FACTORIZACION POR ARTIFICIOS DE SUMAS Y RESTAS - QUITA Y PON EJEMPLOS Y EJERCICIOS RESUELTOS


Artificios diversos Para facilitar la factorización se puede hacer uso de los siguientes artificios: Cambio de variable : Cuando se repite una misma expresión en el polinomio, se usa el cambio de variable. Ejemplo 1 : Factorice el polimonio V (x) = (x2 + x + 2)2 – 5 (x2 + x + 2) + 6 Resolución: Haciendo el cambio de variable: x2 + x + 2 = a Con lo cual, el polinomio quedará así: V = a2 – 5a + 6 = (a – 3)(a – 2) Como a= x2+x+ 2 Entonces reponiendo: V(x) = (x2 + x + 2 – 3) (x2 + x + 2 – 2) Luego: V(x) = (x2+ x –1)(x2+ x) = x (x + 1)(x2+x –1) Ejemplo 2 : Factorice el polinomio: A(x) = (x2 + 3x + 1)2 – 6 (x2 + 3x + 1) + 5 Resolución: Haciendo cambio de variable: a= x2+ 3x+1, entonces: A = a2 – 6a + 5 = ( a – 1 )( a – 5 ) Luego, restituyendo: A(x)=(x2 + 3x + 1 – 1)(x2 + 3x +1 – 5) =(x2 + 3x)(x2+3x – 4) A(x) = x (x + 3)(x + 4)(x – 1) Agrupación adecuada : Aplicando la propiedad asociativa de la multiplicación y en forma adecuada para luego hacer un cambio de variable, se simplifica el proceso operativo. Ejemplo 1 : Factorice: B(x)=(x+2) (x+3) (x + 5) (x + 6) – 40 Resolución: Agrupemos los factores de 2 en 2 tal que resulta una expresión repetida; para ello la suma de términos independientes en cada grupo debe ser una misma cantidad. B(x) = [ (x + 2)(x + 6)] [(x + 3)(x + 5)] – 40 Reponiendo la variable inicial, es decir, reemplazando ‘‘a’’: Ejemplo 2 : Halle el número de F.P. lineales de: C(x) = (x + 1)(x + 3)(x – 2)(x + 6) –16 Resolución: C(x) = (a+3) (a –12)–16=a2– 9a – 36 – 16 C(x) = a2 – 9a – 52 = (a –13)(a + 4) C(x) = (x2+4x – 13)(x2+ 4x + 4) . C(x) = (x2 + 4x – 13) (x + 2)2 El número de factores primos lineales es: 1 ix) MÉTODO DE SUMAS y RESTAS ( y otros artificios) Se inspecciona el dato , comparándolo con alguna identidad conocida, la mayoría de veces será necesario aumentar algunos términos para construir en forma completa aquella identidad sugerida por el dato, naturalmente que aquellos términos agregados deben ser quitados también para así no alterar el origen . Este método conduce la mayoría de las veces a una diferencia de cuadrados , suma de cubos o diferencia de cubos. Ejemplo: Factorizar: x4 + 4b4c8 Resolución: Cuando aparecen exponentes pares se tratará de formar trinomios cuadrados perfectos: Ejemplo 2: Factorizar : x4 + 64y4 Resolución: Sumando y restando: 16x2 y2 x4 + 64y4 + 16x2 y2 – 16x2 y2 x4 + 16x2 y2 + 64y4 –16x2 y2 (x2 + 8y2)2 – (4xy)2 de donde : (x2 + 8y2 + 4xy)(x2 + 8y2 – 4xy) Ejemplo 3 : Factorizar : P(x) = x4 + 4a4 Resolución: P(x) =(x2)2 + (2a2)2 + 2(x2)(2a2) – 2(x2)(2a2) = (x2 + 2a2)2 – (2ax)2 = (x2 + 2a2 + 2ax)(x2 + 2a2 – 2ax) Ejemplo 4 : Factorizar : (a+b+c–2)2 + (a+b+c–1)2 – 5(a+b+c+1)2 Resolución Si dos o más términos se repiten constantemente, se sugiere hacer cambio de variable. Haciendo : x=a+b+c Entonces al reemplazar resulta: (x – 2)2 +(x –1)2 – 5(x + 1) =x2– 4x +4+x2– 2x+1– 5x – 5 =2x2–11x=x(2x–11) Pero como : x = a+b+c Entonces la factorización pedida será : (a+b+c) [ 2(a+b+c) – 11 ] Ejemplo 5 : Factorice: D(x) = x4 + 15 x2 + 64 Resolución: Cuando el polinomio es de grado par se busca un trinomio cuadrado perfecto y , como consecuencia resulta una diferencia de cuadrados a la vez. En nuestro caso sumando y restando x2 : Luego: D(x)=(x2+8)2–x2 por diferencia de cuadrados: D(x) = (x2 + 8 + x )(x2 + 8 – x ), entonces: D(x) = (x2 + x + 8) (x2 – x + 8) Ejemplo 6 : Factorice: E(x) = x5 + x + 1 Resolución: Cuando el polinomio es de grado impar, se busca generalmente una suma o diferencia de cubos. En nuestro caso le sumamos y restamos x2 E(x) = x5 – x2 + x2 + x + 1, agrupando E(x)= (x5 – x2) + (x2 + x + 1) E(x)= x2 (x3 – 1) + (x2 + x + 1) E(x)= x2(x –1)(x2+x+1) + (x2+ x +1) E(x)=(x3 – x2)(x2 + x + 1) + (x2 + x +1) E(x)= (x2+x+1) (x3 – x2+ 1) Ejemplo 7 : Factorizar : P(x) = x7 + 2x4 + 1
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