LONGITUD DE ARCO POR INTEGRALES EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS PDF

Intuitivamente la longitud de un arco de curva plana es la «distancia» recorrida por un móvil desde el punto (a, f (a)) hasta el punto (b, f (b)) siguiendo la trayectoria de la curva y = f (x).Cuando los puntos A(a, f (a)) y B(b, f (b)) están unidos por un segmento de recta, la fórmula de la distancia entre dos puntos nos permite conocer la longitud del segmento o la distancia recorrida por el móvil desde A hasta B, pero si los puntos A y B están sobre una curva, dicha fórmula no es suficiente para determinar la longitud y sin el cálculo no sabríamos a ciencia cierta cuál es la longitud de un arco de curva en general. Para determinarla utilizaremos el concepto de distancia entre dos puntos, lo que nos permitirá definir y calcular dicha longitud como una integral definida.
Longitud de arco de una curva plana
Cálculo de la longitud de los cables en el puente de Occidente

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Cálculo de la longitud del arco de una curva plana 

En coordenadas rectangulares Longitud del arco de curva en coordenadas polares Ejemplo Encuentre la longitud de la circunferencia del círculo x2 + l = a 

Ejemplo 

Halle la longitud de la parábola y = 2~ desde x= O hasta x= 1. 

Ejemplo 

Halle la longitud de un arco completo de la cicloide 

Ejemplo 

Calcule la longitud del arco de la espiral p=a eme desde el origen hasta el punto 

Problemas resueltos 

Problema 1 

Halle la longitud de la astroide (hipocicloide) 

Problema 2 

Halle la longitud del arco de la parábola semicúbica a/ =} , desde el origen al punto cuya abscisa es x = 5a. Problema 3 

Encuentre la longitud del arco de la parábola l = 4 px desde el vértice hasta un extremo del lado recto. Problema 4 

Calcule la longitud del arco de la curva y= In secx desde el origen hasta el punto Problema5 Encuentre la longitud del arco de la catenaria y=!!.(ex 

Problema 6 Calcule la longitud del arco de la curvay=ex entre los puntos (0, 1) Y (1 , e) Problema 7 Halle la longitud del arco de la curva x = L - - In desde y= 1 hasta y= e. Problema 8 Calcule la longitud del arco de la curva y=lnx desde x = J3 hasta x =.J8. Problema 9 Encuentre la longitud del lazo de la curva 9a/=x(x- 3a)2. Problema 10 Halle la longitud del arco de la curva Problema 11 Halle la longitud del arco de la curva x=a(cos t+tsen t),y=a(sent-tcost) desde t= O hasta t= T. Problema 12 Encuentre la longitud total de la curva x=a(2 cos t-cos2t), y=a(2 sent-sen2t) Problema 13 Calcule la longitud del arco de la curva { X = /t sent desde t=O hasta t=n/2. Problema 15 Calcule la longitud de la primera vuelta de la espiral de Arquímedes p = ae. Problema 16 Encuentre la longitud del arco de la curva e=l(p+~) desdep=l hastap=3 Problema 17 Halle la longitud de la cardiode p = a(1 + cos8). Problema 20 Encuentre la longitud de la espiral logarítmica a p = - desde (PI' el) hasta (P2' e2) Definición Seaf(x) una función definida en el intervalo cerrado [a, b]. Si existe un número L tal que entonces L se llama la longitud del arco de la curva y= f(x) del punto A = (a, f(a)) al punto B= (b,f(b)) o Interpretación geométrica La figura muestra la gráfica de una curva y = f(x) definida sobre el intervalo cerrado [a; b] o Cuando II~II = máx ~X es muy pequeño, las abscisas Xi_l Y Xi se encuentran muy cerca, la poligonal asociada a tales puntos se "ajusta" a la curva, y por lo tanto, intuitivamente pensamos que el límite de las longitudes de las poligonales así obtenidas representa la longitud del arco de la curva. Teorema 1 Seay=y(x) una función tal que dy es continua en el intervalo cerrado [a, b]. dx Entonces la longitud del arco de la curva entre dos puntos con abscisas x= a y x= b, es dada por la fórmula Teorema 2 Sea x=x(y) una función tal que dx es continua en el intervalo cerrado [e, di. dy Entonces la longitud del arco de la curva entre dos puntos con ordenadas y= e e y=d es dada por la fórmula Teorema Si una curva es definida mediante las ecuaciones paramétricas {x = x(t) , y = y(t) donde dx y dy son funciones continuas en un intervalo [tI' t2], entonces la dt dt longitud del arco de la curva con extremos PI=(x(tl),y(tl)) y P2=(X(t2), y(t2)),es dada por Teorema x Si una curva es definida mediante la ecuación en coordenadas polares p=p(e), donde dp es una función continua, entonces la longitud del arco de la curva cuyos de extremos tienen ángulos polares e} y e 2, respectivamente, es dada por