LEY DE COSENOS EJERCICIOS RESUELTOS Y DEMOSTRACIÓN PDF
¿Qué es la ley de los cosenos?
Es la fórmula que nos indica que en todo triángulo oblicuángulo se cumple que el cuadrado de la medida de un lado es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de los otros dos lados , menos el doble producto de estos multiplicado por el coseno del ángulo que forman.
a² = b² +c² – 2bcCosA
b² = a² + c² – 2acCosb
c² = a² + b² – 2abCosC
¿Cuándo se aplica la ley de cosenos?
𝑖) Cuando se conocen dos lados y el ángulo entre dichos lados
𝑖𝑖) Cuando se conoce los tres lados
Cuando en un triángulo se considera 3 lados y un ángulo (incluyendo, la incógnita) se usa la ley de cosenos.
TEOREMA DEL COSENO
En todo triángulo la medida de cualesquiera de sus lados al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, menos el doble del producto de dichos lados por el coseno del ángulo que estos forman”.
observaciones :
I) Un triángulo ABC de lados a , b y c es acutángulo si se cumplen las tres relaciones
a²+b²>c²
b²+c²>a²
a²+c²>b²
II) Un triángulo ABC de lados a , b y c es obtusángulo si se cumple una de las siguientes relaciones
A es un ángulo obtuso ⇒ b²+c²<a²
B es un ángulo obtuso ⇒ a²+c²<b²
C es un ángulo obtuso ⇒ a²+b²<c²
PROBLEMA 1 :
Un triángulo tiene por lados tres números impares consecutivos. Hallar el perímetro si uno de sus ángulos mide 120° y sus lados se miden en metros.
A) 18 m
B) 16 m
C) 17 m
D) 14 m
E) 15 m
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "E"
PRACTICA PROPUESTA
PROBLEMA 1 :
Los lados de un triángulo son proporcionales a 5 ; 7 y 8. Halle el ángulo (agudo) que forman el mayor y menor de los lados
A) 30°
B) 60°
C) 45°
D) 37°
E) 53°
Rpta. : "C"
PROBLEMA 2 :
En un triángulo, el ángulo intermedio es 60°. Halle los lados, si los dos menores se diferencian en 2u y los dos mayores en 1.
A) 3, 5,6
B) 4, 6,7
C) 5, 7, 8
D) 6, 8, 9
E) 7, 9, 10
Rpta. : "C"
PROBLEMA 3 :
En un triángulo, los lados son 3 números enteros consecutivos, y el ángulo mayor es el doble del menor. Entonces, los lados son:
A) 5, 6, 7
B) 3, 4 y 5
C) 2, 3, 4
D)1, 2, 3
E) 4;5 y 6
Rpta. : "C"
PROBLEMA 4 :
En un triángulo ABC se cumple que:
abcosC + bcCosA + accosB =10
Calcular : a² + b² + c²
A) 12
B) 20
C) 10
D) 8
E) 6
Rpta. : "C"
PROBLEMA 5 :
Sean A y B los extremos de una de las aristas de un cubo y sea O el centro de dicho cubo. Entonces el coseno del ángulo AOB es :
A) 2/3
B) 1/6
C) 3/4
D) 3/5
E) 1/3
Rpta. : "C"
PROBLEMA 6 :
En un triángulo ABC, los lados AC, BC y AB miden 10 ; 15 y 20 metros respectivamente. Calcule
256sen(2B)sen(2C)
A) –105
B) –52
C) 52
D) 105
E) 210
Rpta. : "C"
PROBLEMA 7 :
Un móvil se desplaza 40 km según la dirección S60°O con respecto a un punto inicial, luego se desplaza 20 km según la dirección N60°O. Halle la distancia en (km) entre el punto inicial y la nueva ubicación.
A) 20√7
B) 20√5
C) 25√7
D) 29√5
E) 23√7
Rpta. : "A"
PROBLEMA 8 :
De un puerto dos barcos zarpan simultáneamente con rumbos S20°E y S40°O y con rapidez constante de 25 m/s y 30 m/s. Luego de 15 minutos ¿qué distancia están separados los barcos en km?
A) 24,054
B) 24,80
C) 25,055
D) 26,054
E) 27,38
Rpta. : "C"
PROBLEMA 9 :
Dos triángulos equiláteros ABC y ABD forman un ángulo diedro de 90°. Hallar el coseno del ángulo DAC.
A) 2/3
B) 1/6
C) 3/4
D) 3/5
E) 1/4
Rpta. : "C"
PROBLEMA 10 :
Un estudiante observa una estatua, con visuales que miden 8m y 7m; las cuales forman un ángulo de 60°. Calcule la altura de la estatua.
A) √57m
B) √59m
C) √47m
D) √37m
E) √67m
Rpta. : "A"
PROBLEMA 11 :
En una comunidad de la provincia de Yauyos está a la venta un terreno con forma triangular cuyos lados miden 5 km, 7 km y 8 km. Si θ es la medida del mayor ángulo interior del terreno y el precio por kilómetro cuadrado del terreno es (7√3cosθ)miles de soles, ¿cuánto es el precio del terreno?
A) S / . 25 000
B) S / . 30 000
C) S / . 35 000
D) S / . 28 000
Rpta. : "B"
PROBLEMA 12 :
Determine la longitud del mayor lado de un triángulo obtusángulo sabiendo que la suma de las longitudes de los otros lados es 36 m y que estos forman un ángulo de 120º, además la bisectriz de dicho ángulo mide 11 m.
A) 20 m
B) 28 m
C) 25 m
D) 30 m
Rpta. : "D"
PROBLEMA 13 :
Las longitudes de los lados de un triángulo miden (2x+3)cm, (x²+3x+3) cm y (x²+2x) cm, con x>0. Halle la medida del mayor ángulo interior de dicho triángulo.
A) 150°
B) 120°
C) 90°
D) 135°
Rpta. : "B"
PROBLEMA 14 :
Andrés, Benjamín y Carlos son tres jóvenes corriendo sobre una pista atlética de forma circular. En cierto instante Andrés desde su posición observa a Benjamín en la dirección E10°S a 35 m y también observa a Carlos en la dirección S27°E a 42 m. Calcule la distancia entre Benjamín y Carlos.
A) 35 m
B) 36 m
C) 48 m
D) 42 m
Rpta. : "A"
PROBLEMA 15 :
Las longitudes de los lados de un triángulo miden sec⁶45°u , 5cot²135°u y (sec²60°+cot²30°)u.
Marque la alternativa que corresponde al valor del coseno del menor ángulo.
A) –2/3
B) –1/16
C) 3/4
D) 7/15
E) 11/14
Rpta. : "E"
PROBLEMA 16 :
Un niño sostiene dos globos . El ángulo de elevación del globo que tiene en la mano derecha es de 21° y la cuerda mide “a” . el ángulo de elevación del globo que sostiene en la mano izquierda es de 24° y la cuerda mide a√2m ¿Cuál es la distancia que hay entre los dos globos?
A) √7a
B) √5a
C) √3a
D) √13a
E) √17a
Rpta. : "B"
PROBLEMA 17 :
Desde la base militar de la marina de guerra ubicada en el puerto del Callao, una Fragata se desplaza a una rapidez constante de 80 km/h en la dirección S65°O por el tiempo de media hora. Luego cambia de dirección hacia N55°O por el lapso de un cuarto de hora y con la misma velocidad, logrando así intervenir a una embarcación sospechosa.
¿A qué distancia del Puerto del Callao se intervino a la embarcación?
A) 30√7 km
B) 20√7 km
C) 140 km
D) 60 km
Rpta. : "B"
