INTEGRALES POR CAMBIO DE VARIABLE EJEMPLOS Y PROBLEMAS RESUELTOS PDF

A veces es conveniente hacer un cambio de variable, para transformar la integral dada en otra, de forma conocida. La técnica en cuestión recibe el nombre de método de sustitución. En palabras, si tenemos una función compuesta que queremos integrar, debemos verificar que la diferencial incluye a la derivada de la función u(x) para que podamos integrar. Observa que el término u′(x) solamente sirve para completar la diferencial. No es parte de la función f que vamos a integrar, de manera que no aparece en el resultado final. Sin embargo, no debes olvidar verificar que este término se encuentre en el integrando como un factor, de otra manera, la integral estará incorrecta.

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¿Qué ocurre cuando hacemos un cambio de variable? La mayor parte de las veces realizamos cambios de variable (en una integral definida, en un límite o para resolver una ecuación, …) sin preocuparnos demasiado por el dominio en el que estamos trabajando. La mayor parte de las veces todo funciona bien y no hay problemas. Pero no siempre todo marcha a la perfección. En este apartado nos centraremos en cambios de variable en el entorno de la integración. Sin embargo, hay que darse cuenta de que el funcionamiento de los cambios de variables e idéntico ea cual ea el contexto en que e realizan (integrale , límite , …) Consideremos la integral: Para resolverla podemos emplear el cambio de variable y la integral se transforma en En este caso, el integrando original, , está definido en todo ℝ, es decir, . Cuando pasamos a la integral la variable t también varía en todo ℝ. El cambio transforma el intervalo en el intervalo , es decir, A cada valor de x le corresponde un único valor de t y a cada valor de t le corresponde un único valor de x. Conociendo el valor x conocemos el valor de t, y viceversa. Valor de x INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE TENIENDO EN CUENTA EL DOMINIO