FUNCIÓN BIYECTIVA EJEMPLOS Y EJERCICIOS RESUELTOS

PROBLEMA 1 :

Si la función f :[a,b]→[−1,5] 

f(x)=∛(x−2) es biyectiva, hallar el valor de a+b 

A) 125 

B) 127 

C) 128 

D) 129 

E) 131 

RESOLUCIÓN :

Rpta. : "C"

*

funciones biyectivas : 

Una función es biyectiva cuando es inyectiva y sobreyectiva a la vez . Se le conoce porque su gráfica es cortada por cualquier recta paralela al eje X y , además, este corte se produce en un solo punto. Interpretación gráfica : 

Observamos que el rango coincide con el conjunto de llegada y cada elemento de éste es imagen de un sólo elemento del dominio, es decir, es sobreyectiva e inyectiva a la vez. Ejemplo 1: Sea la función f: , definida de A en B mediante el gráfico de la figura. 

Podemos afirmar que :

 I) A elementos diferentes del dominio le corresponden imágenes diferentes. 

II) El rango de «f» está formado por los elementos a , b , c que forman todo el conjunto de llegada B . 

De (I) y (II) concluímos que la aplicación «f es biyectiva de A en B» 

Ejemplo 2 : 

Dada la función h:, definida de C en D según el gráfico de la figura , podemos afirmar que El rango de la aplicación «h» está formado por los elementos «a» y «b», que no son todos los elementos del conjunto D. Luego , la aplicación «h» de C en D no es biyectiva. Ejemplo 3 : Dada la función g:, definida de E en F , según el gráfico de la figura, podemos afirmar que : A los elementos 8 y 1 del dominio, que son diferentes, les corresponde la misma imagen «n». Es decir y Por esta razón , la aplicación «g» de E en F no es biyectiva.

 CONCLUSIÓN : 

Una función de A en B es biyectiva si cumple con las condiciones siguientes: I) El rango de la aplicación es todo el conjunto de llegada, o sea B. II) A elementos diferentes de A les corresponde imágenes diferentes . 

Es decir, la aplicación es INYECTIVA y SOBREYECTIVA. 

En otras palabras : Una aplicación f de A en B es biyectiva , si a cualquier elemento de B le corresponde un único elemento de A y reciprocamente, a cualquier elemento de A le corresponde un único elemento de B. Ejemplo 4: Sea la función f :definida por:

 I) Será sobreyectiva , porque 

II)Será inyectiva , porque y , como son positivos , se deduce que 

Luego se trata de una función biyectiva. 

Ejemplo 5 : 

Averigue si la función : f: definida por: , es biyectiva Resolución : Veamos si f es inyectiva Sean Luego : implica Por tanto, f es inyectiva V

eamos si f es sobreyectiva: Hallemos el rango de f como Luego Por tanto f no es sobreyectiva . 

Finalmente f no es biyectiva . Ejemplo 6 : Sea : f : , f(x) = 1– 2x biyectiva y g:, g(x)= igualmente biyectiva calcular B. Resolución: Como f es biyectiva Ranf = A