SUMAS DE RIEMANN Y CÁLCULO DE ÁREAS POR SUMATORIAS PROBLEMAS RESUELTOS EN PDF



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  • SUMAS DE RIEMANN : Se denomina sumas de Riemann a la suma inferior y a la suma superior de f, correspondientes a la partición P. Se observa que conforme crece n, los valores de estas sumas se aproximan a un único valor, si éste existe. Área exacta bajo la curva. El área bajo la gráfica de la función continua y =f(x), y por encima del eje “x” en el intervalo , se calcula mediante: EL ÁREA COMO UNA SUMATORIA : Usualmente la palabra integración es aceptada desde dos puntos de vista: primero, como una antiderivada, y segundo, como una suma de partes, porque es de ahí de donde precisamente deriva su símbolo (una S alargada). ¿cuál es el área de un semicírculo de radio 3 ? Resolveremos el problema sin aplicar la fórmula que corresponde al área del círculo. Para esto trazamos un sistema de coordenadas y ubicamos una circunferencia con centro en el origen de radio 3, tal como se muestra en la figura. Sabemos que la ecuación de la circunferencia es x2+y2=9, donde: , son las ecuaciones de las semicircunferencias superior e inferior respectivamente. Para resolver este problema, elegimos la región que está sobre el eje de las x, y calcularemos el área de la región situada debajo de la curva , y encima del eje x . Nos aproximaremos al área pedida A construyendo rectángulos que estén inscritos y otros que estén circunscritos. Para esto necesitamos calcular la medida de la base de cada rectángulo, para lo cual necesitamos “particionar” el intervalo [–3;3] en intervalos más pequeños. Estos intervalos pueden ser de igual o diferente longitud. Caso 1 : Nos aproximamos al área pedida, considerando las áreas de los rectángulos. dividimos el intervalo [–3 ;3] en 6 subintervalos de igual longitud. ¿cómo se calcula dicha longitud? En general : si el intervalo [a;b] se divide en n subintervalos iguales, la longitud de cada uno de ellos está dada por . Para calcular la altura de cada rectángulo, determinamos un punto xi en cada intervalo, de modo que f(xi) sea la altura del rectángulo inscrito, y en otros casos, f(xi) sea la altura del rectángulo circunscrito. Intuitivamente, concluimos que el área A de la región pedida se encuentra entre estos dos valores, es decir: 10,13 < A < 16,13 Caso 2 : Ahora nos aproximamos al área pedida, considerando las áreas de 12 rectángulos. Trabajando de manera similar, en este caso, se hace la “partición”[–3;3] en 12 subintervalos de longitud 1/2 cada uno. Tabulamos las alturas de cada rectángulo inscrito: La base de cada rectángulo mide 1/2 y sus alturas (de izquierda a derecha) están indicadas en la tabla. El área total de los doce rectángulos es: Nótese que en este caso era mucho mejor aplicar la geometría elemental que este método de las sumatorias. En el siguiente ejemplo, veremos claramente la utilidad del cálculo de áreas mediante integración. Ejemplo 2 : Calcular el área de la región limitada por la gráfica de la función y =x2, por el eje “x” y las rectas verticales x=1 , x=4

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