FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES , APLICACIÓN DE LA PRIMERA DERIVADA PROBLEMAS RESUELTOS PDF

 

 

 

 

 

 

 

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Criterio de la primera derivada para graficar funciones. 

El siguiente teorema muestra cómo puede usarse la derivada para determinar los intervalos en los que una función es creciente o decreciente. 

Teorema: 

Sea ƒ una función que es continua en un intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b). (a) Si ƒ’(x) > 0 para todo x en (a, b), entonces ƒ es creciente ( (b) Si ƒ’(x) < 0 para todo x en (a, b), entonces ƒ es decreciente 

En general, para calcular el dominio de una función F(x) hay que excluir los valores de x donde no está definida (no exista) la función dada, que anulen el denominador y todos los valores que hacen negativo el interior de una raíz (de índice par). 

2) Calcular la primera derivada, utilizando los teoremas respectivos, para cada caso, se recomienda factorizar y simplificar la expresión de la derivada. 

3) Buscar los valores críticos, igualando la primera derivada a cero, y luego despejar los valores de la variable x, además, buscar los valores de la variable mencionada donde no existe la derivada. 4) En un cuadro de cuatro columnas se analiza la función de la siguiente manera: 

4.1) Primera columna: se organizan intervalos formados por los valores críticos encontrados ordenados de menor a mayor. 4.2) Segunda columna: se coloca la función dada, para en ella sustituir los valores críticos, y conocer donde se localizan los extremos relativos en el plano cartesiano. 4.3) Tercera columna: se coloca la primera derivada, para buscar el signo que esta posee, dándole un valor que esté en cada uno de los intervalos formados por los valores críticos. 4.4) Cuarta columna: indica el resumen de lo analizado. En ella se indica el resultado al aplicar los teoremas respectivos. (Intervalos donde la función crece, Intervalos donde la función decrece, puntos máximos, puntos mínimos si existen). 5) Se determina los cortes con los ejes y luego se grafica de acuerdo al resumen. Máximos de una Función. En un punto x0, en el que la derivada se anule y antes sea positiva y después del punto negativa, se dice que la función tiene un máximo relativo. Máximo en (x0, f(x0)). Es decir, que F'(x0) = 0, y en ese punto, la función, pase de creciente a decreciente, (se anula y cambia de signo). Mínimos de una Función. En un punto x0, en el que la derivada se anule y antes sea negativa y después del punto positiva, se dice que la función tiene un mínimo relativo. Mín. en (x0, f(x0)). Es decir, que F'(x0) = 0 y en ese punto, la función, pase de decreciente a creciente, (se anula y cambia de signo). Para que una función tenga máximo o mínimo no es suficiente con que su derivada se anule (debe, además, cambiar de signo). La existencia de máximos y mínimos puede depender del tipo de intervalo y de la continuidad de la función. El siguiente teorema enuncia condiciones bajo las cuales una función alcanza un máximo y un mínimo en un intervalo. Regla práctica para calcular rangos de funciones crecientes y decrecientes Sea/ una función cuyo dominio es [a; b] y cuya gráfica es una curva continua dibujada de un solo trazo (sin saltos bruscos verticales). Luego • Si/ es creciente, entonces Ran/= [/(a); /(b)] • Si/ es decreciente, entonces Ran/= [/(b);f(a)]