FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS SIMÉTRICOS Y ALTERNADOS EJERCICIOS RESUELTOS PDF

POLINOMIOS SIMÉTRICOS 

Los polinomios simétricos son aquellos que no se altera al hacer un intercambio simultáneo de cualquier pareja de variables. 

EJEMPLO : 

Sea p(x;y;z)= x²+y²+z²+xyz 

Si hacemos un intercambio de x por y y viceversa, se obtendrá: 

q(x;y;z)= y²+ x² + z² + yxz de donde se puede apreciar que: p(x;y;z)=q(x;y;z), entonces p(x;y;z) es un polinomio simétrico. 

Podría haberse escogido otra pareja, por ejemplo x con z ó y con z , y tampoco se alterará el polinomio. representación de los polinomios simétricos : 

1er grado 2 variables : a(x+y) 

1er grado 3 variables : a(x+y+z) 

2do grado 2 variables : a(x²+y²)+Bxy 

2do grado 3 variables : a(x²+y²+z²)+B(xy+xz+yz) 

3er grado 2 variables : a(x³+y³)+B(x²y+xy²) 

3er grado 3 variables : a(x³+y³+z³)+B(x²y+x²z+y²x+y²z+z²x+z²y)+Cxyz 

POLINOMIO ALTERNADO 

Es Aquel que se caracteriza cuando al hacer un cambio simultáneo de cualquier par de sus variables, sólo cambia de signo. 

EJEMPLO :

Sea: P(x;y;z) = x²(y– z)+ y²(z–x) + z²(y – x) 

Si intercambiamos simultáneamente x e y se tendrá: 

q(x;y;z) = y²(x– z)+ x²(z–y) + z²(x – y) 

q(x;y;z) =– [ x²(y– z)+ y²(z – x) + z²(y – x)] de donde se puede apreciar que: 

P(x;y;z) = – q(x;y;z), dando a entender que p(x;y;z) solo a cambiado de signo, es decir es un polinomio alternado. 

REGLAS 

☛ La suma, el producto y el cociente de dos expresiones simétricas cualesquiera es simétrica. 

☛ El producto de un polinomio simétrico por otro alternado da otro polinomio alternado. 

☛ Si un polinomio simétrico se anula para una de sus variables se anulará para todas las demás. 

☛ Si el polinomio simétrico se anulará para una variable igual a otra o su negativo, entonces se anulará para todas las combinaciones de ellas