FUNCIONES y MODELOS FUNCIONALES EJERCICIOS RESUELTOS PDF MODELIZACION - LAS FUNCIONES COMO MODELOS MATEMATICOS
Identificar e interpretar las distintas representaciones que tiene una función de variable real.
• Analizar y evaluar funciones básicas de variable real determinando su dominio y rango.
• Identificar y realizar el álgebra de funciones de variable real: suma, producto, cociente y composición de funciones.
• Reconocer las gráficas de algunas funciones básicas de variable real con su dominio y recorrido: polinómicas, a trozos, racionales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas.
• Realizar problemas de aplicación que requieran la modelación de funciones de variable real.
• Identificar funciones inyectivas y determinar sus inversas. • Utilizar las propiedades de los logaritmos para simplificar algunas expresiones algebraicas.
• Resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas aplicando las propiedades de los exponentes y los logaritmos.
• Identificar las asíntotas verticales y horizontales de algunas funciones racionales. • Identificar los elementos básicos de las funciones hiperbólicas: ecuaciones y gráficas. D
ominio de una función Casos para hallar el dominio de una función
Caso I
Caso II
Restricción del dominio
Construcción de funciones
Gráfica de una función
Función par
Función impar
Álgebra de funciones
Composición de funciones
Función inyectiva o uno a uno
Definición de función inyectiva Criterio de la línea vertical Criterio de la línea horizotal Función inversa Tipos de funciones Asíntotas verticales y horizontales Transformaciones de funciones Función cuadrática: F u n c ió n r a í z c u a d rada: C oe ÈB C oe È$ B C oe " B Ð " Ñ # B " " # C oe ÈB Función cúbica: Función raíz cúbica: C oe ÈB C oe È$ B C oe " B oe Ð " Ñ # B " " # C oe ÈB Función exponencial: con Función lineal: Función idéntica: Función constante: Traslaciones verticales y horizontales Traslaciones horizontales Reflexiones verticales y horizontal Contracción y alargamiento vertical Contracción y alargamiento horizontal Valor absoluto de una función Función cuadrática Función exponencial Clasificación de las funciones exponenciales Función exponencial natural Propiedades Logaritmos Propiedades Ecuaciones exponenciales y logarítmicas Problemas Aplicaciones de la función exponencial El número Función logarítmica Aplicaciones Función logística Funciones hiperbólicas Identidades hiperbólicas Modelos funcionales Resumen del capítulo 4 Logarítmos Exponentes Tabla de resumen del capítulo 4 Funciones y modelos funcionales El área de un círculo depende del radio del mismo. La ecuación que relaciona el radio con el área A es Aπ, es decir, que para cada valor mayor que cero que se asigne a , existe un valor asociado al área A, por lo tanto, podemos asegurar que A es una función de . De acuerdo al ejemplo anterior, una función es una regla de asignación, en la cual a cada valor del radio del círculo, se le asigna un único elemento llamado A, designado como el área del círculo es decir, el área A del círculo en función del radio se escribe π. Definición: una función es una regla que asigna a cada elemento de un conjunto , un único elemento llamado en el conjunto . Relacionando un gráfico con respecto a la definición anterior: Dominio de una función Definición: el conjunto para el cual asigna una única imagen se denomina dominio de la función , denominado como . Recorrido: es el conjunto de imágenes de la función , denotado como . En lo que se refiere al recorrido de la función , este se calcula con base al dominio ya establecido. El recorrido de una función se determina por la propia ley (fórmula) que define la función, mientras que el dominio se fija por las condiciones o por el sentido del problema a resolver. Cuando definimos una función como , el son los valores que toma , por lo tanto, para hallar el recorrido expresamos en función de , hallamos los valores para los cuales está definida. Construcción de funciones En el mundo real se presentan muchas situaciones concretas en las que intervienen variables relacionadas entre sí, en las cuales el valor de cada una de ellas depende del valor de la otra, por ejemplo, el ingreso mensual de una empresa puede depender del número de artículos producidos y vendidos. El crecimiento de una planta medida en centímetros depende de la variable tiempo. Son diversas las aplicaciones que tienen las funciones a las ciencias como la física, química, administración, economía e ingeniería, entre otras. Antes de mencionar algunos ejemplos de modelos funcionales es importante destacar la variable independiente de la variable dependiente. "Variable Independiente" es un símbolo que representa a un número arbitrario en el dominio de una función , mientras que la variable dependiente es un símbolo que representa a un número en el recorrido de . Por ejemplo, la función que extrae la raíz cuadrada a un número , se podría definir con más precisión. Como que a cada número se le asigna un número y mediante la regla de asignación Por lo tanto es la variable independiente mientras que es la variable dependiente. Ejemplos 1. El ingreso de la venta de un producto depende del número de unidades y del precio unitario; si el precio unitario es de $1.000 y el número de unidades vendidas es , el ingreso , es: . 2. Si representa la temperatura expresada en grados Fahrenheit, la temperatura en grados centígrados, es una función de , dada por: Si queremos o necesitamos expresar una temperatura de 95°F (Fahrenheit) en grados Centígrados tenemos: , es decir 95°F equivalen a 35°C 3. El valor futuro de un capital de $5'000.000 colocado a un interés compuesto del 3% mensual depende, del número de meses que esté colocado. Si representa el número de meses tenemos: Gráfica de una función Una manera de percibir intuitivamente propiedades de una función es graficarla, partimos de poder asignar números a los puntos; cuando estos puntos corresponden al plano para asignar números reales a los puntos, se establecen dos rectas perpendiculares de referencia denominadas ejes coordenados, uno, el eje horizontal o de las , y el otro, el eje vertical o de las . El punto de intersección de los ejes se denomina el origen y al plano se identifica como el plano o plano cartesiano. Una vez establecidos los ejes coordenados, para el eje a la derecha del origen se elige un punto cuya distancia al origen es la unidad; análogamente para el eje se elige el punto arriba del origen, cuya distancia al origen es la unidad. A cada punto del plano se le asigna un pareja ordenada de números reales , llamadas las coordenadas del punto, donde se denomina la abcisa y representa la distancia del punto al eje , se denomina la ordenada y representa la distancia del punto al eje . Dos parejas ordenadas ,, , corresponden al mismo punto, es decir, ,, si y solo si y y Una curva en el plano cartesiano corresponde a la gráfica de una función si y solo si, toda recta vertical que intersecte a la curva lo hace en un único punto, este criterio geométrico que se denomina criterio de la línea vertical corresponde a la definición formal de función. Una función de en es un subconjunto de parejas ordenadas del producto cartesiano , donde el primer elemento nunca se repite. Función par Si una función satisface la condición que, se dice que es una función par, para todo del dominio, como se muestra en la gráfica. Función impar Si satisface la condición de: , es una función impar en todo su dominio. Composición de funciones Existe otra manera de combinar funciones para obtener una nueva función llamada composición de funciones. Función inyectiva o uno a uno Consideremos la función para lo cual tomamos dos valores reales diferentes de su dominio, por ejemplo 2 y 2 en el cual su imagen es equivalente a que son iguales, como se muestra en la siguiente figura: Definición de función inyectiva Una función con dominio en y recorrido en es inyectiva (uno a uno) si cumple una de las condiciones siguientes: 1. Dados dos elementos del dominio distintos sus respectivas imágenes son diferentes, es decir: Criterio de la línea vertical Para saber si una relación es función mediate su gráfica se traza una línea paralela al eje si corta a la gráfica de la relación solamente en un punto, la relación es función. Criterio de la línea horizotal Para saber si una función es uno a uno mediate su gráfica se traza una línea paralela al eje y si corta a la gráfica de la función solamente en un punto, la función es uno a uno o inyectiva Función inversa Si tenemos una función inyectiva o uno a uno con dominio y recorrido , es decir : podemos definir una función denotada en la cuál el dominio pasa a ser el recorrido de y el recorrido pasa a ser el domino de es decir: Gráfica de la función inversa La gráfica se obtiene reflejando gráfica de en la recta . Si observamos el punto , al reflejarlo en queda en la coordenada ,, ahora si tenemos una gráfica y se refleja en nos da la gráfica de la inversa de Tipos de funciones Vamos a mencionar algunas funciones que usualmente se utilizan en cálculo Las funciones se clasifican de la siguiente manera: • Función constante • Función potencia • Función raíz • Función polinómica • Función racional • Función algebraica • Funciones exponenciales y logarítmicas • Funciones trigonométricas • Función valor absoluto. Transformaciones de funciones Antes de mencionar los diferentes tipos de transformaciones que se le pueden aplicar a las funciones, mostraremos un listado de las gráficas de funciones con sus correspondientes nombres y ecuaciones más usuales, que vamos a utilizar para facilitar dichas transformaciones, que se deben tener en cuenta más adelante. Es importante que el lector tenga en cuenta este listado de funciones más usuales para facilitar el trabajo de las gráficas con sus transformaciones, como se enseña en la siguiente tabla. Traslaciones verticales y horizontales Este tipo de transformación consiste en trasladar una función original verticalmente u horizontalmente; si el recorrido es vertical, la función original la podemos trasladar hacia arriba o hacia abajo unidades; mientras que si el recorrido es horizontal, la función se traslada hacia la derecha o izquierda unidades. Traslaciones horizontales Si suponemos que , para las traslaciones horizontales se puede observar que la gráfica o se traslada la gráfica original unidades la derecha y a la izquierda, respectivamente. Reflexiones verticales y horizontal Las reflexiones verticales se realizan sobre el eje , mientras que las reflexiones horizontales se hacen sobre el eje , es decir: a) (), refleja la gráfica original (), con respecto al eje de b) (), refleja la gráfica original () con respecto al eje Contracción y alargamiento vertical Si multiplicamos una función por una constante 1 observamos que la función es la gráfica de alargada verticalmente veces. En forma similar, si multiplicamos una función por una constante C oe È B C oe ÈB 5 1 C oe 50 ÐBÑ C oe 0(B) Contracción y alargamiento horizontal Supongamos que , entonces la gráfica se obtiene de la ecuación reduciendo esta horizontalmente en un factor , mientras que la gráfica alarga horizontalmente la función original . Valor absoluto de una función Otra transformación importante es tomar el valor absoluto de una función, es decir, si , la parte de la gráfica de , figura 1, que esta bajo el eje se refleja sobre el mismo eje, como se observa el la figura 2. Función cuadrática Cuando el crecimiento de la función es constante, tenemos un modelo lineal, pero en muchos problemas prácticos el crecimiento de una función puede ser a su vez creciente (concavidad hacia arriba) o decreciente (concavidad hacia abajo), en principio la función más simple que representa cada una de estas situaciones es la función polinómica de segundo grado o cuadrática. La función polinómica de segundo grado usualmente se nota donde . Como en toda función polinómica el dominio de una función cuadrática es el conjunto de los números reales. Unas transformaciones adecuadas nos permiten hacer un análisis de la función, veamos Función exponencial Una ecuación que tiene la forma se le denomina función exponencial, donde , acerca de esta función podemos hacer las siguientes consideraciones, en donde mostramos su gran utilidad. a Si la función se convierte en una expresión de la forma b Si evaluamos a cero en dicha función, obtenemos c Si evaluamos un número racional , donde y son números enteros y , entonces la función toma la forma : ; 0( ) oe + oe + : ; : : ; È; 0( 8) oe +8 oe " +8 0(B) oe 3B 0(B) oe Ð " Ñ $ B 0(B) oe 1B 0 1 " este tipo de consideraciones es importante, puesto que de ella surge la necesidad de cómo evaluar un número real positivo elevado a una potencia racional, todo se reduce a un problema llamado radicación. Función exponencial natural Si en la función tomamos la función se transforma en , el número es un número irracional cuyo valor aproximado es 2.718281828459045, y como la gráfica de es creciente Las características de esta función son