inteligible”. Fue así como Descartes imaginó y formalizó el estudio de la geometría a través del álgebra. Si bien es cierto que Descartes solo trabajó con los ejes positivos, él dio las bases para que luego matemáticos como Fermat, Newton y Leibniz, entre otros, pudieran utilizarlas para desarrollar lo que hoy conocemos como geometría analítica, herramienta que sustentaría disciplinas como el cálculo, la geometría infinitesimal y otras que actualmente se estudian. Otro aporte de los tiempos de Descartes lo hizo Fermat, quien estableció la verdadera relación entre una curva y una ecuación, tema fundamental de la geometría analítica. Sin embargo, la geometría analítica, tal como la conocemos hoy en día, fue desarrollada por el matemático Leonhard Paul Euler. Pero la geometría analítica no solo ha permitido el desarrollo de ramas más algebraicas o analíticas, también ha permitido el estudio de temas como las transformaciones isométricas, tema que ya has estudiado en años anteriores. El mirar aquellas transformaciones en el plano como resultantes de operaciones angulares y vectoriales hace que su estudio sea más sencillo y mucho más rico en aplicaciones, que si solo se estudiara bajo un punto de vista geométrico euclidiano. En esta unidad te mostraremos otras aplicaciones de la geometría analítica al estudio de variación de figuras geométricas llamado homotecia. Sin duda, algo ya sabes de ella; si piensas en figuras dibujadas en perspectiva encontrarás allí figuras homotéticas. Además, aplicaremos los principios básicos de la geometría analítica para el cálculo de distancias y temas relacionados con áreas y perímetros y la demostración de algunos teoremas de la geometría. Te invitamos a estudiar y a aprender… Plano cartesiano y sus elementos… volvamos a mirarlo Al colegio de Paulina iba a llegar un nuevo alumno, ¿o sería tal vez alumna?... Paulina no lo sabía, iría a conversar con su profesora jefe, pensó. Si era algo que debería saber, su profesora le diría lo que pasaba… –Dime Paulina, ¿qué me querías preguntar? –¿Es cierto que tendremos un alumno nuevo a esta altura del año? –Sí, será tu compañero y lo conocerás en 10 minutos más, después del recreo –le respondió la profesora. Paulina se fue más tranquila, era tan simple como preguntar, se dijo, mientras sonaba el timbre para entrar a clases. Ernesto impresionó a Paulina, la verdad es que ella no pensaba que aquel chico en silla de ruedas que había visto en el hall de entrada sería su nuevo compañero. Nunca habían tenido un compañero con una situación así... ¿Pero qué tan distinto sería?, –se dijo Paulina–. Él es una persona como todos nosotros y aunque parece muy callado, todo estará bien... –Hola, Ernesto, me llamo Paulina –le dijo. –Hola –respondió y calló por el resto de las clases. Paulina no tenía muy claro cómo acercarse a él. Averiguó que un accidente lo había dejado parapléjico, que había estado casi dos años sin ir al colegio mientras se recuperaba y que ahora volvería a terminar sus estudios. La primera clase de matemática a la que asistía Ernesto fue la excusa perfecta, su profesor había dicho antes de irse que debían hacer un resumen de todo lo que habían aprendido en I y II medio sobre el plano cartesiano... ¡Tarea para la próxima clase! –¿Quieres que hagamos juntos esta tarea? –dijo Paulina. –¿En serio? –respondió Ernesto–. No me acuerdo de nada de esto, nunca he sido muy bueno en matemática y después de dos años... –Será genial trabajar juntos, son cosas muy fáciles que hay que recordar, escucha y anota: Definiremos un plano cartesiano como un plano que contiene un sistema de referencia que está formado por dos rectas numéricas perpendiculares. Ellas se intersectan en un punto llamado origen, denotado por la forma O. Los números positivos de ambas rectas van hacia la derecha y hacia arriba, y los negativos a la izquierda y hacia abajo. Como en la siguiente figura.