ECUACIONES PARAMETRICAS EJERCICIOS RESUELTOS PDF
Ecuaciones Paramétricas de una curva
Derivada de una función dada paramétricamente
Sean / , g dos funciones continuas definidas en /, / c R, / ^ 0.
Las ecuaciones de la forma m , t G / (1) (y = g ( t) se llaman ecuaciones param étricas y t se llama parám etro.
Si se considera que los valores de x e y son las coordenadas de un punto en el plano coordenado xy, a cada valor de t le corresponde el punto p ( / ( 0 ; s ( 0 ) del plano xy (Fig. 10.1). Cuando t varía en /, este punto describe una curva.
Supongamos que x = / ( t ) tiene inversa t = f J (x). Entonces y es función de x, pues y = 5 ( / _1W ) En este caso, y está en función de x y se dice que la función se representa en forma paramétrica por (1). Para expresar y en términos de x, es necesario eliminar el parámetro t de las ecuaciones (1). Al eliminar el parámetro (si es posible), obtendremos una ecuación de la forma y = /i(x) ó de la forma £(x; y) = 0. El dominio de una ecuación paramétrica, si no se indica, se determina por / = D o m (/) n D om (^)
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN I
E jem plo 1.
Elimine el parámetro t de las siguientes ecuaciones paramétricas y obtenga la correspondiente ecuación cartesiana. En conclusión, las ecuaciones paramétricas dadas representan una circunferencia de centro C ( h \ k ) y de radio |r |. En particular, si h = k = 0, representan a la circunferencia de centro en el origen y de radio |rj (Fig. 10.2). y Ejem plo 3.
Cuando una circunferencia de radio a rueda sin resbalar sobre una línea recta, la curva descrita por un punto fijo en la circunferencia se llama cicloide. Esta curva está formada por una sucesión de arcos, cada uno de los cuales corresponde a una vuelta completa de la circunferencia. Encuentre las coordenadas (x; y ) de cualquier punto de la cicloide en función del ángulo t (parámetro) que ha girado la circunferencia. Solución Supongamos que F (el punto fijo) coincide, al principio del movimiento, con el origen de coordenadas. Sean (x; y ) las coordenadas de F después de haber girado la circunferencia un ángulo t (Fig. 10.4). Entonces, se tiene FB = OB ==> OB = a t ) x = OB — AB = a t - a sen í y = AF = BD = BC — CD = a — a eos t Por tanto, las ecuaciones paramétricas de la cicloide son: f * - a ( t - s e n O ( 6 R (.y = a ( l - eos t) Cuando 0 < t < 2n, el punto F describe un arco de la cicloide. Ejem plo 4. Si una cuerda que está enrollada alrededor de una circunferencia (fija) de radio a comienza a desenrollarse de tal manera que la cuerda siempre se mantenga tirante y en el mismo plano de la circunferencia, entonces el extremo libre de la cuerda describe una curva llamada involuta de la circunferencia. Halle las ecuaciones paramétricas de la involuta de la circunferencia de radio a. 437 Consideremos la circunferencia de radio a y centro en (0; 0). Sea i 4 ( a ; 0 ) el extremo libre de la cuerda (Fig. 1 0 .5 ). Entonces NP = A N = a t , OM = a eos t , MN = a s e n t , CP = Ñ~P sen t = a t sen t y CN = NP eos t = a t eos t. Luego, se tiene x = OM + CP = a eos t + a t sen í y — MN — CN = a sen t — a t eos t Por tanto, las ecuaciones paramétricas de la involuta de la circunferencia de radio a son: ( x = a(co s t + t sen t) (y = a (se n t — t eos í ) ' f E TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN I Solución Definición 1 Se dice que una curva dada en ecuaciones paramétricas presenta un lazo (es decir, se interseca a sí misma) si a dos valores tt =£ t2 les corresponde un mismo punto P (Fig. 10.6). Ejem plo 5. Halle las coordenadas cartesianas del punto en el cual la curva cuyas ecuaciones paramétricas son x = t 3 + 2 12 A y = t 3 — t, t £ R presenta un lazo. Solución. Sean a y b dos valores distintos del parámetro t para los cuales se tiene el mismo valor para x e y . Entonces a) Halle las asíntotas oblicuas de la curva C. b) Halle el área del trapecio isósceles con bases paralelas al eje x, de manera que el primer vértice es el punto de inflexión de h( x) , el segundo es el punto de extremo relativo de g ( x ) , el tercero está sobre la asíntota oblicua de la curva C y es punto de extremo de / ( x ) , y el cuarto es un punto que está sobre la asíntota oblicua de C. 42) Dadas las funciones / ( x ) = - 2 4- tan h (x - 1 ), ^ (x ) = 4 - arccot + ^ 2) + arco t , . ( x 2 4- 5x 4- 4 \ 1 1 /4 \ ', M = t a " h - ( I 2 _ s , + 4 J — ; — 2 . " f e ) - 2 y las ecuaciones paramétricas de la curva 8 C: x = t 2 + 4 t 4- 2 , y = 2ü2 4- - t a) Determine los vértices y el área del triángulo PQR, donde P es el punto de inflexión de / ( x ) , Q es el punto máximo relativo de g ( x ) y R es el punto de tangente vertical de la curva C. b) ¿Cuál es el área del rectángulo PQRS tal que P, Q y R están determinados por la parte (a) y S es el punto de extremo relativo de h ( x ) l R. (a) 9u 2 (b) 1 8 u 2 4 4 7 43) Halle las asíntotas de la curva cuyas ecuaciones paramétricas son
