DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR EJERCICIOS Y EJEMPLOS RESUELTOS PDF
Si la derivada de la función f definida por f(x)= x5 es una nueva función f ’, definida a su vez por
f ’(x)=5x4
es fácil concluir que si podemos derivar la función f ’, obtenemos una nueva función f’’, definida por f’’(x) = 5(x4)’ = 5×4x3 = 20x3, a la que llamamos segunda derivada de f , mientras que a la anterior, primera derivada de f . Sabemos que la derivada f ’ es diferenciable, obtenemos otra función (f’)’.
Continuamos con este proceso, construimos lo que llamaremos derivadas de orden superior :
derivadas de orden superior
Si continuamos derivando, obtenemos las funciones f ’’’(x) = f(3)(x) ; f IV(x) = f(4)(x), etc .
Cualquiera de las siguientes notaciones se usan para las derivadas de y = f(x).
Primera derivada :
Segunda derivada :
Derivada de orden n :
Ten presente (por definición) ¿qué representa ?
Sabemos que representa la segunda derivada, es decir, es la “derivada de la primera derivada”; así : , donde el símbolo indica la operación derivar .
Ejemplo 1 :
Ejemplo 2 : Sea y = x5, hallar : y’’’
Resolución :
Tenemos : y = x 5 y’ = 5x4 y’’ = (5x4)’= 5(x4)’ = 5(4x3) = 20x3 Ahora : y’’’ =(20x3)’ = 20 (x3)’ = 20 (3x2) = 60x2 Ejemplo 3 : Sea y = senx , hallar : y(5)
Resolución :
Tenemos : y= senx y’ = cosx y’’ = (cosx)’= – senx y’’’ = (–senx)’ = –(senx)’ = – cosx y4 = (– cosx)’ = – (– senx)= senx y(5) = (senx)’ = cosx
