NUMEROS DECIMALES Y VOLUMENES DE PRISMAS Y CILINDROS EJERCICIOS DE MATEMATICA 8–OCTAVO AÑO PDF


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    CONCEPTOS , ACTIVIDADES Y PROBLEMAS DE Números decimales y fracciones decimales , Lectura de números decimales , Representación sobre la recta , Orden de los números decimales , Operaciones con números decimales , Adición y sustracción , Multiplicación , División , Operaciones combinadas , Potenciación de números decimales , Radicación de números decimales , Aproximación por redondeo , Sucesiones con operaciones combinadas , Porcentajes , Volúmenes de poliedros y cuerpos de revolución , Volúmenes de poliedros , Volúmenes de cuerpos de revolución , Estimación de volúmenes Objetivos del módulo • Operar con números decimales a través de la simplificación de expresiones para resolver problemas matemáticos. • Identificar cuerpos geométricos y hallar el volumen de prismas y cilindros mediante la deducción y aplicación de fórmulas para plantear comprender y analizar el mundo físico que nos rodea. • Generar sucesiones con operaciones combinadas mediante la aplicación de fórmulas para desarrollar procesos de razonamiento lógico. Destrezas con criterios de desempeño • Leer y escribir números decimales positivos. • Ordenar y comparar números decimales positivos. • Simplificar expresiones de números decimales positivos con aplicación de reglas de potenciación y radicación. • Operar con números decimales valorando la necesidad de resultados exactos o aproximados. • Deducir o aplicar las fórmulas para el cálculo del volumen de prismas y cilindros. • Resolver situaciones cotidianas mediante el cálculo de porcentajes. • Generar sucesiones con operaciones combinadas. Para la activación de conocimientos previos • • Para comprender mejor cómo se obtiene la fórmula del volumen de un prisma, puede proponerse la construcción de uno similar al que aparece en el libro del alumno (pág. 197) con cubos de 1 cm de arista. • Sería conveniente mostrar la necesidad práctica de calcular volúmenes de forma aproximada, basándose en situaciones reales (cálculo de la capacidad de un pantano, de un tanque de agua, etc.), e insistir que en la vida real es más probable que tengan que estimar volúmenes en lugar de calcularlos exactamente (por falta de datos, por irregularidad del cuerpo, por falta de precisión en los procedimientos de medida, etc.). • Finalmente, puede ser interesante conocer y practicar el principio de Cavalieri para generalizar las áreas de prismas y pirámides, y utilizar recursos interactivos para mostrar a los alumnos su veracidad, como estos: El principio de Cavalieri se refiere a una ley geométrica que enuncia la diferencia de volumen en dos cuerpos. 6 Para la construcción del conocimiento • No olvide establecer la diferencia entre volumen y capacidad, pues en muchas ocasiones los conceptos se confunden y se usan como sinónimos. Se debe considerar los objetos que son susceptibles de ser medidos respecto al volumen, entendido como el lugar que ocupa un cuerpo en el espacio, entonces cualquier objeto tiene volumen, no importa si es tan delgado como una hoja de papel. La capacidad, en cambio, no es una cualidad de ser medida para todos los objetos, solo para aquellos a los que llamamos recipientes, es decir, en los cuales podemos introducir otros objetos o sustancias. Como ejemplos podemos nombrar a una pelota de tenis, un cubo de Rubik, un adobe, estos tienen volumen pero no capacidad. Un vaso, una taza, una botella, una jarra son recipientes y también objetos: tienen capacidad y volumen. • Constate la necesidad de transformar unas unidades en otras, para operar o comparar volúmenes. La unidad convencional de volumen es el metro cúbico (m3). Un metro cúbico es el volumen de un cubo que tiene 1 metro de arista. Al igual que para el resto de las unidades estudiadas, existen múltiplos y submúltiplos del m3. Para la aplicación del conocimiento • Solicite a los estudiantes que lleven recipientes con forma de prismas y pirámides. También una jarra con graduación. Indique que midan los objetos y hallen el volumen correspondiente. Luego deben llenarlos con agua, la cual será medida en la jarra. Al final, confronten los resultados obtenidos, ¿concuerdan o no? ¿Por qué? y Para la evaluación • Verifique si sus alumnos resuelven las actividades planteadas en la autoevaluación y coevaluación. • Pedirles que construyan prismas y pirámides de diferentes tamaños, marcando en ellos los elementos constitutivos y los valores de sus lados, áreas y volúmenes. Realicen una exposición de los trabajos. • Resolver problemas aplicando el cálculo de volúmenes de prismas y pirámides. Para esto, plantee situaciones de la vida cotidiana; por ejemplo: ¿Cuál es el volumen de la pirámide de Keops?, ¿cuál el volumen de la pirámide construida en las afueras de la torre Eiffel?. • Plantee situaciones hipotéticas para la resolución de problemas: ¿cuál será el volumen de un edificio con forma de prisma? Las medidas variarán según lo que usted crea conveniente. El principio de Cavalieri se refiere a una ley geométrica que enuncia la diferencia de volumen en dos cuerpos. Si dos cuerpos tienen la misma altura y además tienen igual área en sus secciones planas realizadas a una misma altura, poseen entonces igual volumen. Para la aplicación del conocimiento • Solicite a los estudiantes que lleven recipientes con forma de prismas y pirámides. También una jarra con graduación. Indique que midan los objetos y hallen el volumen correspondiente. Luego deben llenarlos con agua, la cual será medida en la jarra. Al final, confronten los resultados obtenidos, ¿concuerdan o no? ¿Por qué? y Para la evaluación • Verifique si sus alumnos resuelven las actividades planteadas en la autoevaluación y coevaluación. • Pedirles que construyan prismas y pirámides de diferentes tamaños, marcando en ellos los elementos constitutivos y los valores de sus lados, áreas y volúmenes. Realicen una exposición de los trabajos. • Resolver problemas aplicando el cálculo de volúmenes de prismas y pirámides. Para esto, plantee situaciones de la vida cotidiana; por ejemplo: ¿Cuál es el volumen de la pirámide de Keops?, ¿cuál el volumen de la pirámide construida en las afueras de la torre Eiffel?. • Plantee situaciones hipotéticas para la resolución de problemas: ¿cuál será el volumen de un edificio con forma de prisma? Las medidas variarán según lo que usted crea conveniente. Para la activación de conocimientos previos • Pregunte a sus estudiantes sobre los siguientes aspectos: ¿Qué es el impuesto al valor agregado? ¿Qué valor o porcentaje tiene el IVA en el Ecuador? ¿Cómo se determina adecuadamente el incremento (o decremento) de precios del consumidor? ¿En qué es beneficioso que los almacenes hagan rebajas y remates de sus productos y/o mercaderías? • El docente debe preparar la información adecuada para el tratamiento en el aula, tenga claro que el IVA es del 12% en el Ecuador; que el incremento de costos se lo hace en porcentajes, con referencia mensual y anual, la información al respecto la lleva el Banco Central y que las rebajas o descuentos en general se realizan en porcentajes. Un descuento o rebaja puede estar ocultando una subida previa de precios, un remate en algunas veces trata de evacuar productos que no tienen salida. Para la construcción del conocimiento • Explique, a sus alumnos/as, el procedimiento para hallar el porcentaje o tanto por ciento de una cantidad: multiplicar el número por el porcentaje (por ejemplo, 87 × 68 = 5 916); dividir el resultado por 100. (Se desplaza la coma decimal dos lugares hacia la izquierda; por ejemplo, 5 916 ÷100 = 59,16); Redondear la precisión deseada (por ejemplo, 59,16 redondeado al número entero más próximo, es decir, 59). • Pídales que observen en los ejemplos desarrollados los procedimientos para calcular la disminución o el aumento de una cantidad en un porcentaje dado. Algunos ejercicios propuestos: Si hoy han faltado a clase, por enfermedad, el 20% de los 40 alumnos/as, ¿cuántos han asistido? ¿Cuántos estudiantes han faltado? De 500 mujeres encuestadas, 360 afirman que les gusta el fútbol y el 15% lo practica. ¿Cuál es el porcentaje de aficionadas y cuántas juegan este deporte? Para la aplicación del conocimiento • Dialogue con los estudiantes sobre la importancia de guardar las facturas de las compras que se realizan durante todo el año. Las mismas que si están correctamente llenadas y son de productos que se consideren gastos personales servirán a los padres para los cálculos de los impuestos. • Sugiérales que ingresen a la página www.sri.gob.ec que pertenece al Servicio de Rentas Internas y que consigan la información necesaria sobre los diferentes impuestos que se debe pagar, así como las fechas máximas de cancelación. Al final, elaborarán un cuadro informativo. • Deles las instrucciones necesarias para que durante un mes hagan los cálculos necesarios sobre los valores de impuestos de uno de sus padres, con el valor mensual y realicen una proyección para el pago del impuesto anual. Para la evaluación • Divida a los estudiantes en grupos de tres o cuatro. El primero preparará carteles con precios, ofertas y porcentajes de descuentos de una feria. El segundo hará el papel de clientes que compararán precios, garantías, revisarán las facturas, serán muy exigentes con lo que necesitan. El tercero actuará de vendedores, ofreciendo los productos y el cuarto grupo representará a los empleados del SRI que controlan que todo se cumpla con normalidad. Observe la representación y determine si algún alumno tiene dificultad en la comprensión del trabajo, de ser ese caso apoyar al trabajo. Indicadores esenciales de evaluación Puede continuar % de alumnos/as Necesita refuerzo • Utiliza de forma adecuada los números decimales para recibir y producir información en actividades relacionadas con la vida cotidiana. • Conoce y utiliza la equivalencia entre números decimales y fracciones decimales. • Efectúa correctamente sumas, restas, multiplicaciones y divisiones con números decimales. • Efectúa mentalmente multiplicaciones y divisiones por la unidad seguida de ceros. • Efectúa correctamente operaciones combinadas con números decimales, aplicando correctamente las reglas de prioridad y haciendo un uso adecuado de signos y paréntesis. • Redondea números decimales hasta una determinada cifra decimal. • Calcula el volumen de prismas y cilindros con varios métodos. • Valora positivamente la necesidad de expresar numéricamente situaciones de la vida cotidiana con números decimales. • Adquiere el hábito de analizar con espíritu crítico informaciones que incluyan porcentajes. Prerrequisitos Números decimales Volúmenes de prismas y cilindros Recuerda • Toda fracción consta de numerador y denominador. • Conversión de unidades de longitud • Conversión de unidades de superficie • Conversión de unidades de volúmen Estas relaciones nos permiten transformar unas unidades de volumen en otras usando factores de conversión. Evaluación diagnóstica • Indica el orden de unidades de la cifra 4 en cada uno de los siguientes números: 4 321, 32 043, 124, 4 001 321, 240 218. • Expresa el número 8650 como: a) Suma de cuatro números diferentes, múltiplos de 10. b) Suma de tres números diferentes, uno de ellos múltiplo de 3 y otro de 3 y de 7. • Efectúa: a) 1 + 12 ÷ 4 − 3 b) 2 + [95 − (10 + 2) × 3] c) (1 + 2 × 5 − 4) ÷ 7 + 15 ÷ 3 d) 3 × [2 − (3 − 2) − 20 ÷ 10 + 30] • De cada 100 baldosas que produce una fábrica, 8 son de color rojo. Si en una hora se fabrican 400 baldosas, ¿cuántas son rojas? • Si los de una cantidad son 1 750, determina dicha cantidad. 7 11 a b El denominador indica el número de partes iguales en que se ha dividido la unidad. El numerador expresa las partes que hemos tomado. Con tus conocimientos sobre los números decimales podrás expresar cantidades y operar con ellas, así como también volúmenes de cuerpos geométricos. ✑ DDCCDD × 10 ÷ 10 × 10 ÷ 10 × 10 ÷ 10 × 10 ÷ 10 × 10 ÷ 10 × 10 ÷ 10 km hm dam m dm cm mm m2 × 100 ÷ 100 × 100 ÷ 100 × 100 ÷ 100 × 100 ÷ 100 × 100 ÷ 100 × 100 ÷ 100 km2 hm2 dam2 dm2 cm2 mm2 × 1 000 ÷ 1000 × 1 000 ÷ 1000 × 1 000 ÷ 1000 × 1 000 ÷ 1000 × 1 000 ÷ 1000 × 1 000 ÷ 1 000 km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 1 Números decimales y fracciones decimales Un químico pesa 123,896 g de una sustancia para llevar a cabo una reacción. Observa que este número consta de una coma con números a su derecha y a su izquierda. Se trata de un número decimal. Los números decimales constan de dos partes separadas por una coma, la coma decimal. 123 , 896 Parte entera Parte decimal Coma decimal Si dividimos la unidad en 100 partes iguales, cada una de ellas es una centésima. Cada una de las 1 000 partes iguales en que dividimos la unidad es una milésima. 10 décimas = 1 unidad 10 centésimas = 1 décima 100 centésimas = 1 unidad 10 milésimas = 1 centésima 100 milésimas = 1 décima 1 000 milésimas = 1 unidad Si dividimos la unidad en 10 partes iguales, cada una de ellas recibe el nombre de décima. El número decimal 123,896 también puede expresarse mediante la fracción decimal . Una fracción decimal tiene como denominador una potencia de 10, es decir, 10, 102, 103... Las más sencillas tienen un 1 como numerador. Observa: 1 décima = 0,1 = 1 centésima = 0,01 = 1 milésima = 0,001 = 1 1 000 1 100 1 10 123 896 1 000 Para hallar el número decimal correspondiente a una fracción decimal, se escribe el numerador y se separan tantas cifras decimales como ceros tiene el denominador. 3 ceros 3 cifras 2 ceros 2 cifras decimales decimales 23 0, 23 100 = 123 896 1 000 = 123, 896 Para hallar la fracción decimal correspondiente a un número decimal se escribe, como numerador, el número sin coma y, como denominador, la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tiene el número decimal. 1 cifra 1 cero 3 cifras 3 ceros decimal decimales 0, 067 67 1 000 1 014, 5 = 10 145 = 10 Di cuántas unidades hay en 100 décimas, cuántas milésimas hay en 30 décimas y cuántas centésimas hay en 500 milésimas. Escribe el número decimal correspondiente. Escribe en forma de fracción decimal y en forma de número decimal: 5 décimas; 47 centésimas; 21 milésimas; 64 décimas. Di cuáles de las fracciones siguientes son reducibles a fracciones decimales. 4 3 2 2 7 ; 3 4 ; 9 15 ; 13 25 ; 9 200 5 10 ; 4 100 ; 324 100 ; 256 1 000 ; 52 10 ; 27 1 000 1 Actividades § Para que una fracción sea equivalente a una fracción decimal, los factores primos de su denominador, una vez simplificada, sólo pueden ser 2 o 5, que son los factores de 10. Ú FÍJATE Para leer correctamente un número decimal, el procedimiento que seguiremos es el siguiente: — Primero, nombramos las unidades enteras. — A continuación, leemos la parte que va detrás de la coma, dándole el nombre de la última unidad decimal que aparece. Así 123,896 se lee 123 unidades 896 milésimas. De la misma manera, 3,5 se lee 3 unidades 5 décimas y 87,02 se lee 87 unidades 2 centésimas. 1.2. Representación sobre la recta Observa el procedimiento que utilizamos para representar sobre una recta el número 42,724. 1.1. Lectura de números decimales Observa los órdenes de las unidades del número 123,896. Número c d 123,896 1 2 Parte entera 3 u , , 8 décima Parte decimal 9 centésima 6 milésima — Localizamos sobre la recta los dos números enteros entre los que se encuentra el número decimal que queremos representar. — Dividimos el segmento determinado por estos números en 10 partes iguales para representar las décimas. — Dividimos cada décima en 10 partes iguales para representar las centésimas; cada centésima en 10 partes iguales para representar las milésimas; y así sucesivamente. 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 42 43 42,7 42,8 42,72 42,724 42,73 Lee los siguientes números decimales e indica en cada caso el orden de unidades de la cifra 6: 6,04; 0,06; 0,61; 0,006; 6 025,2; 264,27; 21,16. Escribe estos números decimales: 25 centésimas; 4 unidades 124 milésimas; 78 unidades 2 décimas; 1025 unidades 25 milésimas. Representa aproximadamente sobre una recta los siguientes números decimales: 75 centésimas; 1 unidad 4 décimas; 2 unidades 5 décimas; 3 unidades 2 décimas. Representa sobre una recta: 100,7; 100,1; 100,15; 100,9. 8 7 6 5 Actividades § Para expresar un número fraccionario como decimal, sólo hay que dividir el numerador entre el denominador. Por ejemplo: 1 4 = 0, 25 Ú FÍJATE 1 diezmilésima = 0,0001 1 cienmilésima = 0,00001 1 millonésima = 0,000001 Órdenes de unidades inferiores a la milésima 70Distribución 1.3. Orden de los números decimales Al igual que en anteriores unidades hemos ordenado números naturales, números enteros y números fraccionarios, también podemos comparar y ordenar los números decimales. El procedimiento general para comparar números decimales es el siguiente: — En primer lugar, nos fijamos en su parte entera. — Si tienen las partes enteras iguales, nos fijamos en la cifra de las décimas. — Si tienen la cifra de las décimas iguales, nos fijamos en la cifra de las centésimas. — Si tienen la cifra de las centésimas iguales, nos fijamos en la cifra de las milésimas y así sucesivamente. 15,82 y 14,25 → 15 > 14 por tanto 15,82 > 14,25 15,76 y 15,82 → 8 > 7 por tanto 15,82 > 15,76 15,80 y 15,82 → 2 > 0 por tanto 15,82 > 15,80 1,254 y 1,255 → 5 > 4 por tanto 1,255 > 1,254 Procedimiento Ejemplos 14 15 16 15,1 15,2 15,3 15,4 15,5 15,6 15,7 15,8 15,9 15,76 14,25 15,82 De la misma manera que con los números naturales y los enteros, cuanto mayor es el número, más a la derecha está representado sobre la recta. Si comparamos, por ejemplo, los números 15,8; 14,25; 15,76 y 15,82, podemos establecer su ordenación: 15,82 > 15,8 > 15,76 > 14,25 También podemos ordenar los números decimales a partir de su representación sobre la recta. Completa con uno de estos signos: <, >, =. a) 1,48 ........ b) 2,1 ........ 2,01 c) 0,8 ........ 0,80 Ordena de menor a mayor: 2,1; 2,01; 12,1; ; 2,12; 2,11 Representa sobre la recta los siguientes números: 1,5; 1,55; 1,6; 1,42; 1,63. Escribe los siguientes números decimales y ordénalos de mayor a menor: 3 décimas, 30 milésimas, 3 milésimas, 33 milésimas y 303 milési mas. Las alturas alcanzadas por tres saltadores en una competición son: 2,35 m; 2,38 m y 2,32 m. Indica cuál es la mejor marca y cuál es la peor. 13 12 11 10 21 2 3 2 9 Actividades § Si un número decimal es menor que 1, su parte entera es 0. Ú FÍJATE Los ceros que aparecen al final de la parte decimal de un número decimal pueden suprimirse. 3,4 = 3,40 = = 3,400 = … Ya que: 4 décimas = = 40 centésimas = = 400 milésimas = … Ceros a la derecha de un número decimal Las TIC y la Matemática 2 Operaciones con números decimales Veamos algunas operaciones que podemos efectuar con los números decimales: la suma, la resta, la multiplicación y la división. 2.1. Adición y sustracción Para sumar o restar dos números decimales, hemos de tener en cuenta que sólo podremos sumar, o restar, las décimas con las décimas, las centésimas con las centésimas… El procedimiento que seguiremos es el siguiente: — Se colocan los números en columna de modo que coincidan las unidades del mismo orden. Si es necesario, se añaden ceros a la derecha para que todos tengan el mismo número de cifras decimales. — Se efectúa la operación como si se tratase de números enteros. — Se coloca la coma en el lugar correspondiente. Procedimiento 42,09 + 68,634 + 17,2 = 432,768 − 274,959 = 759,6 − 326,732 = Ejemplos 42,090 + 68,634 17,200 –––––––– 127,924 432,768 − 274,959 ––––––––– 157,809 759,600 − 326,732 ––––––––– 432,868 Coloca en columna y efectúa: a) 46,02 + 321,8 d) 38,456 + 21,4 b) 1,234 + 0,708 e) 0,0456 + 0,341 c) 6,01 − 3,201 f) 12,076 − 9,205 Resuelve: a) 289,99 + 0,0345 + 56,72 b) 0,0456 + 0,3419 + 0,9899 Calcula el término que falta. a) 120,5 + .......... = 1955 b) .......... − 19,54 = 21,01 — Comprueba el resultado con la calculadora. Completa el cuadrado mágico para que la suma de cada fila, de cada columna y de cada diagonal sea 0,12. Completa: La suma de dos precios de artefactos eléctricos es de $ 87,96. Si uno de los artefactos cuesta $ 45,6, ¿cuánto vale el otro? Enrique mide 1,61 m de estatura, María 0,03 m más que Enrique y Silvia 0,06 m más que María. ¿Cuánto mide Silvia? Encuentra el número decimal que al restarle 2,15 nos dé 6,004. 21 20 19 18 17 16 15 14 Actividades § 0,048 0,016 0,072 0,064 ........... +3,72 16,22 ........... 14,04 −2,4 ........ ........ Con la calculadora puedes efectuar también operaciones con números decimales. En la mayoría de las calculadoras, la tecla para introducir la coma viene representada por un punto. Así, para introducir el número decimal 24,6 teclearemos: 2 4 6 72Distribución Interésate por conocer las características de tu calculadora en lo que se refiere a los números decimales. 2.2. Multiplicación El cambio entre el euro y el dólar varía diariamente. Hace unos días el periódico publicaba que el cambio de un euro era 1,284 dólares. Si tenemos ahorrados 162,5 euros y queremos saber a cuántos dólares equivalen, debemos multiplicar los 162,5 euros por 1,284. El procedimiento general que debemos seguir para multiplicar dos números decimales es el siguiente: Así, pues, los 162,5 euros ahorrados equivalen a 208,65 dólares. Multiplicación por la unidad seguida de ceros Si multiplicamos 12,56 por 10, por 100 y por 1 000, obtendremos, respectivamente, 125,6; 1 256 y 12 560. Los mismos resultados pueden obtenerse sin efectuar las multiplicaciones. Observa el siguiente procedimiento: — Se efectúa la multiplicación como si se tratara de dos números enteros. — Se separan tantas cifras decimales como tengan entre los dos factores. Procedimiento Ejemplo 1 6 2,5 × 1,2 8 4 –––––––– 6 5 0 0 1 3 0 0 0 3 2 5 0 1 6 2 5 –––––––––– 2 0 8,6 5 0 0 — Se desplaza la coma hacia la derecha tantos lugares como ceros acompañan a la unidad. — Si es necesario, se añaden ceros. 8,15 × 10 = 81,5 Desplazamos la coma un lugar. 8,15 × 1 000 = 8 150 Desplazamos la coma tres lugares. Procedimiento Ejemplos Actividades § Efectúa: a) 3,761 × 6,4 c) 248,87 × 0,025 b) 56,567 ×0,023 d) 237,45 × 67,129 Efectúa mentalmente: a) 0,035 × 1000 c) 0,981 × 10 b) 987,34 ×100 d) 0,004 × 100 23 22 Consulta el cambio entre el euro y el dólar. Luego responde. ¿A cuántos dólares equivalen 105,72 euros? ¿Y 92,3 euros? Calcula mentalmente: a) 0,3 × 0,2 c) 0,6 × 0,5 b) 0,3 × 0,31 d) 0,8 × 25 24 1 2 Para multiplicar dos números decimales podemos multiplicar las fracciones decimales correspondientes. 162,5 × 1,284 = = = 2 086 500 10 000 208,6500 = × = 1 625 10 1 284 1 000 Ú FÍJATE Un consejo Las TIC y la Matemática 2.3. División Para efectuar divisiones con números decimales debemos conocer previamente la aproximación decimal del cociente de una división entera. Aproximación decimal del cociente de una división entera Podemos aproximar una división hasta la cifra decimal que queramos, prosiguiendo la división hasta que el cociente tenga el número de cifras decimales deseado. Veamos el procedimiento para efectuar una división con aproximación del cociente, por ejemplo, hasta las décimas. — Se efectúa la división entre los números enteros. — Se pasa el resto a décimas. — Se coloca la coma en el cociente para indicar que a continuación van las décimas y se prosigue la división. — El resto obtenido son décimas. El cociente es 4 y el resto 28 unidades. 28 × 10 = 280 El resto, 20, son décimas. Procedimiento Ejemplo 236 52 28 4 236 52 280 4,5 20 Al aproximar el cociente de una división entera se sigue cumpliendo: Dividendo = Divisor × Cociente + Resto Resto < Divisor Para expresar el resto en unidades debemos tener en cuenta que el resto viene expresado en el orden de unidades de la última cifra del cociente. Así, en el ejemplo que hemos propuesto, 20 décimas son 2 unidades, y se cumple que: 236 = 52 × 4,5 + 2 Efectúa las siguientes divisiones aproximando el cociente hasta las centésimas. 6 414 ÷ 315 ; 14 896 ÷ 753 ; 6 137 ÷ 27 ; 12 ÷ 7 ; 2 105 ÷ 34 ; 18 500 ÷ 320 Calcula el gasto medio diario de un viajero si durante los cinco días laborables de una semana ha gastado 309 dólares. Aproxima el resultado hasta las décimas. Una cuerda de 11 m de largo se divide en 7 trozos iguales. ¿Cuál será la longitud de cada trozo? Aproxima el resultado hasta las décimas. — Determina el resultado de la misma operación pero aproximando hasta las centésimas. 29 Divide 7 410 entre 562, aproximando el cociente hasta las décimas, y determina el resto. 28 27 26 Actividades § 74Distribución División de un número decimal para un número natural Los pasos que debemos seguir para dividir un número decimal para un número natural dependerán de que la parte entera del dividendo sea mayor o menor que el divisor. • Parte entera del dividendo mayor que el divisor • Parte entera del dividendo menor que el divisor — Se efectúa la división de la parte entera. — Se baja la cifra correspondiente a las décimas y se coloca una coma en el cociente. — Se prosigue la división hasta obtener el número de cifras decimales deseado. Procedimiento Ejemplo 8 5 7,2 3 7 1 1 7, 23 0 6 8 5 7,2 3 7 1 1 7, 23,1 0 6 2 2 5 — Se coloca un cero en el cociente seguido de una coma y se desplaza la coma del dividendo un lugar hacia la derecha. — Una vez que la parte entera del dividendo es mayor que el divisor, se efectúa la división. Procedimiento Ejemplo 7 8 9 7,6, 8 9 3 2 , 0, 7 8 9 7 6 8 9 3 2 7 5 2 0 0 0,8 8 3 7 4 4 Si después de colocar en el cociente un cero seguido de una coma y desplazar un lugar hacia la derecha la coma del di videndo, éste sigue siendo menor que el divisor, debemos seguir desplazando la coma hacia la derecha hasta que el dividendo sea mayor que el divisor, añadiendo cada vez un cero en el cociente. 1,678 2 5 16,78 2 5 167,8 2 5 167,8 25 0, 0,0 178 0,067 3 1 < 25 16 < 25 167 > 25 Efectúa estas divisiones: 149,1 ÷ 87 ; 16,589 ÷ 234; 0,043 ÷ 29 ; 21,46 ÷ 354 Tres amigos han puesto dinero a partes iguales para cambiarlo por dólares. Si les dan 93,16 dólares, ¿cuántos dólares le corresponden a cada uno? 32 Completa la siguiente tabla. 31 30 Actividades § 753 45,2 0,0988 99 Dividendo Divisor Cociente 48 0,08 0,27 0 Resto División de dos números decimales Para efectuar una división de dos números decimales es preciso transformar previamente el divisor en un número entero. Fijémonos en cómo hacerlo. División por la unidad seguida de ceros Al dividir 27,13 entre 10, entre 100 y entre 1 000, obtenemos, respectivamente, 2,713, 0,2713 y 0,02713. Pero también podemos obtener estos resultados sin efectuar la división. El procedimiento que debemos seguir es el siguiente: — Se multiplican el dividendo y el divisor por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tiene el divisor. — A continuación, se efectúa la división. 178,43 ÷ 62,5 El divisor tiene una cifra decimal. Multiplicamos el dividendo y el divisor por 10. 178,43 × 10 = 1784,3 62,5 × 10 = 625 La división inicial se ha transformado en: 1784,3 ÷ 625 Procedimiento Ejemplo — Se desplaza la coma hacia la izquierda tantos lugares como ceros acompañan a la unidad. — Si es nece sario, se añaden ceros. 27,13 ÷ 10 = 2,713 Para dividir por 10 desplazamos la coma un lugar. 27,13 ÷ 1000 = 0,02713 Para dividir por 1 000 desplazamos la coma tres lugares. Procedimiento Ejemplos Efectúa las siguientes divisiones. a) 175,63 ÷ 6,2 c) 0,876 ÷ 7,54 b) 0,089 ÷ 0,25 d) 6 423,5 ÷ 13,3 Calcula aproximando hasta las milésimas: a) 245,8 ÷ 6,3 c) 34,86 ÷ 0,23 b) 6,345 ÷ 2,56 d) 0,814 ÷ 1,6 Efectúa mentalmente: a) 245,8 ÷ 10 c) 6 345 ÷ 1 000 b) 34,86 ÷ 10 000 d) 0,814 × Halla el factor que falta. a) 4,2 × ............ = 13,79994 b) 30,56 × ............ = 81,22848 36 35 34 1 100 33 Actividades § Para dividir dos números decimales podemos dividir las fracciones decimales correspondientes. 178,43 ÷ 62,5 = = = 178 430 62 500 17 843 6 250 = : = 17 843 100 625 10 Ú FÍJATE CÁLCULO MENTAL • Dividir entre 0,1, entre 0,01 y entre 0,001 equivale a multiplicar por 10, por 100 y por 1 000, respectivamente. • Multiplicar por 0,1, por 0,01 y por 0,001 equivale a dividir entre 10, entre 100 y entre 1 000, respectivamente. • Utiliza esta estrategia para efectuar las siguientes operaciones: a) 23,4 ÷ 0,1 b) 145,78 ÷ 0,01 c) 857 × 0,001 • Completa: a) 13,5 ÷ ........ = 1 350 b) ............. × 0,001 = 155,5 § ÷ Las TIC y la Matemática 76Distribución 2.4. Operaciones combinadas Al operar con números decimales, nos encontramos que muchas veces debemos combinar más de una operación. En estos casos procederemos de la manera siguiente: Observa cómo efectuamos con la calculadora operaciones con números decimales. 23,56 + 13,5 = Al realizar operaciones combinadas, debemos tener en cuenta la prioridad de las operaciones. Observa: 2,56 − 1,07 × 0,6 = 0,2 + 0,9 × (2,7 − 1,3) = Al efectuar una división entera con la calculadora, ésta nos da el valor del cociente de la división. Si queremos conocer el resto de dicha división, podemos proceder de la siguiente manera: 830 ÷ 23 = 36,08695652 → 0,08695652 × 23 = 1,99999996 Luego el cociente de la división es 36 y el resto es 2. 0 2 0 9 ( 2 , 7 1 , 3 ) = 2 5 6 1 0 7 0 6 = 2 3 5 6 1 3 5 — Primero, efectuamos las operaciones indicadas en los paréntesis, si los hay. — A continuación, realizamos las multiplicaciones y las divisiones en el orden en que aparecen. — Por último, las sumas o las restas, también en el orden en que aparecen. Si hay paréntesis y corchetes, deben efectuarse primero las operaciones que se encuentran en el interior de los paréntesis. • 2,34 + 5,4 × 3,2 = 2,34 + 17,28 = 19,62 • 1,1 × [ 2,5 − 2 × (1,1 − 0,4) + 0,32] = = 1,1 × (2,5 − 2 × 0,7 + 0,32) = = 1,1 × (2,5 − 1,4 + 0,32) = 1,1 × 1,42 = 1,562 Procedimiento Ejemplos Efectúa: a) 106,78 − 4,7 × 21,4 − 5,4 b) [(2,3 − 0,5) × (3,71 − 2,7)] ÷ 2,5 + c) (3,12 − 0,13) ÷ 2,3 + 4 × (3 + 2,1 × 3,2) Efectúa con la calculadora: a) 3 × [2,1 − (3,5 − 2,7)] + 2 ÷ 0,5 b) [(5,3 − 0,4) × (5,71 − 3,4)] ÷ 4,5 + 3,7 Obtén con la calculadora el resto de las siguientes divisiones enteras. a) 457 ÷ 17 b) 3875 ÷ 11 Una persona recibe 25,72 euros y 37,28 dólares. Si gas ta 1 250 céntimos de euro y 1 euro equivale a 1,254 dólares, expresa de cuánto dinero dispone al final. a) En euros b) En dólares 40 39 38 1 4 37 Actividades § À À 2.5. Potenciación de números decimales Recuerda que la potenciación es el producto de factores iguales. 1,05 × 1,05 1,05 base 2 exponente La potenciación de números decimales cumple con las propiedades de la potenciación de enteros. Una forma práctica de calcular potencias con números decimales es: 525 000 105 1,1025 (1,2)3 = 12 × 12 × 12 = 1 728 (1,2)3 = 1,2 × 1,2 × 1,2 = (1,2)3 = 1,728 Procedimiento Ejemplo 1 Ejemplo 2 Elevamos la base a la potencia indicada como si se tratara de un número entero. El exponente nos indica cuantas veces se repite la base como factor, por tanto, se separan tantas cifras decimales como tengan los factores. Si es necesario se aumentan ceros. (0,08)2 = 8 × 8 = 64 (0,08)2 = 0, 08 × 0,08 = (0,08)2 = 0, 0064 Las TIC y la Matemática Observa cómo efectuamos con la calculadora potencias con números decimales. (0,5) = 0 . 5 ^ 6 = 6 Ú FÍJATE La potenciación de decimales cumple con las regla de los signos de los números enteros. (–0,5)2 = (–0,5) × (–0,5) = 0,25 (–0,4)3 = (–0,4) × (–0,4) x (–0,4) = (–0,064) 78Distribución 2.6 Radicación de números decimales Sabemos que la radicación es una operación inversa a la potenciación. Raíz cuadrada Vamos a calcular el lado de un cuadrado conociendo que su área es igual a 10,24 cm2 Para encontrar el lado del cuadrado debemos calcular la raíz cuadrada de 10,24 Muchas raíces cuadradas no son exactas por tanto podemos encontrar el resultado probando con tantas cifras decimales sea necesario. 3 a = b b 3 = a 3 0,512 = 0,8 porque 0,8 × 0,8 × 0,8 = 0,512 3 0,27 = 0,3 porque 0,3 × 0,3 × 0,3 = 0,27 Cuando en una raíz no aparece el índice, se entiende que se trata de una raíz cuadrada. Ú FÍJATE b b 2 = 10,24 cm2 x 13 = 1 23 = 8 33 = 27 43 = 64 53 = 125 63 = 216 73 = 343 83 = 512 93 = 729 103 = 1 000 MUCHO OJO 9 Ë Ë b n es el índice del radical, n ∈ − {0,1}. a; donde b es el radicando. a es raíz; si n es par entonces b ≥ 0. n = b a a b n n En general: = ⇔ = Procedimiento Busquemos un número que multiplicado por si mismo se mayor a 10. 22 = 4 Es menor que 10 32 = 9 Es menor que 10 42 = 16 Es mayor que 10 En este paso empezamos a probar aumentado decimales al 3 ya que el cuadrado de este es el más cercano a 10. 3,12 = 9,61 Es menor que 10 3,22 = 10,24 Es el resultado R: El lado del cuadrado es 3,2 cm. En la calculadora para obtener la raíz cuadrada, usamos la tecla . Raíz cúbica Con el conocimiento de los cubos perfectos es posible calcular algunas raíces cúbicas. Ejemplo: 10,24 = 3,2 2.7. Aproximación por redondeo A veces, cuando operamos con números decimales encontramos un resultado con muchas cifras decimales. En algunos casos, como, por ejemplo, una cantidad de $ 29,362 8 en el precio de un producto no tiene sentido por el elevado número de decimales. Por ello, debemos realizar una aproximación por redondeo. Así, consideraremos $ 29,36 en lugar de $ 29,362 8. El procedimiento para redondear un número hasta una determinada cifra decimal es el siguiente: Redondea hasta las décimas: 2,345 5; 44,25; 2,021; 12,18; 1,25; 0,127 1; 6,666 7; 3,333 3; 21,34; 2 582,7; 34 567,182 7. Redondea hasta las centésimas: 2,345 5; 75,161 6; 0,127 1; 1,333 3; 0,003 4 - 71 150,728 2; 32,277; 4 528,181; 1 726,011. Efectúa las siguientes operaciones y aplica el redondeo al resultado. Señala a qué cifra aplicas el redondeo y por qué. a) 2,5 + 3,268 + 6,01 × 1,1. El resultado es el precio de una prenda de vestir. b) 1,263 − 0,03 + 0,15 × 0,172 5. El resultado es la longitud en metros de una pieza, medida con una cinta métrica. Repite la actividad anterior primero redondeando los números que aparecen en las operaciones y luego efectuando éstas. — Compara los resultados obtenidos en la actividad anterior y señala cuándo te parece más adecuado aplicar el redondeo. 44 43 42 41 Actividades § — Si la primera cifra que debemos suprimir es menor que 5, dejamos igual la última cifra que se conserva. — Si la primera cifra que suprimimos es mayor o igual a 5, aumentamos en una unidad la última cifra que se conserva. Redondea el número 4,275 3 hasta las décimas, las centésimas y las milésimas. • Redondeo hasta las décimas. Se elimina a partir del 7. 2 → 3 ⇒ 4,3 • Redondeo hasta las centésimas. Se elimina a partir del 5. 7 → 8 ⇒ 4,28 • Redondeo hasta las milésimas. Se elimina el 3. 5 → 5 ⇒ 4,275 ejemplo 1 4,275 3 4,275 Observa que: 4,275 < 4,275 3 Decimos que hemos efectuado una aproximación por defecto. 4,275 3 4,28 Observa que: 4,28 > 4,275 3 Decimos que hemos efectuado una aproximación por exceso. Ú FÍJATE Para saber si tu calculadora redondea la última cifra, realiza la operación 2 ÷ 3. Si el resultado en pantalla es 0,6666667, la calculadora redondea el resultado; si aparece 0,6666666, es que no lo hace. Redondeo con la calculadora Redondeo Redondeo Las TIC y la Matemática 80Distribución 2.8. Sucesiones con operaciones combinadas El astrónomo alemán Johann Elert Bode, en 1772, estudió la sucesión 3; 6; 12; 24; 48; … y la modificó al sumar a cada término cuatro y dividir el resultado para diez, con lo que obtuvo la sucesión denominada de Bode-Tito: 0,7; 1; 1,6; 2,8; 5,2; … La sucesión lo asombró, pues los primeros números se aproximaban a la distancia entre el Sol y los planetas conocidos hasta ese entonces. Posteriormente, científicos descubrieron que a la distancia de 2,8 unidades astronómicas se encontraba el asteroide Ceres. Encuentra la relación entre los términos de la sucesión: 3; 5; 9; 17; 33; ... — En primer lugar, restamos o dividimos cada número de la sucesión para su término anterior: ejemplo 2 ■ Johann Elert Bode Una unidad astronómica es la distancia entre el Sol y la Tierra y se la utiliza para calcular la distancia entre el Sol y cualquier otro planeta del Sistema Solar. Ú FÍJATE En ocasiones, resulta más complicado encontrar los elementos de una sucesión, pues estos pueden estar relacionados por varias operaciones: por ejemplo, en la sucesión: 1; 1; 2; 3; 5; 8; … cada término es el resultado de la suma de los dos términos anteriores. Para encontrar la relación que existe entre los términos de una sucesión con operaciones combinadas, podemos hacer uso del procedimiento aprendido en las sucesiones con sumas y multiplicaciones, pero existen otros métodos según la sucesión. Ë Restamos los términos sucesivos Dividimos los términos sucesivos 33 − 17 = 16 17 − 9 = 8 9 − 5 = 4 5 − 3 = 2 33 ÷ 17 = 33/17 17 ÷ 9 = 17/9 9 ÷ 5 = 9/5 5 ÷ 3 = 5/3 — A continuación, evaluamos si los cocientes o las diferencias tienen algún patrón que podamos entender fácilmente. En nuestro ejemplo, las diferencias forman otra sucesión: Sol 0,7 2,8 1 5,2 1,52 Mercurio Venus Tierra Marte Júpiter Ceres — Como todas las divisiones entre términos sucesivos tienen el mismo cociente, podemos encontrar cuál es el próximo término de la sucesión de diferencias. — Organizamos los elementos que hemos encontrado y hallamos los nuevos términos de cada sucesión: — Evaluamos la sucesión que forman las diferencias, para saber si es posible hallar los nuevos términos de esta sucesión. 16 ÷ 8 = 2 8 ÷ 4 = 2 4 ÷ 2 = 2 ejemplo 3 Actividades § Encuentra los siguientes dos términos de cada sucesión. a) b) 46 Crea tu propia sucesión, en la que para encontrar un término se necesiten realizar operaciones combinadas. 45 Para hallar el nuevo término de la sucesión de diferencias, multiplicamos el último término por el cociente común; es decir: 16 2 = 32 Para hallar el nuevo término de la sucesión original debemos sumar el término que acabamos de encontrar (el nuevo término de la sucesión de diferencias) al último término de la sucesión original. Ë Ë − − − 3 5 9 17 ÷ ÷ ÷ 2 4 8 16 2 2 2 − 33 65 32 Sucesión inicial Ë Sucesión de diferencias. Formada por las diferencias de los términos contiguos de la sucesión lineal. Ë × + − − − 4 10 28 82 244 6 18 54 3 3 3 − ÷ ÷ ÷ − − − − 162 − − − -4 11 -14 21 -24 15 -25 35 +20 -20 − + − − -45 55 + + + + +20 -20 82Distribución 3 Porcentajes El uso de los porcentajes está muy extendido en la vida cotidiana. Descuentos en los almacenes, incrementos salariales, impuestos como el IVA, se expresan mediante porcentajes. Así, decir que Alberto ahorra el 10 % de su paga equivale a decir que de cada 100 dólares, ahorra $ 10. Un porcentaje o tanto por ciento es una determinada cantidad de cada cien unidades consideradas. Se expresa añadiendo a la cantidad el símbolo %. Ë Si la paga de Alberto es de $ 50, el 10 % corresponde a $ 5. En un porcentaje intervienen tres cantidades. Observa el procedimiento para el cálculo de cada una de ellas. Cálculo de la cantidad resultante Cálculo del porcentaje Cálculo de la cantidad de referencia — Se multiplica la cantidad de referencia por el tanto por ciento. — El resultado se divide por 100. — Dividimos la cantidad resultante entre la cantidad de referencia. — Multiplicamos el resultado por 100. — Se multiplica la cantidad resultante por 100. — El resultado se divide por el tanto. Ejemplo: Calcula el 6 % de 50. Ejemplo: ¿Qué porcentaje es 30 de 75? Ejemplo: ¿De qué cantidad es 39 el 6%? 50 × 6 ÷ 100 = 3 30 ÷ 75 × 100 = 40 39 × 100 ÷ 6 = 650 10% El tanto por ciento o porcentaje 50 dólares La cantidad de referencia 5 dólares La cantidad resultante Todo porcentaje es equivalente a una fracción de denominador 100 y, por tanto, al número decimal correspondiente. Así, por ejemplo: Para hallar el tanto por ciento de una cantidad, basta multiplicar dicha cantidad por la fracción equivalente al porcentaje, o por el número decimal equivalente al porcentaje. Por ejemplo: 5% de 18 560 = ×18 560 = 0,05 × 18 560 = 928 5 100 5% 5 100 = = 0,05 Calcula: a) 25 % de 400 b) 20 % de 2 480 c) 50 % de 16 700 Calcula las cantidades que faltan. a) El 7 % de 45 es ....... b) El ....... % de 50 es 7. c) El 8% de ....... es 120. 48 47 Actividades § Observa: Por tanto, el 20% de un número es su quinta parte; el 25% de un número es su cuarta parte; el 50 %, su mitad y el 75 %, sus tres cuartas partes. 75% 75 100 3 4 = = 50% 50 100 1 2 = = 25% 25 100 1 4 = = 20% 20 100 1 5 = = CÁLCULO MENTAL Las TIC y la Matemática Veamos unos ejemplos de resolución de problemas en los que aparecen porcentajes. Andrea quiere comprar un libro que cuesta 8,4 dólares. En la caja de la librería le informan que tiene un descuento del 15 %. ¿Cuánto pagará por él? — Calculamos el 15 % de 8,4. 8,4 × 0,15 = 1,26 — Descontamos 1,26 dólares del precio inicial. 8,4 − 1,26 = 6,14 Andrea pagará $ 6,14. Las operaciones que hemos realizado han sido: 8,4 − 8,4 × 0,15 = 8,4 × (1 − 0,15) = 8,4 × 0,85 Luego, podemos obtener directamente la cantidad resultante de aplicar un descuento del 15 %, multiplicando la cantidad inicial por 0,85. ejemplo 4 El precio de un artículo sin IVA es de 125 dólares. ¿Cuál será su precio de venta al público si el porcentaje que se aplica de IVA es del 12 %? — Calculamos el 12% de 125. 125 × 0,12 = 15 — Aumentamos en 15 dólares el precio inicial. 125 + 15 = 140 El precio de venta al público es 140 dólares. Las operaciones que hemos realizado han sido: 125 + 125 × 0,12 = 125 × (1 + 0,12) = 125 × 1,12 Luego, podemos obtener directamente la cantidad resultante de aplicar un aumento del 12 %, multiplicando la cantidad inicial por 1,12. ejemplo 5 La mayoría de las calculadoras posee una tecla específica para calcular porcentajes. Es la tecla . Veamos cómo utilizarla en el cálculo del 12 % de 15 500: Si tu calculadora no tiene la tecla , debes proceder así: Otros cálculos que podemos efectuar son: • Aumentar 618 en un 20 %: • Descontar un 20% de 618: 6 1 8 2 0 % % % 1 5 5 0 0 1 2 : 1 0 0 = 1 5 5 0 0 1 2 % = Calcula: 15%de 450; 10% de 5 000; 24% de 28 800. ¿Cuánto debemos pagar por un artículo de $ 54 si tiene una rebaja del 10%? C3 ¿Cuánto pagaremos por una factura de $ 150 si se aplica el 12 % del IVA? C2 C1 Óscar compró, en Pelileo, tres pantalones de $ 25 cada uno, con un descuento del 20 %, y 5 camisas de $ 7 cada una, con un descuento del 10 %. Si paga con cinco billetes de $ 20, ¿cuánto dinero le devolverán? La familia Macas acaba de comprar un automóvil cuyo precio sin impuestos asciende a $ 9 000. Si el porcentaje de impuestos es del 32 %, ¿cuánto pagarán por el automóvil? 50 49 Actividades § § 84Distribución 4 Volúmenes de poliedros y cuerpos de revolución 4.1. Volúmenes de poliedros Vamos a saber cómo podemos calcular los volúmenes de los poliedros más sencillos: el prisma y la pirámide. Prisma Construimos un prisma de altura h como el de la figura. Si el prisma es un cubo de arista a, como el área de la base es a2, tenemos: Vcubo Abase a a2 a a3 1 cm — En el prisma caben 24 cubos de 1 cm de arista. — Cada cubo tiene un volumen de 1 cm3. Por lo tanto, el volumen del prisma es de 24 cm3. Fíjate en que el volumen del prisma coincide con el producto del área de la base por su altura. Abase ⋅ h = 6 ⋅ 4 = 24 ⇒ Vprisma = 24 cm3 El volumen de un prisma de altura h es el producto del área de su base por su altura. Vprisma Abase h Ë Calcula el volumen de este contenedor. — Calculamos el área de la base. Abase = 4 ⋅ 2 = 8 — Aplicamos la fórmula anterior y tus conocimiento de números decimales para obtener el volumen del prisma. Vprisma = Abase ⋅ h = 8 ⋅ 2,5 = 20 Por lo tanto, el volumen del contenedor es 20 m3. ejemplo 6 2,5 m 4 m 2 m Calcula los volúmenes de estos dos prismas. Calcula el volumen de un prisma hexagonal regular de altura 7 dm y de apotema y lados de la base 10,39 dm y 12 dm, respectivamente. Expresa el resultado en cm3. El volumen de un prisma cuadrangular regular es de 150 cm3. Si su altura mide 6 cm, ¿cuánto mide su arista básica? Calcula el volumen de un ortoedro de dimensiones 3 cm × 4 cm × 7 cm. A continuación, calcula el volumen de un ortoedro mayor y semejante al anterior con razón de semejanza k = 4. — ¿Cuál es la razón entre los volúmenes? ¿Qué relación hay entre el valor obtenido y la razón de semejanza k? 54 53 52 51 Actividades § 4,5 cm 13 cm a 5 cm b 2 cm La esfera no es un poliedro. CONTRAEJEMPLO Material concreto Pirámide Consideramos una pirámide de altura h dentro de un cubo de arista a, siendo a el doble de h, como muestra la figura. Puedes comprobar que, en este caso, dentro del cubo puedes colocar seis pirámides iguales de altura h. h a a a — El volumen de la pirámide es la sexta parte del volumen del cubo. — El área de la base de la pirámide, Abase, es el área de la base del cubo, a2. Por lo tanto, tenemos: V V a a a a h a h A pirámide cubo = = = ⋅ = ⋅ = ⋅ = b 1 6 6 6 2 6 3 3 2 2 2 ase ⋅ h 3 El volumen de una pirámide de altura h es igual a un tercio del producto del área de su base por su altura. V A h pirámide = base ⋅ 3 Ë Calcula el volumen de esta pirámide. — Calculamos el área de la base: — Aplicamos la fórmula anterior para obtener el volumen de la pirámide. Por lo tanto, el volumen de la pirámide es de 36 cm3. V A h pirámide = base ⋅ = ⋅ = 3 9 12 3 36 Abase = ⋅ = 6 3 2 9 ejemplo 7 12 cm 6 cm 3 cm Calcula los volúmenes de estas pirámides. Calcula el volumen de una pirámide cuadrangular cuya base tiene un perímetro de 36 cm y su altura mide 14,31 cm. Expresa el resultado en dm3. El volumen de una pirámide hexagonal regular es de 193 500 cm3. Halla su altura sabiendo que el área de la base es 6 450 cm2. Observa esta pirámide y calcula su área y su volumen. 58 57 56 55 Actividades § 5 cm 4,7 cm 3 cm 6 cm a b 2 cm 2 cm 10 cm 10 cm 5 cm 14,14 cm 86Distribución 4.2. Volúmenes de cuerpos de revolución Hemos obtenido el volumen de los prismas y el de las pirámides a partir del volumen del cubo. A continuación, calcularemos los volúmenes de los cuerpos de revolución, comparándolos con los de prismas y pirámides. Cilindro Consideremos un cilindro de altura h y de radio r. r h A base = π r2 Podemos imaginar el cilindro como un prisma regular de un número elevado de caras, como muestra la figura. Entonces se cumple: — La altura del prisma h coincide con la altura del cilindro. — El área de la base del prisma coincide con el área de la base del cilindro. Por lo tanto, tenemos: Vcilindro = Vprisma = Abase ⋅ h El volumen de un cilindro de altura h y de radio r es igual al producto del área de su base por su altura. Vcilindro Abase h r 2 h Ë Calcula el volumen de este tanque. ¿Con cuántos litros de agua lo podemos llenar? — Calculamos el volumen del tanque. • Obtenemos el área de la base: Abase = π ⋅ 0,52 = 0,79 • Aplicamos la fórmula anterior para conseguir el volumen del cilindro. Vcilindro = Abase ⋅ h = 0,79 ⋅ 1,6 = 1,26 Por lo tanto, el volumen del tanque es de 1,26 m3. — Calculamos ahora la capacidad del tanque en litros: 1,26 m3 = 1,26 kl = 1 260 l. Así, podemos llenar el tanque con 1 260 l de agua. ejemplo 8 1 m 0,5 m 1,6 m Calcula el volumen de esta taza de café con leche. ¿Cuántos mililitros de café con leche se necesitan para llenar la taza totalmente y sin derramarlos? ¿Cuál es el volumen de un cilindro, formado a partir de la rotación de un rectángulo de área 32 cm2 y con uno de los lados de 4 cm? Calcula el volumen de un cilindro de 8 cm de altura cuya área lateral es igual al área de su base. 61 59 60 Actividades § r = 4 cm h = 10 cm 4.3. Estimación de volúmenes Para hallar los volúmenes de los cuerpos geométricos, se realizan mediciones de las dimensiones del objeto y los valores obtenidos se sustituyen en la fórmula con la que podemos calcular el volumen del cuerpo correspondiente. Es posible que queramos conocer el volumen de un objeto y no dispongamos de instrumentos para tomar sus medidas y poder así calcularlo. En estos casos llevaremos a cabo una estimación del volumen, que consiste en encontrar un valor aproximado del volumen que queremos calcular. A continuación, te presentamos una serie de estrategias, que pueden resultarte útiles a la hora de efectuar una estimación. Para obtener el volumen de una caja, estimamos sus dimensiones y aplicamos la fórmula del volumen de un prisma. Estrategia Descripción Ejemplo Estimación de longitudes y aplicación de fórmulas Adición repetida Reestructuración Usamos estrategias de longitud para estimar las dimensiones del cuerpo geométrico y aplicamos fórmulas para obtener el volumen. Rellenamos mentalmente el volumen que mediremos con la unidad escogida y contamos el número de veces que está contenida. Separamos una parte del objeto y la unimos en otro lugar para obtener un volumen más fácil de calcular. Para medir el volumen de un muro, estimamos el volumen de un ladrillo y contamos el número de ladrillos que lo forman. Transformamos estas dos semiesferas en una única esfera. Cita tres objetos que midan aproximadamente 1 dm3. Explica cómo darías una estimación del volumen de varias cajas de diferentes tamaños apiladas y del volumen de un depósito cilíndrico. Estima la medida del volumen del libro de matemáticas y del área de la pizarra de tu clase realizando únicamente estimaciones de longitud. Estima el volumen de una estantería basándote en el volumen de los libros que contenga. 65 64 63 62 Actividades § Para efectuar estimaciones de áreas hay distintas estrategias, tres de las cuales son: • Estimación de longitudes y aplicación de fórmulas. Consiste en estimar las longitudes de una región y aplicar fórmulas para obtener el área. • Adición repetitiva. Consiste en recubrir mentalmente una superficie con una unidad de medida escogida y contar el número de veces que está contenida. • Reestructuración. Se separa una parte del objeto y se une en otro lugar para obtener otra superficie más fácil de medir. MUCHO OJO 9 88Distribución Estrategia: Ensayo-error La estrategia de resolución denominada ensayo-error consiste en experimentar con posibles soluciones hasta dar con la correcta. Efectuamos los pasos siguientes: — Escogemos un valor (resultado u operación) posible. — Probamos si este valor escogido satisface las condiciones del problema. — Modificamos el valor inicial en función del resultado obtenido y repetimos el proceso hasta encontrar la solución. La calculadora puede servirte de gran ayuda para resolver problemas con este método. Con ella efectuarás los cálculos con mayor rapidez. Comprensión del enunciado — Leemos de nuevo el enunciado del problema. — Recordamos el significado de números primos consecutivos. — Escribimos las condiciones que han de cumplir los números buscados. Planificación de la resolución Para resolver el problema aplicamos la estrategia ensayo-error. Seguiremos estos pasos: — Tomaremos tres números primos consecutivos cualesquiera y calcularemos su producto. — Si el producto calculado es mayor que 65231, probaremos con otros tres números menores; si el resultado es menor que 65231, probaremos con otros tres mayores. — Repetiremos el proceso hasta dar con la solución. Ejecución del plan de resolución — Tomamos tres números primos consecutivos cualesquiera, por ejemplo 19, 23 y 29, y calculamos su producto. 19 × 23 × 29 = 12673 — Como el producto es menor que 65231, probamos con 31, 37 y 41. 31 × 37 × 41 = 47027 — El resultado sigue siendo menor que 65231. Probamos con 41, 43 y 47. 41 × 43 × 47 = 82861 — El producto es mayor que 65231. Probamos con 37, 41 y 43. 37 × 41 × 43 = 65231 Los números buscados son 37, 41 y 43. Revisión del resultado y del proceso seguido Comprobamos que efectivamente los números hallados son primos y consecutivos, y que su producto es 65231. El producto de tres números primos consecutivos es 65231. Averigua de qué números se trata. Pon en práctica la estrategia anterior en la resolución de los siguientes problemas: Halla dos números naturales impares consecutivos cuyo producto sea 323. Cuatro números enteros consecutivos suman −2. Averigua qué números hemos sumado. El cubo de un número es 4 096. Calcu la el valor del número. Halla dos cuadrados perfectos consecutivos cuyo producto exceda en dos unidades a 1 762. Encuentra un número tal que, al elevarlo al cubo y restarle el número buscado, obtenemos 9 240. Calcula un número natural cuyo cuadrado excede en ocho unidades a su du plo. Halla dos números naturales consecutivos tales que, al restarle el menor a su producto, se obtiene 324. 72 71 70 69 68 67 66 Actividades § Cómo resolver problemas Síntesis En resumen ° Los números decimales constan de dos partes separadas por la coma decimal. 25 , 574 Parte entera Coma decimal Parte decimal ° Una fracción decimal es la que tiene como denominador una potencia de 10. ° Con los números decimales efectuamos varias operaciones: suma, resta, multiplicación y división. Para resolver una serie de operaciones combinadas, primero efectuamos las operaciones indicadas en los paréntesis, si los hay. A continuación, realizamos las multiplicaciones y las divisiones en el orden en que aparecen. Por último, realizamos las sumas y las restas. 5 × (4,83 − 2 × 1,19) + 6,4 × 7,8 = = 5 × (4,83 − 2,38) + 6,4 × 7,8 = = 5 × 2,45 + 6,4 × 7,8 = = 12,25 + 49,92 = 62,17 ° Un porcentaje o tanto por ciento es una determinada cantidad de cada cien unidades consideradas. Se expresa añadiendo el símbolo % a la cantidad. Todo porcentaje es equivalente a una fracción de denominador 100 y, por tanto, al número decimal correspondiente. ° El volumen de un cuerpo geométrico es la medida del espacio que ocupa. ° Las áreas y los volúmenes de: ° El área y el volumen de los cuerpos compuestos se calculan descomponiendo el cuerpo en otros más sencillos de los que sepamos calcular el área y el volumen. 75% 75 100 3 = = 0, 75 10 ; 17 100 ; 1 1 000 ... ............................ ............................ Porcentajes o .................................... Décimas, centésimas, milésimas... Redondeo Operaciones los aproximamos por con numerador unidad representan son órdenes decimales de los con denominador 100 son pueden escribirse en forma de con ellos efectuamos Números decimales Lee, recuerda y completa mentalmente lo que haga falta. Figura Área Volumen Prisma (altura h) Atotal = Alateral + Abase Vprisma = Abase ⋅ h Cilindro (altura h radio r) Atotal = 2π r ⋅ (h + r) Vcilindro = π r 2 ⋅ h Sucesiones con operaciones combinadas Volumen de cuerpos geométricos • Prisma • Pirámide • Cilindro • ..................... • ..................... Volumen de prismas y pirámides Volumen de cuerpos de ............................ Volumen de cuerpos compuestos que pueden ser en particular en particular 90Distribución Ejercicios y problemas integradores Javier tiene una caja cuya base es un trapecio escaleno del cual se conoce que los lados están en progresión aritmética (fig.1). Si el lado menor mide 2 cm y la diferencia entre un lado y el siguiente es 1,2 cm. a. Calcula el volumen de la caja cuya altura es 15,3 cm. b. Calcula el perímetro de la base de la caja. • La caja es un prisma cuya base es una figura de cuatro lados diferentes, es decir un trapecio escaleno. Primer lado: a1 = 2 cm Segundo lado: a2 = 2 cm + 1,2 cm = 3,2 cm Tercer lado: a3 = 3,2 cm + 1,2 cm = 4,4 cm Cuarto lado: a4 = 4,4 cm + 1,2 cm = 5,6 cm a1 = 2 cm • 2 4 a a3 a h = 3.15 cm Abase = (B + b) h 2 Abase = (4,4 + 2) 3,15 2 Abase = (6,4) 3,15 2 Abase = 20,16 2 Abase = 10,08cm2 Vprisma = Abase altura del prisma Vprisma = 10,08cm2 15,05cm = 154,224 cm3 fig:1 fig:2 + 1,2 + 1,2 + 1,2 Observamos la sucesión: 2 ; 3,2 ; 4,4 ; 5,6 • El volumen del prisma es igual al área de la base por la altura, como la base es un trapecio, aplicamos la siguiente fórmula: Realizamos una aproximación por redondeo: (aproximación por defecto) • El perímetro de la base del prisma es: 2 cm + 3,2 cm + 4,4 cm + 5,6 cm = 15,2 cm R: El perímetro de la base del prisma es 15,2 cm y el volumen del prisma 154,22 cm3 aproximadamente. Practica • Calcula las aristas en la base de un prisma triangular sabiendo que los lados que forman el triángulo de la base están en progresión aritmética y el lado menor mide 5 cm y el perímetro 19,2 cm. Andrés decidió capitalizar sus ahorros, para ello depositó en el banco una cantidad de $1 500, los intereses que obtendrá al final de cada período de inversión es de 5% anual. ¿En cuánto se convertirá ese capital si Andrés mantiene su inversión durante tres años? Hay dos formas de resolver el problema: a) Capitalizar es obtener un interés compuesto, es decir que al finalizar cada período, el capital inicial se ha incrementado y éste se vuelve a invertir. • 15,3 Capital inicial: $ 1 500 Expresamos el porcentaje como fracción o decimal: 0,05 Al finalizar el primer año: 1 500 x 0,05 = 75. Es decir hay un incremento $ 75 El nuevo capital al iniciar el segundo año es: 1 500 + 75 = 1 575 Al finalizar el segundo año: 1 575 x 0,05 = 78,75. Es decir hay un incremento de $ 78,75 El nuevo capital al iniciar el tercer año es: 1 575 + 78,75 = 1 653,75 Al finalizar el tercer año: 1 653,75 x 0,05 = 82,6865. Es decir hay un incremento $ 82,6865 El nuevo capital: 1 653,75 + 82,6865 = 1 736,4375 Realizamos una aproximación por redondeo: (aproximación por defecto) R: Andrés capitalizó $ 1 736 aproximadamente b) Observamos que al capital inicial de cada año que es el 100%, siempre le incrementamos el 5%. Es decir cada año hay un porcentaje de aumento correspondiente a: 105%. La expresión decimal del porcentaje aumentado es: 1,05 Con las cantidades que se obtuvieron podemos formar una sucesión cuyo criterio de formación es multiplicar por 1,05 al anterior: 1 500 ; 1 575 ; 1 653,75 ; 1 736,4375 Otra forma de expresar las operaciones anteriores: 1 500 x 1,05 x 1,05 x 1,05 = 1 736,4375 1 500 x (1,05)3 = 1 736,4375 R: Andrés capitalizó $ 1 736 aproximadamente Para calcular potencia con exponentes superiores a 2 y 3 puedes usar la calculadora digitando la siguiente tecla Ejemplo: 5 100 = x 1,05 x 1,05 x 1,05 4 0 0 0 0 0 0 x 1 . 0 1 1 0 = Practica En cuánto se convierten $ 3 200 colocados al 3% de interés anual compuesto durante 2 años? ^ 4,418,488.502 ^ En la calculadora la separación entre enteros y decimales aparece con un punto y entre miles con coma. Ú FÍJATE Ejercicios y problemas 9Comprensión de conceptos y conocimiento de procesos Números decimales ¿Cuántas centésimas hay en una décima? ¿Y en una unidad de mil? Expresa en forma de fracción decimal los siguientes números decimales. 1,41; 2,414; 0,021; 76,3; 0,010 Reduce, siempre que sea posible, las siguientes fracciones a fracciones decimales y escribe el número decimal correspondiente. Lee los siguientes números decimales: 1 056,4; 523,456; 983,34567; 1 232 568,23. Escribe estos números decimales. a) Siete unidades y veintitrés centésimas. b) Dieciséis milésimas. c) Quince diezmillonésimas. Representa en una recta los siguientes números decimales: 0,5; 0,2; 0,7; 0,9; 0,1. Intercala tres números entre 1,01 y 1,02. 1,01 1,012 1,013 1,019 1,02 Intercala cuatro números entre 2,154 y 2,155. Ordena de menor a mayor: 3,45; 4; 5,012; 5,210; 5,00; 3,44. Indica si son ciertas o falsas estas expresiones. a) 0,31 < 0,4 d) 0,4 > b) 0,078 < e) 0,9 = 0,90 c) 0,15 > 0,16 f) 0,07 > 0,070 Ordena de menor a mayor y sitúa sobre la recta los siguientes números decimales: 3; 2,34; 3,12; 2; 0,23; 0,5; 4,2. Operaciones con números decimales Coloca en columna y efectúa: a) 12,5 + 123,4 + 23,75 b) 345,76 + 24,89 + 1 045,752 c) 21,75 − 13,4 d) 124,36 − 75,231 Completa en tu cuaderno estas tablas. Efectúa los cálculos mentalmente. Calcula el término que falta en estas operaciones. a) 52,63 + ......... = 158,472 b) 0,430 + ......... = 2,36 c) ......... − 0,66 = 14,33 d) 31,08 − ......... = 19,1 Escribe el siguiente número decimal en estas series. a) 0,01 ; 0,03 ; 0,05 ; ......... b) 2,61 ; 2,42 ; 2,23 ; ......... Completa en tu cuaderno esta tabla. Efectúa el producto como si fuesen números naturales y coloca después la coma en el lugar correspondiente. Efectúa: a) 3,46 × 1,25 c) 12,43 × 0,6 b) 0,6 ×0,31 d) 0,8 × 88 87 86 85 84 83 82 81 80 79 78 77 76 75 74 73 1 10 4 1 000 6 15 , 4 5 , 10 4 , 3 400 , 5 6 89 2 10 En tu cuaderno − 1,2 3,1 5,3 10,8 6,5 8,4 + 0,6 2,1 4,3 0,06 1,2 0,25 × 0,5 0,3 0,6 0,4 0,02 0,03 0,3 Indica el resultado de las siguientes multiplicaciones por la unidad seguida de ceros. a) 1,2888 × 1000 c) 375,8 × 100 b) 0,007 ×10 d) 4,3 × 1 000 Calcula el factor desconocido. a) 5,628 × ........ = 69,7872 b) 32,1 × ........ = 247,17 c) ........ × 0,23 = 1,4582 Suma 8,9 y 1,3. Divide el resultado para 0,04. Redondea hasta las centésimas: 3,1415; 2,7182; 0,0892; 27,300; 4,5623. Resuelve las siguientes operaciones combinadas y comprueba tu resultado con la calculadora. a) (45,7 + 6,24) × 5,11 b) (3,87 + 12,9) : 1,98 + 3,45 c) (7,74 + 3,14) × (7,74 − 3,14) Porcentajes Completa: a) 6 % de ….... = 360 b) ….... % de 10 500 = 840 c) 15 % de ….... = 1 500 d) 20 % de 75 = ….... Calcula qué tanto por ciento es 121,12 de 1 514. Calcula el 30 % de 150. Conocemos ya varios métodos para resolver este ejercicio. Veamos ahora cómo se resolvería efectuando una regla de tres. Llamamos x al valor del 30 % de 150. Se cumple: 30 → 100 x → 150 Por tanto: Calcula, mediante una regla de tres: a) El 16 % de 1 500 000. b) El 40 % de 187,4. Halla el volumen del cuerpo geométrico representado en la figura. Se une, a cada una de las caras de un cubo de 5 cm de arista, una pirámide regular de 6 cm de altura. Halla el volumen del cuerpo geométrico que se ha formado. Aplicación en la práctica Repasa la factura de la compra del supermercado y di si es correcta. — Indica qué operaciones has realizado para dar tu respuesta. Con trás - ta las con las de tus compañeros y compañeras. El consumo medio de gasolina de un automóvil es de 7,1 litros por cada 100 kilómetros y al iniciar un viaje, el depósito contiene 47 l. ¿Cuántos litros de gasolina quedarán en el depósito después de recorrer 160 km? ¿Queda suficiente gasolina para recorrer otros 300 km? Un edificio formado por planta baja y 7 pisos tiene una altura de 29,52 m. Calcula la altura de cada piso si la planta baja mide 3,56 m de altura. Un alumno, para acudir a la escuela, realiza cuatro veces al día un trayecto de 2,1 km. a) ¿Cuántos kilómetros recorre cada día? b) ¿Cuántos días tardará en recorrer 134,4 kilómetros? 98 97 96 95 94 93 92 90 x= = 30 · 150 100 45 99 91 100 101 102 103 104 Agua 1,29 x 2 $ 2,58 Leche 1,12 x 6 $ 7,32 Harina $ 0,47 Chocolate $ 1,90 Total $ 12,57 Efectivo $ 15,00 Cambio $ 2,43 . 4 cm 8 cm 5 cm 94Distribución Una caja que contiene 30 bombones iguales pesa 1,453 kg y el peso de la caja vacía es 142,3 g. a) ¿Cuánto pesa cada bombón? b) ¿Cuánto pesa la caja después de sacar 10 bombones? Hemos clasificado a los alumnos de una clase de 8.º de EGB en tres grupos según la actividad diaria que desarrollan al finalizar la escuela. El 40 % de los alumnos practica un deporte, el 50% va a cursos de informática y 3 alumnos no hacen ninguna actividad extraescolar. a) ¿Por cuántos alumnos está formado el grupo? b) ¿Cuántos practican deporte? ¿Cuántos van a cursos de informática? Determina dos múltiplos consecutivos de 3 cuyo producto sea 1 638. Utiliza la estrategia de ensayo- error. Entra en la dirección http://www.rfea.es/ranking/ altt/rankingaltth.pdf y calcula la diferencia entre la marca del primero y la del décimo corredor en el ranking de la prueba de 100 m planos masculinos. Accede a la dirección de la actividad anterior y señala cómo afectaría al ranking si se redondearan los tiempos a la décima de segundo. Las dimensiones de un ortoedro son tres números enteros consecutivos que suman 27. Halla el área total y el volumen del ortoedro. Las dimensiones son tres números consecutivos que llamaremos x, x + 1 y x + 2. Sabemos que suman 27 cm; entonces deben cumplir: x + x + 1 + x + 2 = 27 ⇒ 3x + 3 = 27 ⇒ x = 8 Por lo tanto, las dimensiones del ortoedro son 8 cm × 9 cm × 10 cm. Aplicamos ahora las fórmulas para encontrar el área total y el volumen. Atotal = Alateral + 2 ⋅ Abase = P ⋅ h + 2 ⋅ Abase Atotal = 34 ⋅ 10 + 2 ⋅ (8 ⋅ 9) = 484 Vprisma = Abase ⋅ h = (8 ⋅ 9) ⋅ 10 = 720 El área total mide 484 cm2 y el volumen, 720 cm3. Las dimensiones de un ortoedro son proporcionales a 2, 4 y 5, y su suma es 16,5. Halla el área total y el volumen del ortoedro. Sin hacer ningún cálculo, intenta determinar cuál de las siguientes figuras tiene más área lateral, más área total y más volumen. — Haz ahora los cálculos oportunos y comprueba si has acertado. Más a fondo Comprueba que multiplicar por cuatro quintos es lo mismo que dividir por 1,25. Explica este hecho. — Cita otras multiplicaciones por fracciones que equivalgan a divisiones por números decimales. — Busca otras estrategias para efectuar divisiones por números decimales. Halla el mayor número decimal que cumpla las dos condiciones siguientes: • La parte decimal está formada por dos cifras. • Si se suma con 1,45 y se redondea el resulta-do de la suma hasta las décimas se obtiene 3,8. Formen grupos de trabajo e investiguen acerca del impuesto al valor agregado, IVA. —Formas de pago y de retención. —Productos a los que se aplica. Un depósito de forma cilíndrica de 3 dm de radio y 1 m de altura está lleno de agua y se vacía su contenido a otro depósito cilíndrico de mayor altura y de 4 dm de radio. ¿Qué altura alcanzará el agua en este segundo depósito? Encuentra el volumen de un cilindro de 8 cm de radio, sabiendo que la razón entre el área lateral y el área de la base es 3. 115 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 116 117 @ @ : 2 r a b r r 2 r En tu cuaderno Demuestra tu ingenio Años bisiestos En un año bisiesto, ¿cuántos meses tienen 29 días? El náufrago Un náufrago construye una balsa y abandona la isla en dirección al continente, que se encuentra a una distancia de 100 km. Cada día rema hacia su destino 40 km, pero debido al gran esfuerzo que realiza debe descansar al día siguiente, en el que los vientos y las mareas le hacen retroceder 30 km. ¿Cuántos días tardará en llegar al continente? Elige un número decimal y prepara cinco cartas con el número decimal escogido, cinco con la fracción decimal equivalente a dicho número y cinco con el porcentaje equivalente también a dicho número. (Ponte de acuerdo con tus compañeros y compañeras para que el número elegido no sea el mismo.) Reúne tus cartas con las de los demás y formen cinco juegos completos (en cada juego, un tercio de las cartas llevará un número decimal; un tercio, las fracciones decimales equivalentes y el tercio restante, los porcentajes equivalentes). Para jugar, distribúyanse en grupos de aproximadamente 5 personas. El juego consiste en formar tríos (un trío consta de un número decimal, su fracción y su porcentaje equivalentes). Una vez repartidas todas las cartas, los jugadores se desprenderán, si es el caso, de los tríos que tengan. A continuación, el jugador que inicie el juego tomará una carta del compañero o compañera de su derecha y así sucesivamente. Gana el primer jugador que se quede sin cartas. Buen Vivir ¿Sabías que el pasaje de bus para estudiantes, menores de edad, adultos mayores y personas con capacidades especiales cuesta $ 0,12? Esta diferencia también se aplica a otros servicios, como la visita a museos. Actividades ¿Por cuáles medios pueden consultar para enterarse de las tarifas de acceso a servicios y lugares públicos? ¿Por qué creen que es importante conocer este tipo de información para sus actividades diarias? ¿Qué necesitan para poder construir su opinión respecto al tema? Organícense y elaboren un periódico mural con los pros y contras de un incremento de los costos para acceder a servicios públicos. En cada postura, indiquen cuáles son los argumentos de las partes involucradas. ¿Cuál sería su respuesta si el transportista quiere cobrarles pasaje de adulto? ¿Qué harían ustedes si les ofrecen un producto con sobreprecio? 1 2 3 4 3 Buen Derechos del consumidor Vivir Museo del Banco Central (Quito) Horario: Martes a viernes de 09h00 a 17h00. Sábados, Domingos y feriados: De 10h00 a 16h00. Teléfono: 02 222 3258, 02 256 8975 Internet: www.bce.fin.ec Costo: Extranjeros $ 2 Nacionales $ 1 Universitarios $ 0,5 Estudiantes $ 0,25 Material concreto _ 96Distribución Historia Sección de historia Autoevaluación 1. Representa sobre una recta los siguientes números: 3,5; 2,8; 2; 2,9; 3,1. 2. Redondea hasta las centésimas: 12,176823; 4,780155; 123,23598; 1,5827. 3. Calcula: a) 25,2 + 37,1 × (18,06 − 3,4) ÷ 1,2 − 6 b) 3 × 750 − 415 − 36,5 ÷ (286,08 − 281,08) 4. Completa: a) 12 % de 630 = …... c) ….. % de 6,8 = 0,34 b) 6 % de …... = 720 d) 3% de …... = 720 5. Escribe tres números decimales distintos cuya parte entera sea 3. 6. Ordena estas masas de arena de mayor a menor: 0,97 kg; 2,374 kg; 0,99 kg; 2,37 kg y 2,437 kg. —Calcula la masa total de arena. 1. Efectúen estas divisiones, aproximando hasta las milésimas: 2 ÷ 18; 50 ÷ 14; 0,7 ÷ 23; 1 ÷ 0,3. 2. Sacamos 1,06 kg de arroz de una bolsa que contiene 2,5 kg. Calculen la masa de arroz que queda en la bolsa. — Si repartimos el resto del arroz en otras tres bolsas, ¿cuánto arroz habrá en cada una de ellas? 3. Indiquen oralmente cuáles afirmaciones son falsas. a) El área de un tetraedro de arista 2 cm es 6,92 cm2. b) El área de un hexaedro de arista 5 cm es 150 cm2. c) El volumen de una pirámide cuadrada de 7 cm de lado y 9 cm de altura es de 147 cm3. d) El volumen de un cilindro de 5 cm de radio y 5 cm de altura es de 125 cm3. e) El volumen en cm3 de una esfera de radio 1 cm es igual a la tercera parte de su superficie en cm2. Los babilonios escribían los números decimales en su sistema posicional de base 60, igual que los números enteros. Esto daba lugar a una ambigüedad que se resolvía por el contexto. Al-Uglidisi utilizó las fracciones decimales con una notación muy parecida a la actual. Así 2,35 era: 2’35 → 2 unidades y 35 de cien Al-Kasi divulgó su teoría sobre números decimales en su obra Clave de la aritmética. Los egipcios no utilizaban números decimales, sólo fracciones. Los griegos y los hindúes solamente los utilizaban para cálculos astronómicos, manteniendo el sistema babilónico. En 1585, el belga S. Stevin demostró en su obra La Disme que con números decimales podía operarse de la misma forma que con números naturales. La notación que utilizó para estos números fue: 7 0 8 1 3 2 1 3 = 7,831 → 30 1 20 5 31 60 25 602 + 10 10 1 ¿21? Miftah. al h.isa- b ¿20 × 60 + 1? ¿ ? ¿ ? 1 60 1 60 20 + 2 1 60 + 0 2 1 → 0,21 → 0,075 0 0 7 5 Una vez introducida la cifra 0, los chinos escribían los números decimales con su método de varillas de manera muy similar a la nuestra. El escocés J. Napier introdujo a principios del siglo XVII la notación actual para los números decimales. Sin embargo, hasta bien entrado el siglo XVIII estos números no adquirieron toda su importancia práctica. 1,5 m × $ 3/m = $ 4,5 Coevaluación Si logras resolver el 70 % de estas actividades individuales y grupales, puedes avanzar. La coma decimal La coma decimal fue ideada a principios del siglo XVII por el matemático y óptico holandés Wilbord Snellius conocido también como Willebrord Snell y Snel van Roijen. Según la Real Academia Española (RAE), en las expresiones numéricas escritas con cifras, la normativa internacional establece el uso de la coma para separar la parte entera de la parte decimal. En países de habla inglesa se usa el punto. En el hablar cotidiano, el punto se utiliza en ámbitos muy variados: los valores de apertura en fotografía, la ubicación de las emisoras de radio en el dial... Hasta hace unos pocos años aún era común en la expresión numérica de las cantidades separar los millares, los millones, etc. mediante un punto y colocar la coma decimal en la parte superior. Medallas Fields En campos como la física, la química, la fisiología y la medicina, la literatura, la economía y la paz existen unas distinciones de gran prestigio: los premios Nobel. Llama la atención el hecho de que no exista el Nobel de Matemática. En este campo la más alta distinción que se concede es la medalla Fields. Las medallas Fields surgieron en el Congreso Internacional de Matemática de 1924. En esta reunión, su presidente, el matemático canadiense John Charles Fields, presentó la propuesta de unas «medallas internacionales para destacados descubrimientos matemáticos ». Fields sugirió que los premios deberían otorgarse a nivel internacional y sin vincular este premio a ningún país, persona o institución. Igualmente propuso que los galardones fueran concedidos a gente joven (no especificó edad), como estímulo y para fomentar nuevos estudios. De ahí la tradición de no premiar a mayores de 40 años. Los decimales de π El número conocido de decimales de π ha variado a lo largo de la historia. • En el papiro de Ahmes (1650 a. C.) aparece el valor 3,16. • Arquímedes hacia el 300 a. C. utilizaba 3,14163 como valor de π. • Al-Kashi, en Persia en 1429, utilizaba el valor 3,1415926535897932. • El matemático alemán Ludolph van Ceulen en 1615 obtuvo treinta y cinco cifras decimales. • En 1706 Machin alcanzó los primeros cien decimales. • Con la ayuda de una calculadora Ferguson y Wrench en 1947 obtuvieron 808 decimales. • En 1949 Reitwiesner, con uno de los primeros ordenadores, determinó π con 2 037 decimales. • En 1961, D. Shanks y Wrench obtuvieron 100 265 cifras. • En 1967, Guilloud y Dichampt llegaron a los 500 000 decimales. • En 1999, Kanada y Takahashi (Universidad de Tokio), utilizando una potente computadora, calcularon π con 206 158 430 000 cifras decimales para lo que tardaron 37 horas. En la página de Internet http://www. an gio.net/pi/piquery puedes localizar una serie numérica (por ejemplo, una fecha) en la infinita serie de números decimales de π. 14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 82148 08651 32823 06647 09384 46095 50582 23172 53594 08128 48111 74502 84102 70193 85211 05559 64462 29489 54930 38196 44288 10975 66593 34461 28475 64823 37867 83165 27120 19091 45648 56692 34603 48610 45432 66482 13393 60726 02491 41273 72458 70066 06315 58817 48815 20920 96282 92540 91715 36436 78925 90360 01133 05305 48820 46652 13841 46951 94151 16094 33057 27036 57595 91953 09218 61173 81932 61179 31051 18548 07446 23799 62749 06120 75754 52724 89122 79381 83011 94912 98336 73362 44065 66430 86021 39494 63952 24737 19070 21798 60943 70277 05392 17176 29317 67523 84674 81846 76694 05132 00056 81271 45263 56082 77857 71342 75778 96091 73637 17872 14684 40901 22495 34301 46549 58537 10507 92279 68925 89235 Crónica matemática Coevaluación 1. a) 150; b) 1080. 3. a) , b) . Ejercicios y problemas 73. 10; 100 000. 75. no es posible. 77. a) 7,23; b) 0,016; c) 0,000 0015. 81. 3,44 < 3,45 < 4 < 5,00 < 5,012 < 5,210. 83. 0,23 < 0,5 < 2 < 2,34 < 3 < 3,12 < 4,2 85. 87. a) 0,07; b) 2,04. 89. a) 4,325; b) 0,186; c) 7,458; d) 0,16. 91. a) 12,4; b) 7,7; c) 6,34. 93. 3,14; 2,72; 0,09; 27,30; 4,56. 95. a) 6 000; b) 8; c) 10 000; d) 15. 99. El volumen del semicilindro grande es 125,6 cm3. El volumen del semicilindro pequeño es 31,4 cm3. Hallamos el volumen del cuerpo geométrico: El volumen del cuerpo geométrico es 94,2 cm3. 101. No es correcto. — Revisar las dos multiplicaciones (2 de agua y 6 de leche), la suma de los cuatro artículos para el total; la resta total de efectivo. Leche: 1,12 × 6 = 6,72 Total: 2,58 + 6,72 + 0,47 + 1,90 = 11,67 Cambio: 15,00 − 11,67 = 3,33 103. Cada piso mide (29,52 − 3,56) ÷ 7 = 3,708 m. 105. a) 1 453 − 142,3 = 1 310,7 1 310,7 ÷ 30 = 43,69 Un bombón pesa 43,69 g. 11 18 149 140 V V V semicilindro grande semicilindro pequeño − = 125,6 − 31,4 = 94,2 cm3 b) 43,69 × 10 = 436,9 1 453 − 436,9 = 1 016,1 La caja pesará 1 016,1 g. 107. 39 y 42. 109. Respuesta abierta. Varios atletas tendrían la misma marca. 111. Llamamos x, y y z a las dimensiones del ortoedro. Las dimensiones del ortoedro son 3 cm, 6 cm y 7,5 cm. Calculamos el área total: El área total del ortoedro es 171 cm2. Calculamos el volumen: El volumen del ortoedro es 135 cm3. 113. En efecto, es lo mismo, pues multiplicar por equivale a dividir por , y = 5 ÷ 4 = 1,25. 115. Respuesta abierta. 117.Calculamos el área de la base: Por tanto, el área lateral será: Calculamos el perímetro de la base: Y así podemos hallar la altura: El volumen del cilindro es: V = 201 · 12 = 2412 cm3. Ejercicios y problemas 77. Tridecágono y pentadecágono. El prefijo corresponde al numeral griego (trideca = 13 y pentadeca = 15) y el elemento -gono significa ángulo; como para todo polígono, n.° ángulos = n.° lados. 79. 4, porque un triángulo es siempre convexo; 3. 81. a) 5, 9; b) 540°, 720°; c) 5, 6. 83. diagonales. 10 vértices, ya que tiene 10 lados. x 2 4 5 2 4 5 16 5 11 1 5 2

    Ejercicios resueltos de examen de admisión a la Universidad

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