NÚMEROS COMPLEJOS EN TRIGONOMETRÍA EJERCICIOS RESUELTOS PDF
☛ Números complejos aplicados a la trigonometría
☛ Forma polar o trigonométrica de un número complejo
☛ Forma exponencial de un número complejo
☛ Regiones en el plano complejo
APRENDIZAJES ESPERADOS :
☛ Conocer la estructura analítica y algebraica de los números complejos y sus principales elementos(operaciones algebraicas y vectores en un plano)
☛ Representación de los complejos como puntos en un plano. Representación polar.
☛ Conjugado de un complejo. Módulo, distancia, raíces de un complejo.
☛ Operar con números complejos en sus formas binómica y polar.
☛ Resolver gráfica y analíticamente las operaciones con números complejos.
EJERCICIO 1 :
Halle la forma polar de
z=1+ isen20°+ cos20°
EJERCICIO 2 :
Halle la forma exponencial del número complejo
z = (2√3 −2i)⁴
EJERCICIO 3 :
De la siguiente igualdad:
(cos8° – isen8°)ⁿ= sen50°+ icos50°
; n∈ℤ+, calcule el valor de n.
A) 40
B) 60
C) 80
D) 50
E) 100
Rpta. : "A"
VARIABLE COMPLEJA O ANÁLISIS COMPLEJO
Al estudio de las funciones de variable compleja se lo conoce como el Análisis complejo. Tiene una gran cantidad de usos como herramienta de matemáticas aplicadas , así como en otras ramas de las matemáticas.
El análisis complejo provee algunas importantes herramientas para la demostración de teoremas incluso en teoría de números; mientras que las funciones reales de variable real, necesitan de un plano cartesiano para ser representadas; las funciones de variable compleja necesitan un espacio de cuatro dimensiones, lo que las hace especialmente difíciles de representar.
Se suelen utilizar ilustraciones coloreadas en un espacio de tres dimensiones para sugerir la cuarta coordenada o animaciones en 3D para representar las cuatro dimensiones.
La primera referencia conocida a raíces cuadradas de números negativos proviene del trabajo de los matemáticos griegos, como Herón de Alejandría en el siglo I antes de Cristo, como resultado de una imposible sección de una pirámide.
Los complejos se hicieron más patentes en el Siglo XVI, cuando la búsqueda de fórmulas que dieran las raíces exactas de los polinomios de grados 2 y 3 fueron encontradas por matemáticos italianos como Tartaglia, Cardano.
Aunque sólo estaban interesados en las raíces reales de este tipo de ecuaciones, se encontraban con la necesidad de lidiar con raíces de números negativos.
El término imaginario para estas cantidades fue acuñado por Descartes en el Siglo XVII y está en desuso.
La existencia de números complejos no fue completamente aceptada hasta la más abajo mencionada interpretación geométrica que fue descrita por Wessel en 1799, redescubierta algunos años después y popularizada por Gauss. La implementación más formal, con pares de números reales fue dada en el Siglo XIX.
Aplicaciones :
Los números complejos se usan en ingeniería electrónica y en otros campos para una descripción adecuada de las señales periódicas variables (ver Análisis de Fourier). En una expresión del tipo podemos pensar en r como la amplitud y en j como la fase de una onda sinusoidal de una frecuencia dada.
Cuando representamos una corriente o un voltaje de corriente alterna (y por tanto con comportamiento sinusoidal) como la parte real de una función de variable compleja de la forma: donde w representa la frecuencia angular y el número complejo z nos da la fase y la amplitud, el tratamiento de todas las fórmulas que rigen las resistencias, capacidades e inductores pueden ser unificadas introduciendo resistencias imaginarias para las dos últimas (ver redes eléctricas). Ingenieros eléctricos y físicos usan la letra j para la unidad imaginaria en vez de i que está típicamente destinada a la intensidad de corriente.
El campo complejo es igualmente importante en mecánica cuántica cuya matemática subyacente utiliza Espacios de Hilbert de dimensión infinita sobre ℂ . En la relatividad especial y la relatividad general, algunas fórmulas para la métrica del espacio-tiempo son mucho más simples si tomamos el tiempo como una variable imaginaria.
En ecuaciones diferenciales, es habitual encontrar primero las raíces complejas r de la ecuación característica de la ecuación diferencial de primer grado y luego intentar resolver el sistema en términos de las funciones base de la forma : f(t) = ert
Los fractales son diseños artísticos de infinita complejidad. En su versión original, se los define a través de cálculos con números complejos en el plano.
