FUNCION INVERSA EJEMPLOS Y EJERCICIOS RESUELTOS PDF
cálculo de la función inversa Si f es una función : y = f(x) biyectiva
I) Se despeja x , x = g(y)
II) Se reemplaza y por x y a la función y se llama inversa de f y se denota por f
*. GRÁFICA DE LA FUNCIÓN INVERSA
Para que ‘‘f’’ tenga inversa a la gráfica de la relación f* toda recta vertical debe cortarla a lo más en un punto o que es lo mismo : que a la gráfica de f toda recta horizontal la corte a lo más en un punto (en otras palabras f debe ser inyectiva). Para obtener la gráfica de f* se refleja la gráfica de f en la recta L : y = x (eje de simetría)
PROPIEDADES :
I) f * es biyectiva , existe f ** y como : entonces: Luego : f** = f
II) Si I es la función identidad , entonces: f o f* = I , sobre Domf* f* o f = I , sobre Domf
III) Inversa de una función compuesta. Si f y g son biyectivas tal que existe f o g, entonces: (f o g)* existe: (f o g)* = g* o f* nota Sean f y g funciones tales que : una de ellas o ambas pueden no ser biyectivas, sin embargo la función (f o g)* puede existir : En este caso , no se aplica : (f o g)* = g* o f* pues no existe g* o f*, ya que al menos una de las funciones f* o g* (o ambas) no existe.
Una función f es uno a uno, si cada f (x) en el recorrido es la imagen de exactamente un único elemento del dominio. Para que una función posea función inversa, ésta debe ser uno a uno o inyectiva.
INVERSA DE UNA FUNCiÓN
EJERCICIO 1 : ¿Cuál de las siguientes funciones es uno a uno? a) { (1,2), (2,4), (3,2) } b) { (1,2), (2,4), (3,6), (4,8) } c) { (2,5), (3,6), (4,6) } d) { (2,5), (3,6), (4,7), (5,6) }
EJERCICIO 2 :
De las siguientes funciones la que no posee inversa es a) f (x) = 5x b) f (x) = 2x3 c) f (x) = 3x2 d) f (x) =3x – 2 Ejemplo 1 : Si tienes la función f = {(−3, −5), (−2,−3), (−1, −1), (0,1), (1, 3), (2, 5)}. Observa los pares ordenados que la forman, determina si es uno a uno; si lo es, encuentra la función inversa y determina dominio y rango de ambas funciones.
ACTIVIDADES :
1. Encuentra la función inversa y determina el dominio y recorrido de ambas funciones, en cada una de las situaciones siguientes: a) f = {(−1, −5), (0, −4), (1, −3),(2, −2),(3, −1), (4, 0), (5, 1)} b) f = {(−2, −8), (−1, −1), (0, 0),(1, 1),(2, 8), (3, 27)} c) f = {(−3, −15), (−2, −10), (−1, −5),(0, 0),(1, 5), (2, 10), (3, 15)} ¿Qué pasos sigues para encontrar la inversa de una función? 2. La función f (x) = π x2 se puede utilizar para determinar el área de un círculo, donde x es la longitud del radio.¿ puedes encontrar el valor del radio si conoces su área? Ejemplo 3 Encuentra la función inversa de f (x) = {(−2, 7), (−1, 5), (0, 3), (1, 1), (2, −1), (3, −3)} y determina el dominio y recorrido de ambas funciones. Ejemplo 5 Tomando en cuenta los procesos aplicados en los ejemplor anteriores para encontrar la inversa de una función, encuentra la inversa de la función y = 2x + 3, y grafica ambas en el mismo plano Ejemplo 8 Determina la función inversa de f (x) = x2 – 2. Grafica ambas en el mismo plano y determina su dominio y recorrido.