ECUACIONES DE CUARTO GRADO O CUARTICAS EJERCICIOS RESUELTOS PDF
CUACIÓN CUÁRTICA O DE CUARTO GRADO Son aquellas de la forma: EJEMPLO 1 : Resolver: Resolución: La ecuación se puede escribir: La factorización no es inmediata, se puede resolver aplicando la regla de Ruffini: Notar que se aplicó Ruffini hasta que quedaron 3 términos formándose una ecuación de 2do grado: Resolviendo: x= 5 y x = -2 Finalmente las raíces de la ecuación son: 1, -2, 5, -2. Resolución de Ferrari Sea la ecuación x4+2px3+qx2+2rx+s=0 se busca formar cuadrados perfectos. * Sumando miembro a miembro a fin de que ambos miembros sean cuadrados perfectos. * Supongamos que el primer miembro sea * Por identidad de polinomios: * Eliminando a y b de estas ecuaciones tenemos: (pk – r)2=(p2+2k – q)(k2– s) * Formándose la siguiente ecuación cúbica. * De esta ecuación cúbica puede hallarse siempre un valor real de k, con lo cual a y b quedan determinadas como: * Luego, los valores de x se obtienen de las ecuaciones cuadráticas. x2+(p – a)x+k – b=0 x2+(p+ a)x+k + b=0 Ejemplo: Resolver: x2–2x3+2x2+4x–8=0 Resolución: * Sumando a ambos miembros: resulta: * Sea el primer miembro igual a: * Por identidad de polinomios: * Obteniéndose: * De donde se obtendrá: k=1 * Entonces: * Luego la ecuación: (x2 – x+k)2=(ax+b)2 queda: (x2 – x+1)2=(x – 3)2 x2 – x+1=(x – 3) * Es decir: x2 – 2x + 4=0 ........(I) x2 – 2=0 ................(II) * Obteniéndose finalmente de (I) y (II): RESOLUCIÓN DE DESCARTES * Haciendo , la ecuación queda reducida en: y4 – qy2+ry+s=0 (ecuación cuártica incompleta) * Suponga que el polinomio cuártico queda * De la igualdad de polinomos se tiene: * De las dos primeras ecuaciones: y reemplazando En la tercera: * Es decir: * Esta es una ecuación cúbica en k2 que tiene siempre una solución positiva. Cuando se conoce k2 se conocen los valores de y m y la solución de la cuártica incompleta se obtiene resolviendo las dos ecuaciones cuadráticas. Ejemplo: Resolver: Resolución: * Haciendo: * De donde por igualdad de polinomios resulta: * De donde: * Resolviendo resulta k=4, entonces: * Luego: * Entonces: Teorema de Cardano – Viete Este Teorema permite encontrar una relación entre las raíces de un polinomio P(x) y sus coeficientes. Si: x1; x2; x3; … xn son las ‘‘n’’ raíces de la ecuación polinominal: P(x) = a0xn + a1xn-1+ a2xn-2 + … + an-1x + an = 0 ; a0 ¹ 0 Entonces se cumple: Suma de raíces: Suma de productos binarios de las raíces: Suma de productos ternarios de las raíces: Producto de las "n" raíces: Ejemplo: 1. Para una ecuación de 3° Grado Forma General: Si "x1", "x2", "x3" son las raíces de la ecuación en "x": Tenemos que: x1 + x2 + x3 = x1x2 + x1x3 + x2x3 = x1x2x3 = Negativo pues el grado es impar 2. Para una ecuación de 4to Grado Forma General: Si "x1", "x2", "x3", "x4" son las raíces de la ecuación en "x", tenemos que: x1 + x2 + x3 + x4 = x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + x3x4 = x1x2x3 + x1x2x4 + x1x3x4 + x2x3x4 = x1x2x3x4 = + Positivo pues el grado es par. Ejemplo de aplicación (1): En la ecuación: La suma de inversas de dos de sus raíces es igual a la tercera raíz. Indicar una de ellas. Resolución: Sean las raíces: x1, x2, x3 Del enunciado: Efectuando: de donde: Sumando "x3" para formar la suma de raíces: Usamos las propiedades de suma y producto de raíces: Despejamos la raíz "x3": Ejemplo de aplicación (2): Sabiendo que la ecuación tiene 4 raíces: "x1", "x2", "x3", "x4" Además: Hallar "k". Resolución: Para que la ecuación presente 4 raíces debe ser de 4to grado: Reemplazando: De la condición operando se obtiene: Reemplazamos la suma y producto de raíces: Resolviendo: k = 1. ECUACIONES CUÁRTICAS
