LEY DE SENOS EJERCICIOS RESUELTOS Y DEMOSTRACIÓN PDF
¿Qué es la ley de los senos?
Es la fórmula que nos indica que en todo triángulo, los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.
Las longitudes de los lados de un triángulo ABC se denotarán por las letras minúsculas a, b y c, y la medida de los ángulos opuestos, por las letras mayúsculas A B y C respectivamente.
Se aplica la ley de senos en los siguientes casos :
𝑖) Cuando se conocen dos ángulos y un lado
𝑖𝑖) Cuando se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos o caso LLA .
TEOREMA DEL SENO
En todo triángulo oblicuángulo se cumple que las medidas de sus lados son directamente proporcionales a los senos de sus respectivos ángulos opuestos, siendo la constante de proporcionalidad el diámetro de la circunferencia circunscrita al triángulo.
a/senA =b/senB=c/senC=2R
⇒ a=2RsenA
b=2RsenB
c=2RsenC
En el presente capítulo se aplicará el teorema de los senos para resolver triángulos oblicuángulos de los que se conocen las medidas de dos ángulos y un lado, o las medidas de dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.
TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
El triángulo que no contiene el ángulo recto se denomina OBLICUÁNGULO.
☛ Los elementos básicos de todo triángulo son sus tres lados y sus tres ángulos.
☛ Un triángulo está determinado si se conocen tres de sus elementos básicos (uno de ellos es necesariamente uno de los lados).
☛ Resolver un triángulo significa que dados tres elementos básicos, se puede calcular los otros tres elementos.
Cuando en un triángulo se consideran 2 lados y 2 ángulos ( incluyendo la incógnita) se usa la ley de senos.
• Por los vértices de todo triángulo ABC pasa una circunferencia.
Los lados de un triángulo pueden expresarse en términos del seno del ángulo opuesto y su circunradio
PROBLEMAS RESUELTOS
PREGUNTA 1 :
En la figura, se muestra un obrero levantando pedestal por medio de una polea.
Si cosθ=7/25 , halle la altura del pedestal.
A) 1,6 m.
B) 1,8 m.
C) 1,5 m.
D) 1,7 m.
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "C"
PREGUNTA 2 :
Se tiene un triángulo isósceles ABC con ángulos internos 2ψ, 5ψ, 5ψ. También se conoce que las medidas de dos lados son "x" y del tercero es "y".
Calcular x/y .
A) (√6 – √2)/2
B) (√6 + √2)/2
C) √6 – √2
D) √6 + √2
E) (√6 + √2)/3
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "B"
PREGUNTA 3 :
Dorita observa un globo con un ángulo de elevación de 45° en dirección este. En el mismo instante, Giany , que está a 0,5 km al oeste de Dorita , observa el mismo globo con un ángulo de elevación de 30°. ¿A qué distancia está Giany del globo?
A) 3,71 km
B) 2,73 km
C) 5,61 km
D) 1,36 km
E) 4,16 km
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "D"
PREGUNTA 4 :
La figura muestra las trayectorias de dos barcos que zarpan con velocidades constantes desde los puntos A y B respectivamente, en dirección al punto C llegando a la misma hora. Si el barco que parte del punto A navega a una velocidad de 4 m/ s , determine la velocidad del barco que parte del punto B.
A) 8/3 m/s
B) 8 m/s
C) 4 m/s
D) 16 m/s
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "A"
PREGUNTA 5 :
Desde la azotea de un edificio una persona observa a un automóvil en el suelo con un ángulo de depresión 3β. Si el automóvil se desplaza en dirección opuesta al edificio y en el mismo plano vertical una distancia de 90 m, donde en su nueva posición es observado por la misma persona con un ángulo de depresión 2β y a una distancia de 150 m, halle la altura del edificio.
A) 90√2 m
B) 60√2 m
C) 100√2 m
D) 50√2 m
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "C"
PREGUNTA 6 :
En una excavación se coloca horizontalmente un cable tensionado de 5 metros de longitud, tal como se muestra en la figura. Un hombre ubicado en el extremo A del cable observa un punto ubicado en el fondo de la excavación con un ángulo de depresión de 74° y desde el extremo B otro hombre observa el mismo punto con un ángulo de depresión de 69°. Calcule la distancia desde el extremo B al punto divisado.
A) 6 m
B) 8 m
C) 7 m
D) 5 m
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "C"
PRACTICA PROPUESTA
PROBLEMA 1 :
Desde un extremo de un puente de 270 metros de longitud se divisa un punto ubicado en el fondo de un precipicio con un ángulo de depresión de 74°, y desde el otro extremo del puente se aprecia el mismo punto con un ángulo de 69°. Halle, en metros la distancia desde el segundo extremo del puente al punto divisado
A) 350
B) 360
C) 384
D) 408
E) 432
Rpta. : "E"
PROBLEMA 2 :
Desde la parte más alta de una casa se observa una estatua y su pedestal con ángulos de visual de 45°. Si desde la base del pedestal se observa la parte mas alta de la casa con un ángulo de elevación cuya tangente es 5/7 y la distancia entre la parte superior de la casa y la parte mas alta del pedestal es 10m. Aproximadamente la altura (en m) de la estatua es:
A) 2√5
B) √39
C) 2√37
D) 40
E) 3√37
Rpta. : "C"
PROBLEMA 3 :
En un triángulo isósceles ABC, cuya base AC mide 10m. se traza la bisectriz AD que mide 12m (D está sobre BC). ¿Cuál es la longitud del lado AB (en metros)?.
A) 20
B) 25
C) 30
D) 35
E) 40
Rpta. : "E"
