IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS PARA EL ANGULO COMPUESTO EJERCICIOS RESUELTOS PDF

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  • OBJETIVOS : Al finalizar la unidad , el alumno será capaz de: * Demostrar las identidades de las razones trigonométricas de la suma y diferencia de dos ángulos. * Aplicar las identidades de las razones trigonométricas de la suma y diferencia de dos ángulos en la resolución de problemas analíticos y gráficos. INTRODUCCIÓN : Con este tema se concluye toda la Trigonometría plana que pensaba exponer; en él responderemos a las siguientes preguntas: ¿Además de las relaciones y propiedades trigonométricas estudiadas hay otras que interesan? ¿Por qué son necesarias tales propiedades y relaciones? ¿Para qué las usaremos? ¿Que ocurre en las razones trigonométricas cuando sus ángulos se suman o se restan? ¿Que ocurre en las razones trigonométricas cuando sus ángulos se multiplican o dividen por un número? Responderemos: Las razones trigonométricas no gozan de la propiedad asociativa de la suma o del producto. Dicho de otra manera: De la suma o diferencia de arcos, no se sigue la suma o diferencia de las razones. Si un ángulo se duplica no se duplica la razón. Demostraciones : De la figura: Dividiendo entre : Seno de la Suma de Dos Ángulos Si el ángulo del seno esta compuesto por otros dos ángulos “” y “” , entonces el seno de este ángulo compuesto se puede expresar en términos de “” y “”, así: Ejemplos: * sen3x = sen(2x + x) = sen2xcosx + cos2x senx * sen40°=sen(25°+15°)=sen25°cos15°+cos25°sen15° * sen4xcosx + cos4x senx = sen(4x + x) = sen5x * sen10°cos6°+cos10°sen6° = sen(10°+6°) = sen16° * sen 75° sen75°=sen(45° + 30°) sen75°=sen45°cos30°+sen30°cos45° * Calcule sen67° sen67°=sen30°+37° sen67°=sen30°cos37°+cos30°sen37° * Sen98° = Sen( 45°+53°) Sen98°=Sen45°Cos53°+Cos45°Sen53° Seno de la Diferencia de Dos Ángulos Ejemplos: * Sen2x = sen(3x–x)=sen3xcosx – cos3xsenx * sen20°= sen(25°–5°) = sen25°cos5° – cos25°sen5° * sen6xcos4x– cos6xsen4x = sen(6x– 4x) = sen2x * sen14°cos10°– cos14°sen10°= sen(14°–10°) = sen4° * Calcular el valor de sen15° RESOLUCIÓN: * sen15°= sen (45° –30°) *sen15°=sen45°cos30° – cos45°sen30° * Coseno de la Suma de Dos Ángulos Si el ángulo del coseno esta compuesto por otros dos ángulos “” y “” entonces el coseno de este ángulo compuesto se puede expresar en términos de “” y “” así: Ejemplos: * cos5x = cos(3x + 2x) = cos3xcos2x– sen3xsen2x * cos10°= cos(7°+ 3°) = cos7°cos3° – sen7°sen3° * cos2xcosx– sen2xsenx = cos(2x + x) = cos3x * cos13°cos4°– sen13°sen4°=cos(13°+4°)=cos17° * Calcular cos16° cos16°=cos(53° – 37°) cos16°=cos53°cos37°+ sen53°sen37° Coseno de la Diferencia de Ángulos Ejemplos: *cos2x = cos(5x–3x) = cos5xcos3x + sen3xsen2x *cos17°= cos(25°– 8°) = cos25°cos8°+ sen25° sen8° * cos3xcos2x+sen3xsen2x=cos(3x – 2x)=cosx * cos10°cos3°+sen10°sen3°=cos(10° – 3°)=cos7° * Calcule cos7° cos7°=cos(60°– 53°) cos7°=sen60°cos53°+sen60°sen53° Tangente de la Suma de Dos Angulos Ejemplos: Tangente de la Diferencia de Dos Angulos Ejemplos: * Calcule: tan16° RESUMEN : * Para la Suma de Dos Arcos: * Para la Diferencia de Dos Arcos: Identidades Adicionales: Ejemplo: TEOREMA 1 : Siendo a y b números reales , x variable real se cumple: Donde: Ejemplos: * * senx – cosx = 2sen(x – 45°) TEOREMA 2 : Siendo: , se cumple: Ejemplos: Identidad Para Tres Variables propiedad : Ejercicio 1 : Si calcule: Resolución: Desarrollando el dato, se tiene: Ejercicio 2 : Calcule el valor de Resolución: Dando al numerador la forma de la diferencia de dos ángulos, se tiene: Desarrollando el numerador se tiene: factorizando: se tiene: Ejercicio 3 : Si : . Calcule: Tan(60°+x) Resolución: Como 60°+x= 45° +(15°+ x) , se tiene: Ejercicio 4 : Si ABCD es un cuadrado, halle . Resolución: * Del gráfico se observa que el lado del cuadrado es igual a 6. De los triángulos rectángulos ADF y DAE se obtienen: Del triángulo AGD ( por ángulo exterior ): entonces: luego: Ejercicio 5 : Reduzca: Tanx+Tan2x+Tan3xTan2xTanx)Cot3x Resolución: Si: 2x+x=3x, entonces: Tan (2x+x)=Tan 3x Desarrollando el primer miembro, se obtiene: Luego: Tan 2x+Tanx=Tan 3x –Tan 3x Tan 2x Tan x Ordenando: Tan x+Tan 2x+Tan 3x Tan 2x Tan x=Tan 3x En el problema, dentro del paréntesis, tenemos: Tan x +Tan 2x+Tan 3x Tan xTan 2x =Tan 3x Finalmente: Tan3xCot3x=1 Ejercicio 6 : Simplifique lo siguiente : Resolución: Por identidad trigonométrica, se tiene: Aplicando identidades auxiliares: Ejercicio 7 : Simplifique lo siguiente : Resolución: Ejercicio 8 : Simplifique lo siguiente : Cos(60°+z)Cos(60°– z) – Cos2z Resolución: Aplicando identidades auxiliares: Cos(60°+ z)Cos(60° –z) –Cos2z=Cos260°– Sen2z–Cos2z Ejercicio 9 : Simplifique lo siguiente : Cos(x + y+z)Cos(x+y–z) +Sen2z Resolución: Ejercicio 10 : Simplifique lo siguiente : Resolución: Ejercicio 11 : Simplifique lo siguiente : Resolución: Ejercicio 12 : Simplifique lo siguiente : Resolución:

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