FUNCIONES INYECTIVAS EJERCICIOS RESUELTOS

EJERCICIO 1 :

Indicar el dominio de la función f(x) =x², si es inyectiva. 

A) –1<x<1 

B) –∞<x<+ ∞ 

C) x ≥ 0 

D) –1<x<3 

E) –2 ≤ x ≤ 4 

RESOLUCIÓN :

Rpta. : "C"

 función inyectiva o univalente 

La función F es inyectiva (univalente o uno a uno) cuando para cada imagen «y» le corresponde una y sólo una pre-imagen «x». Simbólicamente : Si o equivalentemente: 

Si Estos nos indica que ninguna de las imágenes está relacionada con más de una pre-imagen. Si se analiza los pares ordenados de una función inyectiva , se observa que ninguna segunda componente aparece más de una vez. 

Regla práctica : 

Si f es una función inyectiva , una paralela al eje x debe intersecar a la gráfica de la función a lo más en un punto es decir cualquier recta horizontal que corte a la gráfica , lo hará en un solo punto. 

Ejemplo 1: 

La gráfica de la figura define la aplicación . Esto es: Es una función inyectiva , porque a los elementos diferentes 1 ; 2 y 3 del dominio le corresponden las imágenes 6 ; 7 y 8 que también son diferentes. Ejemplo 2: Al existir dos elementos en el dominio con la misma imagen bastará para afirmar que «f» no será inyectiva. Ejemplo 3 : ¿ Es inyectiva f(x) = – 3x + 2 ? 

Resolución : 

* Partimos de dos imágenes que sean iguales f(x1)=f(x2). Si logramos establecer que x1=x2 , habremos demostrado que es inyectiva. Entonces: y de aquí Por lo tanto, la función es inyectiva . La gráfica de esta función corresponde a una recta inclinada , lo cual implica que cualquier paralela al eje x la intersecará en un solo punto , como era de esperarse. Ejemplo 4: La recta horizontal corta en dos puntos al gráfico de la función f(x) = x2, entonces la función no es univalente o inyectiva. La recta horizontal corta en un solo punto al gráfico de la función g(x) = x3, entonces la función es univalente o inyectiva. Para averiguar si una función es inyectiva cualquier recta horizontal debe cortar a la gráfica de la función a lo más en un punto. Ejemplo 5 : La función al ser graficada , será : No es inyectiva dado que existen rectas horizontales , que cortan al gráfico en dos puntos . Pero si restringimos , el dominio a resultaría En este caso si sería inyectiva . Ejemplo 6 : Mostrar f : con : es inyectiva. Resolución: Sean x1, x2 Domf , luego : f(x1) = f(x2 f es inyectiva. Ejemplo 7: Sea la función : , si determinar si f es univalente . Resolución : Hagamos . Si la única solución de esta ecuación es x1 = x2 entonces f será univalente . Así Si Si : Veamos si se verifica como y Así parece que puede ser que . Pero esto se obtiene solo si ambos x1 y x2 son iguales a –2. Entonces x1 = x2 = –2, verifica (I) por lo que f es univalente , ya que en cualquier otro caso : TEOREMA : Si f es una función creciente (o decreciente), entonces f es inyectiva. Demostración: Sea f una función creciente y sean