DIVISORES BINÓMICOS EJERCICIOS RESUELTOS DE FACTORIZACIÓN PDF
FACTORIZACIÓN POR DIVISORES BINÓMICOS
Este método se basa en el criterio del teorema del resto:
𝑖) Si P(x) es divisible entre (x – a) entonces P(a)=0
𝑖𝑖) Si P(x) es divisible entre (x+b) entonces P(–b)=0
Observando en forma inversa:
𝑖) Si P(a)=0 entonces un factor es (x–a)
𝑖𝑖) Si P(–b)=0 entonces un factor es (x+b)
CASO DE POLINOMIOS MÓNICOS
El polinomio mónico se caracteriza porque el coeficiente de su máxima potencia es igual a la unidad.
𝑖) Se hallan todos los divisores del término independiente del polinomio P(x) a factorizar; los divisores se consideran con el signo más y menos.
𝑖𝑖) Cada divisor con signo (+) o signo (–) se evalúa en P(x), si alguna de las evaluaciones vale cero, hemos encontrado un factor lineal.
𝑖𝑖𝑖) Se recomienda encontrar una cantidad de ceros igual al grado del polinomio P(x) menos dos.
EJEMPLO :
Factorizar : x³ – 75x² + 3x – 2
CASO DE POLINOMIOS NO MÓNICOS
Sea P(x) el polinomio a factorizar:
𝑖) Se hallan los divisores correspondientes al término independiente de P(x) y los divisores correspondientes al coeficiente de la máxima potencia.
𝑖𝑖) Los divisores a evaluar son los divisores del término independiente más las fracciones que se obtienen al dividir los divisores del término independiente entre los divisores del coeficiente de la máxima potencia.
EJEMPLO :
Factorizar : 3x³ + x² – 11x – 5
FACTORIZACIÓN EMPLEANDO EL MÉTODO DE LOS DIVISORES BINOMIOS
Este método se emplea para factorizar polinomios de una sola variable y de cualquier grado, cuya única condición fundamental es que acepten al menos un factor de primer grado.
Determinación de los posibles ceros de un polinomio:
Si el polinomio tiene como primer coeficiente la unidad, los posibles ceros, estarán dados por los divisores del término independiente con su doble signo.
Para hallar los posibles valores de los divisores de un polinomio se toma un divisor del numerador y se les combina con los del denominador.
Procedimientos a seguir para factorizar:
1°) Se determinan los ceros del polinomio.
2°) Se deduce el factor que da lugar al cero del polinomio, mediante el siguiente teorema de la divisibilidad algebraica: Si un polinomio P(x) se anula para x = a ó P(a) = 0, entonces dicho polinomio tendrá un factor (x – a).
3°) El otro factor se determina utilizando la regla de Ruffini, que se ha de emplear tantas veces como ceros tenga el polinomio, por lo general se recomienda llevarlo hasta un cociente adecuado (cuarto grado, para poder aplicar el aspa doble especial o de segundo grado que es más sencillo de factorizar).
EJERCICIO 1 :
Factorizar x⁵ + 4x⁴ – 10x² – x + 6 e indica el número de factores primos
A) 4
B) 2
C) 3
D) 5
E) 7
Rpta. : "A"
EJERCICIO 2 :
Obtenga el factor primo de menor grado de multiplicidad del polinomio:
x³ – x²– 8x + 12
EJERCICIO 3 :
Halle la suma de los factores primos lineales del polinomio:
x⁵ + 5x⁴ – 13x³ – 56x² – 108x – 144
PRACTICA DE CLASE
Factorizar los polinomios siguientes:
PREGUNTA 1 :
2x³ – 16x² + 34x – 20
Rpta. : "2(x – 1)(x – 2)(x – 5)"
PREGUNTA 2 :
x⁴ – x³ – 6x² + 4x + 8
Rpta. : "(x + 1)(x + 2)(x – 2)² "
PREGUNTA 3 :
x³ + 6x – 7
Rpta. : "(x –1)(x² + x + 7)"
PREGUNTA 4 :
x⁴+3x³ – 3x² – 11x – 6
Rpta. : "(x – 2)(x + 3)(x + 1)²"
PREGUNTA 5 :
x³ – 8x² + 17x – 10
Rpta. : "(x –1)(x – 2)(x – 5)"
PREGUNTA 6 :
2x³ + 3x² – 3x – 2
Rpta. : "(x – 1)(x + 2)(2x + 1)"
PREGUNTA 7 :
x³ + 2x² – 5x – 6
Rpta. : "(x + 1)(x - 2)(x + 3)"
PREGUNTA 8 :
9x³ + 3x² – 24x + 12
Rpta. : "3(x – 1)(x + 2)(3x – 2)"
PREGUNTA 9 :
2x³ + 3x + 5
Rpta. : "(x + 1)(2x² – 2x + 5)"
PREGUNTA 10 :
12x⁵ – 8x⁴ – 13x³+9x²+x – 1
Rpta. : "(x + 1)(x – 1)(3x + 1)(2x – 1)²"
