ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS EJERCICIOS RESUELTOS PDF
¿QUÉ SON LAS ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS?
Son igualdades entre funciones trigonométricas que se cumple para algunos valores de la variable , a dichos valores se les llaman soluciones de la ecuación; que pueden ser representados por una fórmula general, en la que intervienen la variables “n” o “k”.
¿CÓMO SE RESUELVEN LAS ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS?
Resolver una ecuación trigonométrica significa encontrar todos los valores que toma la incógnita; que verifican la ecuación convirtiéndola en una igualdad absoluta. Pero, debido al carácter periódico de las Funciones Trigonométricas; no solo se encontrarán una o dos soluciones, sino que generalmente existirá una cantidad ilimitada de soluciones, motivo por el cual se hace necesario el uso de fórmulas que permitan encontrar el conjunto global de soluciones de la ecuación trigonométrica, llamadas solución General de la Ecuación Trigonométrica.
SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA
Los valores que verifiquen la ecuación, son las soluciones de la ecuación.
Toda ecuación trigonométrica tiene infinitas soluciones.
Es importante encontrar las dos primeras soluciones positivas de la ecuación
APRENDIZAJES ESPERADOS
• Reconocer una ecuación trigonométrica.
• Hallar la solución general y solución principal de una ecuación trigonométrica elemental.
• Hallar la solución general y solución principal de una ecuación trigonométrica no elemental.
• Resolver ecuaciones trigonométricas mediante factorización o utilizando la fórmula general de la cuadrática.
• Reducir cualquier ecuación trigonométrica , mediante el uso de las identidades trigonométricas, a una ecuación elemental.
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS NO ELEMENTALES
La ecuaciones trigonométricas no elementales son aquellas que operan diferentes razones trigonométricas de la incógnita o de variable que involucran a dicha incógnita.
En estos casos, la idea es simplificar la ecuación aplicando toda la teoría del curso ya desarrollado (identidades de una misma variable, de la suma y/o diferencia de variables, de la variable doble, mitad, triple; así como transformaciones trigonométricas y teoría de funciones trigonométricas inversas); reduciendo a la forma Elemental .
Las consideraciones algebraicas acerca de la resolución de ecuaciones, que tiene que ver con el perder soluciones o agregar soluciones; se mantienen, así que debemos tener cuidado con la simplificación de términos que contienen a la incógnita.
OBTENCIÓN DE LA SOLUCIÓN GENERAL
Generalmente vamos a tener que resolver ecuaciones trigonométricas no elementales; así que la idea central es reducir la ecuación dada y llevarla a la forma elemental; para ello es bueno recordar:
I) Es preferible una sola variable a diferentes variables.
II) Es preferible una R.T. a diferentes R.T.
III) Cancelar términos que involucran a la incógnita en numeradores de miembros diferentes, implica igualarlo a cero para no perder soluciones.
IV) Si hay varios senos y/o cosenos de múltiplos muy grandes de la variable; hay una posibilidad de aplicar transformaciones para reducirlas.
V) Si el valor de la R.T. encontrada no es notable, se aplica la notación de F.T. inversas.
Para resolver algunas ecuaciones se trata de expresar ésta como un producto igual a cero; luego cada factor se iguala a cero; teniendo una o más ecuaciones elementales.
Para que esto sea posible usaremos conceptos algebraicos y trigonometría anteriormente estudiados.
PRACTICA PROPUESTA
PREGUNTA 1 :
Resolver y dar la suma de las tres primeras soluciones positivas de:
1+senx = 2sen2x
a) 330°
b) 630°
c)210°
d) 90°
e) 530°
Rpta. : "B"
PREGUNTA 2 :
Hallar el número de soluciones menores que 360° en:
csc2x = cotx + 1
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
Rpta. : "D"
PREGUNTA 3 :
Resolver : sen6x + sen2x = sen4x
dar una solución.
a) 60°
b) 45°
c) 30°
d) a y b
e) b y c
Rpta. : "E"
PREGUNTA 4 :
Resolver :
(senx + cosx)2 = 1 + cosx
indicando la suma de las tres primeras soluciones positivas.
a) 180°
b) 270°
c) 360°
d) 450°
e) 720°
Rpta. : "B"
PREGUNTA 5 :
Señale la suma de las tres primeras soluciones positivas de la ecuación:
2secx.cscx + 3tanx = 2cotx + 5√2
a) 360°
b) 540°
c) 270°
d) 720°
e) 450°
Rpta. : "D"
PREGUNTA 6 :
Resolver: 1 + cosx = 2sen2x ; indicando la suma de sus dos primeras soluciones positivas.
a) 180º
b)120º
c) 200º
d) 240º
e) 360º
Rpta. : "D"
PREGUNTA 7 :
Resolver: sec2x = √3tanx + 1 ; indicando el número de soluciones positivas menores que una vuelta
a)1
b)2
c)3
d) 4
e) 5
Rpta. : "C"
PREGUNTA 8 :
Resolver: senx – √3cosx = 1 ; indicando el menor valor positivo que cumple.
a) 30º
b) 60º
c) 90º
d) 135º
e) 180º
Rpta. : "C"
PREGUNTA 9 :
Resuelve e indicar una solución Tgx + √3Tg2x +3Tg2xTgx =√3
a) 𝛑/9
b) 𝛑/3
c) 𝛑/5
d) 𝛑/4
e) 𝛑
Rpta. : "A"
PREGUNTA 10 :
Resuelve e indica la menor solución positiva en:
2Cos2x + 4Sen2x = 3
a) 0°
b) 30°
c) 45°
d) 60°
e) 53°
Rpta. : "C"
PREGUNTA 11 :
Indica la menor solución positiva:
1 + Sen2x = 7Cos2x
a) 30°
b) 45°
c) 60°
d) 53°
e) 37°
Rpta. : "C"
PREGUNTA 12 :
Resuelve: Cosx – 1 = Cos2x
a) 45°
b) 60°
c) 90°
d) 80°
e) 120°
Rpta. : "B"
PREGUNTA 13 :
Resuelve e indica las soluciones positivas menores de 360° para Tg2x + Secx = 1
a) 0°, 120°, 240°
b) 80°, 120°
c) 0°, 60°, 120°
d) 90°, 270°
e) 30°, 60°, 90°
Rpta. : "A"
PREGUNTA 14 :
Resuelve e indica la menor solución positiva:
Ctg2x + Ctgx = 0
a) 30°
b) 45°
c) 60°
d) 75°
e) 12°
Rpta. : "C"
PREGUNTA 15 :
Resuelve e indica la peor solución positiva en:
Secx(1+ Cos2x) = 1
a) 30°
b) 45°
c) 60°
d) 75°
e) 90°
Rpta. : "C"
PREGUNTA 16 :
Resuelve: Sen5x + Senx = Sen3x e indica como respuesta la suma de todas las soluciones positivas menores de 180°.
a) 40°
b) 180°
c) 240°
d) 300°
e) 360°
Rpta. : "E"
Una ecuación trigonométrica es aquella ecuación en la que aparecen una o más funciones trigonométricas.
En las ecuaciones trigonométricas la incógnita es el ángulo común de las funciones trigonométricas.
No puede especificarse un método general que permita resolver cualquier ecuación trigonométrica; sin embargo, un procedimiento efectivo para solucionar un gran número de éstas consiste en transformar, usando principalmente las identidades trigonométricas, todas las funciones que aparecen allí en una sola función (es recomendable pasarlas todas a senos o cosenos).
Una vez expresada la ecuación en términos de una sola función trigonométrica, se aplican los pasos usuales en la solución de ecuaciones algebraicas para despejar la función; por último, se resuelve la parte trigonométrica, es decir, conociendo el valor de la función trigonométrica de un ángulo hay que pasar a determinar cuál es ese ángulo.
En las soluciones pueden aparecer valores extraños (debido a la manipulación de las ecuaciones al tratar de reducirlas) , por ejemplo: nos puede resultar un cosx = 2 , el que debemos descartar, obviamente, pues el codominio del coseno se limita a [–1;1]. También, debemos verificar todas las respuestas obtenidas y aceptar sólo aquellas que satisfacen la ecuación original.
Como las funciones trigonométricas repiten su valor y signo en dos de los cuadrantes, hay que tener presente que siempre habrá por lo menos dos ángulos distintos en la solución de una ecuación trigonométrica de la forma f(x)= a (donde f(x): es una de las seis funciones trigonométricas y a número cualquiera en el codominio de la función).
Además, debido a que cuando el lado terminal de un ángulo realiza un giro completo se genera otro ángulo equivalente, es necesario añadir a las soluciones obtenidas un múltiplo de 360°, esto es, k360°, y k es un entero.
PROBLEMAS RESUELTOS
PREGUNTA 1 :
Calcule el número de soluciones en el intervalo: [0;2𝛑] de la siguiente ecuación:
Sen2x=Senx
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "D"
PREGUNTA 2 :
A) 𝛑/6
B) 𝛑/3
C) 𝛑/4
D) 𝛑/12
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "A"
PREGUNTA 3 :
Si x∈[40°;290°], indica el número de soluciones en dicho intervalo de:
2√3 – 2√3cos2x=sen2x
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
RESOLUCIÓN :
Factorizando 2√3 :
2√3(1 – cos²x)=2senxcosx
⇒ 2√3sen²x=2senxcosx
I) senx=0 → x=0°, 180°, 360°
II) √3senx=cosx → tanx=√3/3
∴ x=30°; 210°
⇒ x₁=180° ; x₂=210° dos soluciones
Rpta. : "B"
PREGUNTA 4 :
Si – 𝛑/2 ≤ x ≤ 0 , tal que
cosx=0
cos(x + z)=1/2
halle el menor valor de “z”.
A) 𝛑/4
B) 𝛑/3
C) 𝛑/6
D) 𝛑/12
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "C"
PREGUNTA 5 :
Calcule la suma de las dos primeras soluciones positivas de la ecuación.
2Sen2x+2(Senx+Cosx)=– 1
A) 𝛑/6
B) 𝛑/3
C) 5𝛑/6
D) 11𝛑/6
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "D"
PREGUNTA 6 :
Lenin promete a su hija Massiel:
“Iremos de viaje tantos días como el número de soluciones correctas que tiene la siguiente ecuación:
sen(7x)=sen(3x); x ∈ < 0; 𝛑>
Si Massiel determinó correctamente la cantidad de soluciones y su papá la premia con un día más de viaje, ¿cuántos días estarán de viaje?
A) 6
B) 4
C) 3
D) 5
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "A"
PREGUNTA 7 :
Halle el número de soluciones de la siguiente ecuación:
2senx – cscx=1; x∈[0, 2π]
A) 4
B) 5
C) 3
D) 2
E) 6
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "C"
PREGUNTA 8 :
Determine la suma de las soluciones de la ecuación 3tgx – tg2x=0, en el intervalo [0;𝛑].
A) 11𝛑/7
B) 𝛑
C) 3𝛑
D) 13𝛑
E) 2𝛑
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "E"
PREGUNTA 9 :
Siendo a=arccos(√6–1)
Resuelva la siguiente ecuación en términos de a, ∀n∈ℝ
tan(x/2)=3senx
A) {2n𝛑}U{2n𝛑 ± a}
B) {n𝛑}U{2n𝛑 ± 2a}
C) {2n𝛑}U{2n𝛑 ± 2a}
D) {2n𝛑}
E) {2n𝛑 ± a}
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "A"
PREGUNTA 10 :
Halle la solución general de la siguiente ecuación sec46x – 3=tg46x
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "C"
