CONO EJERCICIOS RESUELTOS PDF
APRENDIZAJES ESPERADOS
• Conocer la definición y características de una superficie cónica.
• Calcular la superficie y volumen de un cono de revolución.
• Conocer la definición y características del tronco de cono, como los cálculos respectivos de área y volumen.
• Aplicar lo aprendido en los problemas tipo examen de admisión.
El estudio sistemático de las pirámides el conocimiento de la circunferencia y algunas otras líneas curvas , han conllevado a la obtención y subsiguiente estudio de otras figuras , entre las cuales destaca el cono , el cual es muy parecido a una pirámide , con la diferencia de que sus bases es una región curva en lugar de una poligonal.
PLANO TANGENTE A UN CONO
Llámese plano tangente a un cono , a todo plano que contiene una generatriz pero que no corta a la superficie del cono.
CONO DE REVOLUCIÓN O CONO CIRCULAR RECTO
Es aquel sólido geométrico generado por una región triangular al girar 360° en torno a uno de sus catetos.
VOLUMEN
El volumen de un cono es un tercio del área de la base por su altura.
ÁREA DE LA SUPERFICIE LATERAL
El área de la superficie lateral del cono es, igual al semiperímetro de la base por la generatriz.
ÁREA DE LA SUPERFICIE TOTAL
El área de la superficie total del cono es igual al área de la superficie lateral 𝜋rg más el área de la base 𝜋r².
SECCIÓN AXIAL DE UN CONO
Es la sección plana determinada por un plano secante al cono que contiene a su eje.
DESARROLLO DE LA SUPERFICIE LATERAL DE UN CONO DE REVOLUCIÓN
El desarrollo de la superficie lateral de un cono de revolución es un sector circular cuyo radio es igual a la longitud de la generatriz de dicho cono y cuyo arco tiene igual longitud que la circunferencia que limita la base.
ÁREA DE LA SUPERFICIE LATERAL
La superficie lateral es equivalente con su respectivo desarrollo, este un sector circular cuyo centro es el vértice del cono y tiene por radio a la generatriz.
CONO EQUILÁTERO :
Es aquel cono de revolución cuyas generatrices tiene longitudes iguales a la del diámetro de la base (g=2r).
SEMEJANZA DE CONOS
Todo plano secante a un cono paralelo; determina un cono parcial semejante al total .
Si dos conos son generados por triángulos semejantes que giran alrededor de los lados homólogos, dichos conos son semejantes.
También si se intersecta a un cono por un plano paralelo a la base se obtiene un cono pequeño semejante al total, debiéndose cumplir:
▻ Las áreas de sus bases son entre sí como el cuadrado de las longitudes de sus elementos homólogos .
▻ los volúmenes son entre sí como el cubo de sus elementos homólogos .
CONO OBLICUO
Si se intersecta a un cono recto por un plano no paralelo a la base se obtiene el cono oblicuo, cuya base tiene que ser elíptica .
TRONCO DE CONO
Es la porción de cono comprendido entre su base y la sección plana determinada por un plano paralelo a dicha base.
A su base y a dicha sección se les denomina bases del tronco, la superficie cónica que la limita se denomina superficie lateral del tronco y a la distancia entre sus bases se le denomina altura del tronco de cono .
TRONCO DE CONO CIRCULAR RECTO O DE REVOLUCIÓN
Es un tronco de cono cuyas bases son círculos de modo que sus centros están sobre una misma recta perpendicular a dichas bases , también se denomina tronco de cono de revolución porque se genera con una región trapecial rectangular al girar una vuelta en torno a su lado perpendicular a sus bases .
¿QUÉ ES LA SECCIÓN AXIAL DE UN TRONCO DE CONO DE REVOLUCIÓN?
Es la sección plana determinada por un plano secante al tronco de cono que contiene a su eje.
DESARROLLO DE LA SUPERFICIE LATERAL DE UN TRONCO DE CONO DE REVOLUCIÓN
El desarrollo de la superficie lateral de un tronco de cono de revolución es un trapecio circular cuyos arcos correspondientes son de igual longitud que las circunferencias que limitan las bases del cono y cuyos lados laterales son de igual longitud que las generatrices de dicho tronco .
ÁREA LATERAL :
El área lateral de un tronco de cono de revolución es igual a la suma de los semiperímetros de las bases multiplicado por la generatriz .
ÁREA TOTAL :
El área total de un tronco de cono revolución es igual a la suma del área lateral con las áreas de las bases
VOLUMEN :
El volumen de un tronco de cono de revolución de altura H y cuyos radios de las bases son R y r esta dado por la suma de sus bases y la media proporcional entre dichas bases
PROBLEMAS PROPUESTOS
PREGUNTA 1 :
La altura de un cono de revolución mide 12 , el diámetro de su base mide 10 . Encontrar el área de su superficie lateral.
A )60𝜋
B) 64𝜋
C) 62𝜋
D) 65𝜋
E) 70𝜋
Rpta. : "D"
PREGUNTA 2 :
Una cuerda trazada en la base de un cono circular recto de 4m de altura, mide 8m , si la distancia de la cuerda al centro del círculo base es de 2m. ¿Cuánto mide la generatriz?.
A) 4
B) 6
C) 8
D) 10
E) 9
Rpta. : "B"
PREGUNTA 3 :
Un triángulo rectángulo cuya hipotenusa miden 16cm forma con el cateto menor un ángulo de 60°. ¿Cuál será el área lateral y total del cono de revolución que se genera al girar 360° alrededor del cateto mayor?. (indicar el área total en 𝑐𝑚² )
A) 180𝜋
B) 20𝜋
C) 184𝜋
D) 192𝜋
E) 184𝜋
Rpta. : "D"
PREGUNTA 4 :
La generatriz de un cono recto mide 5m y la superficie lateral desarrollada forma un sector circular de 216°. Calcular el volumen en 𝑚³ de dicho cono.
A) 12𝜋
B) 16𝜋
C) 18𝜋
D) 20𝜋
E) 70𝜋
Rpta. : "A"
PREGUNTA 5 :
Al desarrollar la superficie lateral de un cono de revolución , se obtiene un semicírculo. Halle la medida del ángulo que forman dos generatrices diametralmente opuestas.
A) 30°
B) 45°
C) 60°
D) 90°
E) 120°
Rpta. : "C"
PREGUNTA 6 :
El área de la superficie total de un cono es 200𝑚² , el producto de las longitudes de su generatriz y el radio de su base es 136𝑚². Calcular el volumen de dicho cono.
A)154𝜋 𝑚³
B)180𝜋 𝑚³
C) 230𝜋 𝑚³
D) 285𝜋 𝑚³
E) 320𝜋 𝑚³
Rpta. : "E"
PREGUNTA 7 :
Un tronco de cono de altura 12m tiene por base un círculo de radio R=10m , si el volumen del tronco de cono es 700𝜋 𝑚³, el volumen del cono es :
A) 812𝜋 𝑚³
B) 800𝜋
C) 750𝜋
D) 815𝜋
E) 900𝜋
Rpta. : "B"
PREGUNTA 8 :
Un círculo de metal de 64𝜋 𝑐𝑚² se corta por un diámetro en dos partes iguales y con una mitad se forma un cono circular recto uniendo los radios extremos. El ángulo que forman las generatrices del cono con su base, mide :
A) 15°
B) 30°
C) 60°
D) 45°
E) 75°
Rpta. : "C"
PREGUNTA 9 :
En un cono revolución de vértice V , por el centro O de su base se traza el diámetro AB y se ubica un punto P diferente de B en la circunferencia de la base , halle los valores enteros del ángulo OPB para que la m∡VPB sea mínima.
A) 79° y 36°
B) 26° y 45°
C) 25° y 89
D) 59° y 61°
Rpta. : "D"
PREGUNTA 10 :
Se dan dos esferas tangentes exteriormente y cuyos radios miden 1 d𝑚 y 3d𝑚. El volumen del cono recto circunscrito a ambas esferas, es:
A) 81d𝑚³
B)18𝜋d𝑚³
C)18d 𝑚³
D) 81𝜋d 𝑚³
Rpta. : "D"
PREGUNTA 11 :
Un tronco de cono de altura 12m tiene por base mayor un círculo de radio R=10m. Si el volumen del tronco de cono es 7000 𝑚³ . ¿Cuál es el volumen del cono?
A) 750𝜋 𝑚³
B) 812𝜋 𝑚³
C) 780𝜋 𝑚³
D) 800𝜋 𝑚³
E) 815𝜋 𝑚³
Rpta. : "D"
PREGUNTA 12 :
En un tronco de cono de revolución se traza un plano por el centro de la base menor y paralelo a una generatriz determinando una sección trapezoidal cuyas bases miden 2 y 2√3 . Si la altura del tronco de cono mide 10 y el radio de la base mayor mide 2. Halle el área de la sección aproximada.
A) 25,6
B) 26,3
C) 27,4
D) 28,5
Rpta. : "C"
PREGUNTA 13 :
En un cono oblicuo su altura es trisecada por dos planos paralelos a la base. Calcule la relación entre el volumen del sólido comprendido entre los planos paralelos del sólido , comprende entre la base y el inmediato plano paralelo.
A) 5/19
B) 1/3
C) 7/19
D) 9/19
E) 1/2
Rpta. : "C"
PREGUNTA 14 :
En un cono circular recto está inscrito un cilindro circular cuya área total es igual al área lateral del cono. Si la generatriz del cono mide 8 μ, calcule la distancia del vértice del cono a la base superior del cilindro si, además, la sección axial del cono es un triángulo rectángulo.
A) 2 μ
B) 4 μ
C) 3 μ
D) 5 μ
E) 3,5 μ
Rpta. : "B"
PREGUNTA 15 :
En un cono equilátero, la altura mide 3√3, halle el volumen.
A) 3√3𝜋
B) 6√3𝜋
C) 9√3𝜋
D) 12√3𝜋
E) 18√3𝜋
Rpta. : "C"
PREGUNTA 16 :
Se tiene una región cuadrantal AOB cuyo radio mide 12. Además, al pegar los bordes OA y OB se obtiene un cono. Calcule el volumen del cono.
A) 9𝜋√17
B) 9𝜋√13
C) 9𝜋√15
D) 9𝜋√11
E) 9𝜋√19
Rpta. : "C"
PREGUNTA 17 :
Se tienen dos conos tangentes de vértices coincidentes y de radios 3 cm y 5 cm pero de iguales generatrices. Si el ángulo formado por sus respectivas alturas mide 60°, calcule la distancia entre los centros de las bases de dichos conos.
A) 3 cm
B) 6 cm
C) 5 cm
D) 7 cm
E) 8 cm
Rpta. : "D"
PREGUNTA 18 :
La generatriz de un cono circular recto mide 5 y la medida del ángulo de desarrollo es 216°. Calcule el volumen de dicho cono.
A) 15𝜋 𝑢³
B) 20𝜋 𝑢³
C) 24𝜋 𝑢³
D) 12𝜋 𝑢³
E) 18𝜋 𝑢³
Rpta. : "D"
PREGUNTA 19 :
El desarrollo de las superficies laterales de dos conos circulares rectos tangentes exteriores con vértice común son dos semicírculos, cuyos radios miden 8 y 4 m. Calcule la distancia entre los centros de las bases de los conos:
A) 1 m
B) 2 m
C) 3 m
D) 4 m
E) 6 m
Rpta. : "E"
PREGUNTA 20 :
En un cono de revolución, el segmento de mediatriz de una de sus generatrices limitado por la altura del cono mide 4 y la altura del cono mide 10. Calcule el área de la superficie lateral de dicho cono.
A) 80𝜋 𝑢²
B) 60𝜋 𝑢²
C) 50𝜋 𝑢²
D) 40𝜋 𝑢²
E) 70𝜋 𝑢²
Rpta. : "A"
PREGUNTA 21 :
Se tiene una región triangular ABC, tal que AC= 5, m∢ACB= 37° y m∢ABC= 90°. Calcule el volumen del sólido generado por dicha región cuando gira 360° alrededor de AB.
A) 16𝜋 𝑢³
B) 15𝜋 𝑢³
C) 18𝜋 𝑢³
D) 20𝜋 𝑢³
E) 25𝜋 𝑢³
Rpta. : "A"
PROBLEMAS RESUELTOS
PREGUNTA 1 :
Si el volumen de un cilindro recto es el doble del volumen de un cono recto, tal que los radios de sus respectivas bases tienen igual medida; calcula la relación entre las alturas del cilindro y cono, respectivamente.
a) 1/4
b) 2/3
c) 3/4
d) 1
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "B"
PREGUNTA 2 :
Si la generatriz de un cono recto circular mide 5 m y la superficie lateral desarrollada forma un sector circular de 216°, entonces el volumen de dicho cono, en m³, es
A) 9𝛑
B) 10𝛑
C) 11𝛑
D) 12𝛑
E) 14𝛑
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "D"
PREGUNTA 3 :
Un cono circular recto invertido se llena de agua hasta la mitad su altura, de 10 cm y radio en la base 4 cm. Si se introduce un cilindro de altura 1 cm y radio en su base 2 cm, calcula la altura del desnivel del agua sufrido en el cono invertido.
a) 3∛133 – 4,5
b) 3∛133 – 5
c) 3∛133 – 4
d) 3∛133 – 3
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "B"
PREGUNTA 4 :
En un cono de 8 cm de altura y de radio 5, calcule la generatriz del cilindro inscrito en el cono si el área lateral del cilindro es 20π u².
A) 2
B) 4
C) 6
D) 8
E) 9
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "B"
PREGUNTA 5 :
Del gráfico mostrado, calcule el volumen del sólido generado al rotar la región triangular ABC alrededor del segmento AC.
A) 30𝛑
B) 32𝛑
C) 36𝛑
D) 38𝛑
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "B"
PREGUNTA 6 :
Se tiene un cilindro de radio 6 y generatriz 30 que contiene cierto líquido. Se desea vaciar el líquido en vasos de forma de tronco de cono de radio menor 2, radio mayor 4 y altura 8, con la condición de que solo los vasos se llenan hasta sus tres cuartas partes. Calcula la cantidad de vasos empleados aproximadamente.
A) 18
B) 19
C) 20
D) 21
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "C"
PREGUNTA 7 :
Se tiene un triángulo rectángulo de catetos 3 m y 4 m. ¿Cuál es el volumen del sólido generado al rotar sobre su hipotenusa una vuelta completa?
A) 48𝛑/5
B) 24𝛑/5
C) 12𝛑/5
D) 36𝛑/5
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "A"